THE Hardest Entrance Exam Math Problem in 7 Minutes

[@あい-d5f6q]

動画向けに分かりやすく証明をチューニングした結果だと思うけど、答案で唐突に「さて、ここで各頂点を赤、青、黄で着色した正三角形を考える。」とか言い出す人がいたらすごすぎて笑っちゃう

[@orx-0053]

化け物すぎるwww

[@sa_sa_sa_za]

かっこよすぎる

[@dhmo1529]

天下り()

[@母-m6x]

才能光りすぎてて是が非でもうちの大学に入ってくれ！ってなるな

[@Akita_ken2236]

​@@母-m6xこの問題を解いた時点で落ちるんだよなぁ

[@user-py2ju8rn9w]

不変量を見つけるのがまず至難の業

[@ma-xb3mi]

うp主の解説の分かりやすさが群を抜きすぎてる...問題設定を理解するパートも、合いの手の入れ方も、同じところはテンポよく端折りながら（でも必要なことはきちんと述べてる）本質的なとこでスローダウンするところも、何もかも優れすぎていて本当に勉強になります

[@可愛いネギ]

「証明は？」って聞かれて変顔長考するんじゃなくブチギレるようになってしまったチルノ草

[@nokemoyajuu]

アヘ顔見たかった

[@doro_sorceress]

7分(7分56秒)すこ

[@かみむらv]

この問題をここまでコンパクトで分かりやすく証明してるの書籍とか含めても初じゃないか

[@fpkqt2m]

みんなグラフ理論って言うからそうなんだと思ってたけど、どちらかと言えば群論だったんですね

[@moja-z4m]

白黒の玉を3次対称群S3の回転元と反転元に対応させると、玉の並びから得られる元の積が不変量を与えるってことか。いや面白いけど難しすぎない？？？

[@自由律俳句とかいう無法地]

あ、なるほどそういうことか！！ 白丸と黒丸を、なぜ正三角形の回転と反転に置き換えて良いのかがよく分からなかったけど、群論で考えればスッキリ解けるね。

[@rairaikun1]

操作2が無意味となるように三角形の回転と反転に着目するのヤバすぎて草 群論めっちゃやってたら思いつくのかな

[@素敵-r4g]

こんなに「さっぱり」解説できる主の技術に感服致した。 これからもついていきます

[@たんす鮭]

もしかしてこの動画、入試数学解説の偉業を成し遂げているのでは？

[@matsuokenshirou]

有名になりすぎたけど、それでもちゃんと理解して解ける入学志願者はどれだけいるだろう？

[@evimalab]

十分性（3で割って0か1余るなら作れる）だけならむしろ簡単で、必要性を時間内に示せる人はさすがに皆無でしょう。

[@うぎゃ-g6y]

数オリ勢だと余裕だそうです

[@max-ex2pc]

​@@うぎゃ-g6y数オリと求められる能力違うから無理では

[@うぎゃ-g6y]

@@max-ex2pc もう数年前の話なのですが、科学の甲子園8thに出ていた他校の子に聞きました。栄光が2位で号泣していた回です

[@nnsyur]

@@うぎゃ-g6yその数オリの子すごいね。数オリでも出されても解けないって言われるのに解けるってことはその人だいぶ上位の方ですね。

[@express-channel]

この問題の解説動画で1番わかりやすかった！！！

[@user-fn8vy3ue0i]

中学1年の夏ごろ高校化学の有機化学の分子模型を作って、同じように色変えて全て書き出して、分子模型の構造の計算している時､同じようにやっていたの思い出したら、早くできたけど、こういうパズルみたいなことやって無いと全く判ら無いと思いますね！

[@ShimShim0131]

二面体群か！！感動した

[@秋本一真-q8w]

これ実はもう少しだけ見通しが良くなる捉え方がある 初期状態のノードにつながるように二つ白のノードとエッジを加えた直線のグラフを考えて，これを仮想グラフ，加えたノードとエッジを仮想ノードと仮想エッジと呼ぶことにする そうすると元のグラフに対して操作１を行うことは，操作するノードにつながる仮想エッジに対して操作2を行うことに仮想グラフにおいては対応する（初期状態においては，二つ仮想エッジを選べるが，左右や方向に区別があるのなら白丸ができる方向につながる仮想エッジを選択する．） このようにすると，元のグラフにおける操作1を仮想グラフにおける操作2に置き換えることができ，元のグラフにおいてどの操作を何度行っても仮想グラフにおいては常に操作の回数だけ対応する操作２が行われると見なすことができ，操作後に仮想ノードと仮想エッジを取り除くと常に元のグラフと一致する よって，仮想グラフにおいて操作2だけが使える状況を考えればよい 必要性について証明する．操作2を行っても黒丸の個数の偶奇が変わらないため仮想ノードは両方白か両方黒である．えびまさんの回転や反転操作の議論を借り，仮想ノードを除く全てのノード（元のグラフの全てのノード）が白とすると，仮想ノードが両方白の場合は元ノードの個数が3で割って１余り，仮想ノードが両方黒の場合は元ノードの個数が３で割り切れることが必要条件となり，逆に元ノードの個数3で割って2余るときは，条件を満たす仮想ノードのパターンが無い（両方白でも黒でもダメ）．ゆえに元のグラフのノードの個数について３で割ったときにあまりが２とならないことが必要条件であることが示される．

[@ペイナポー-b3s]

頑張ってほんの少しでも理解しようとしたけど三角形のくだりで頭溶けた

[@にじゃーた]

※さらに、問題文はめっちゃ長いので問題文を理解するだけでも骨が折れます

[@Zejgar]

1:29 I was confused by the " ⚪⚪⚪⚫", then I tried making it on my own and couldn't, so I realized it was an editing mistake. It's all good, the video is very nice!

[@しゅとろはいむ]

1:29 上から5つ目の棒○○○●の端の黒丸に白丸を突き刺せば長さ5の白丸棒も作れるのでは？

[@evimalab]

すみません、黒白白黒の間違いでした。

[@のぶ-x2k]

三角形の代わりにmod6で、 白:x→x+2 黒:x→3-x でもいいのか。途中の「反転」という言葉は偶奇の変化で考えられる。

[@素敵-r4g]

他にも複素数zについて 白:z→ωz（1の三乗根をかける） 黒:z→z＊（複素共役を取る） としても良いはず。 ただしスタートは実数とする

[@のぶ-x2k]

@@素敵-r4g 黒はz→-z*じゃないですかね？

[@素敵-r4g]

スタートが純虚数の時はそうなりますね。しかしスタートが実数のときそれではまずいです。

[@のぶ-x2k]

​@@素敵-r4gむしろ純虚数のときこそz→z*じゃないですか？黒(z)=zを満たすzがあるとまずいので。

[@のぶ-x2k]

@@素敵-r4g もしかしてmod3でやってます？

[@いうえあ-m8k]

動画の内容を私なりに解釈してみました。ご存知のことと思いますが備忘録的に書かせていただきます。 二文字xとyが生成する自由群をGとする。特に、x,yからなる文字の有限列はGの元である。白玉をx、黒玉をyに対応させることで、白玉と黒玉の列をGの元とみなす。x,yの文字列Aに操作1や2を施すとGの別の元Bが得られる。今、Gの正規部分群Hであって、G/HにおいてはBが簡単に計算できるものはあるか、という問題をを考える。ここでは操作2で不変になるようなものを求めることとする。操作2ではxxをyxyに置き換える。よってHはxx(yxy)^-1を含まないといけない。同様に、Hはxy(yxx)^-1, yx(xxy)^-1, yy(xxx)^-1を含む必要がある。このことを踏まえて、Hをこれら４つの元で生成される正規部分群とすれば、G/Hにおいては操作2は不変である。計算するとG/Hは関係式x^3=1, y^2=1, yxy=x^2で定まる群となる（特に3次対称群と同型）。Aの右から操作1を施したものをBとする。Aの右端がxならB=Ax^-1yxとなり、yならB=Ay^-1xxだがG/Hにおいてはx^-1yx=y^-1xx=yxxだからB=Ayxxと書ける。同様に、Aに左から操作1を施したものをCとするとG/HにおいてはC=xxyAとなる。よって、xに操作1,2を施して得られる元はG/Hにおいては(xxy)^n x (yxx)^mの形となるが、これがx^2になることはない（(xxy)^2=1, (yxx)^2=1に注意）。

[@いうえあ-m8k]

操作1,2で移り合うものを同一視した集合(白玉、黒玉の列の剰余集合)がG/Hの両側剰余類の集合と同型？

[@olga_SSKT]

三角形の回転とか言い出した時点で群論っぽいなって思ったけど，コメント欄見たらそうらしくて安心した。高1だし深くは理解できてないけどやっぱ群論面白いわ

[@tatn2tgj]

例の問題をここまで踏み込んだ人は初めて見た

[@きつね-n7m]

めっちゃ分かりやすい

[@jiji3018]

おおー！うぽつです！

[@watabe7969]

不変量は高校でも超発展的講座ならやるし、数オリなら当然だけど、流石に群論の考えはやらんて もしその問題に出会ったら、めっちゃ時間があったら不変量を探しにはいけると思うけど、どうやって不変量取るかは分からん

[@相沢らむだ]

I₂(3)の元を各列に対応させようと思ったら、列に対する操作の全体がI₂(2)になっていたのですごい問題だと思いました

[@wswsan]

入試数学史上最難問, 東大ですぐ分かった, 冒頭白い玉で確信した これ分かりやすくて良いんだけど入試で出せる考えじゃなさすぎる

[@oñanoco]

めっちゃ有名だからね

[@おれっち-s9o]

どうやって三角形の回転と反転に帰着することを思いつけばいいのか一切解説されてない点を除けば非常にわかりやすい いやさすがにこればっかりは解説しようが無いのは分かってるけど チルノの「は？」が全てだな...

[@あい-l7u5p]

「三角形の回転と反転に帰着すれば解けるので、帰着させるとよい」

[@rairaikun1]

@@おれっち-s9o 長さが3で割って2余る白玉直鎖を作るには操作2が必要 ↓ 操作2が煩わしいので無視できるようにしたい ↓ 操作2の前後の直鎖を同一視できるように白玉、黒玉に意味付けしたい (つまり白白=黒白黒、白黒=黒白白、黒白=白白黒、黒黒=白白白となるように白と黒にナニカを対応付けたい) ↓ 黒黒=白白白から、三角形の回転と反転にするとうまくいくんじゃね？ ↓ いけた こんな感じでしょうか

[@上さま-q4e]

扱いやすい等価なモデル置き換えて考えることの効果を改めて感じました。

[@仮名ろはん]

きもは群論なんですね これ、「入試数学史上最難問」という言葉だけが一人歩きして、どういう状況で出された問題なのかがあまりフィーチャーされてない気がする。 後期入試だから、これが解けても災難学部たる理三への切符にはならないんですよねぇ…

[@KaNeKo-i4l]

離散受ける人たちなら一人くらいは解けるのかなこれ

[@沼-d9o]

これ解ける人は医師以外の道行ってもらった方が世の中のためになる。

[@zouo-from-Taikonotatsujin]

100点絶対出させない問題でも殺意高すぎぃ

[@Kuray4B]

エピソードは安田亨『入試数学伝説の良問100』に書かれてますね、たしかその問題の解答も書かれていたような？

[@モクモクしちょるだけの雑魚]

駿台の雲孝夫師が解答をつくったらしいですよ

[@nokemoyajuu]

良問とはこれいかに

[@dhmo1529]

悪問だろ...

[@Kira_Light23]

これうp主の解き方すごいけど実際の入試の正答者の答案が気になる

[@きつね-n7m]

本番で正答した受験生0だった気がする

[@kinpatsumania57]

「これ数分じゃ解けないな」って判断して捨てるのも一種の実力なのかな？と思えてくる

[@sa_sa_sa_za]

全然関係ないけど、おすすめ欄で見たときは「evima lab」なのに動画開いたら「えびまラボ」ってなるのなんでだろう

[@study_math]

メビウスの輪の研究がベースになってるんだってね。

[@妖刀]

もはやサムネだけで分かるあの問題

[@Mega11041104]

なるほど操作1と操作2で可換で3位の巡回群×2位の置換群を構成できるってことか

[@ringo2872]

2:15 外国人視聴者用かな？

[@ST-gs6ul]

ゆっくり≒幻想郷の住人　という設定のギャグでは。 このチャンネルで今更それを言い出すのも違うか。

[@kabotyannstar]

これが無料で見れるのはすごいことだよなぁ

[@謙虚-s2t]

やったー！自力で解けた！ 動画の解答ほど綺麗じゃなかったけど嬉しい

[@コーカサスオオヒトデ]

SE選びが素晴らしい

[@mvama9039]

めっちゃ群論で発狂した

[@smania0711]

1:34 4つの可能性の上から5番目は黒-白-白-黒では？端だけが黒だと5つ全白ができちゃうような……？

[@evimalab]

すみません、その通りです。

[@smania0711]

あと下から3番目も黒-白-黒-黒？

[@evimalab]

そのようです。ご指摘ありがとうございます。説明欄に追記します。 （一度作ってからはただのイラストと見なしてしまい気づけませんでした。）

[@smania0711]

毎回高度な内容を相当ビジュアルに示していただいていて助かっています。動画の精度の一助となれたなら幸いです。 これからも動画投稿を本当に楽しみにしております！

[@aiueokakikukeko211]

東大とAtCoderやったから次はIMOの一番むずかしい問題かな？

[@keith_lark]

Master Demonかぁ…

[@Shukurimu_Az]

@@keith_lark Master Demon より難しい問題は出てます。参考までに Master Demon 分野N 平均点2点/7点 完答者16人/308人 IMO2009(6) 分野C 平均点0.168点/7点 完答者3人/565人 IMO2017(3) 分野C 平均点0.042点/7点 完答者2人/615人

[@aiueokakikukeko211]

@@Shukurimu_Az ググってみたけど、2つ目の完当者3人の内の1人はrngさんなんだ バケモンやな

[@豆腐メンタル-c5s]

新年迎えて、1月が濃すぎるって騒いでた頃が懐かしい

[@user-zm1vq5ob1k]

意味がわかったけど意味がわからない

[@みやっち-m1x]

東京大学は日本一だということがこの動画を通して改めて分かりました （俺はあそこに行く事は絶対にできません）

[@C6H12O6-G]

1:30 4本の上から5つ目は黒ー白ー白ー黒、8つ目は黒ー白ー黒ー黒では？

[@おののコマネチ]

4:12 勝利、平和、栄光？

[@まみゆ-q5v]

これ京大特色合格者とか数オリメダリストでも時間内に解けんのかな この時期の受験よくわからんけど後期ということもあって超優秀な人はもう受かってるから当日受けてないとかないんかな

[@Ray-kj6ed]

これtouristになんも言わずにだしてほしい

[@user-eq5gl8tk6e]

n個の白丸の列を操作してそれより長い白丸の列を作ることを考える。最初に操作①をした場合、もっかい①、次に②で長さn+3の列が作れる。この時3で割ったあまりは変化なし。 最初に操作②をした場合、全ての白丸の間に対して②、両端に①をすることで長さ2n+1の列が作れる。この時nを3で割った余りが1なら0に、0なら1になる。 n=1から始まるのでこれらの操作を何回繰り返しても3で割った余りは2にならない。 どうでしょうか！！

[@rairaikun1]

@@user-eq5gl8tk6e 白玉の列からより長い白玉の列を生成する方法はその2つのみではありません。例えば 1 一番右の線に操作② 2 新しい列の一番右の線に操作② 3 新しい列の右から3番目の線に操作② で新しく白玉の列を作ることができます。 他のあらゆる生成方法をもってしても白玉の列の長さが3で割って2余ることがないということを示さないといけません。

[@にしおかけいじ-p9h]

必要性に欠けます。

[@fem1ru711]

解説は分かるけど、三角形に置き換えてみよう！とはならんわ

[@p0utan]

左からi番目の黒丸の位置をa_iとした時に Σ(2^n)a_n+[丸の個数] をmod3で見たものが不変量(0と1は一括りで)になっていそうです 10分くらいで出たけど、回答を書くのが大変なので絶対に後回しにするし実質回答不可能ですねw

[@takumamori7092]

東大のグラフ理論の問題だ！

[@寝るときに現れるハエ]

カリキュラムが違うから一概には言えないけど絶対高校範囲じゃねーだろこれ

[@paipanjisyou]

解答どうやって作るんだ

[@evimalab]

答案では黒と白をそれぞれ行列に対応させるのが楽だと思います。 黒 = [[-1, 0], [0, 1]] 白 = [[cos120°, -sin120°], [sin120°, cos120°]]

[@glunp789]

行列当時あったっけ

[@rintan15]

@@glunp789なかったとしても、これを解けるようなハイパー受験生なら知ってるでしょう(そんな人いたのかな？)

[@moja-z4m]

@@glunp789今は無いけど当時はあったはず

[@p0utan]

(123)の置換表現でもいいかな

[@lll-so9gz]

こりゃ伝説になるわｗ

[@lll-so9gz]

答えがあるだけましだと思うべきか......

[@morenokimu3100]

これ入試で解けたやつがいたのか気になるよな

[@Norio-bv1wv]

雲Tこの問題解けたんやんな

[@本物-y2y]

1:40 ⚫️⚫️⚪️から⚪️⚪️⚪️⚫️ って作れる？？？？ これが作れちゃったら⚪️⚪️⚪️⚪️⚪️も作れちゃわない？

[@921俺]

京大の特色入試ってこれより簡単なの？

[@まみゆ-q5v]

個人的には2023年4番のが難しいと思う

[@nokemoyajuu]

解いたことあるけどこれよりは流石にマシ

[@wannabeshortsleeper]

​@@まみゆ-q5vnCapのmodp^3みたいなやつか

[@user-ls1ze5vk5f]

伝説

[@w4x3]

ワイ一般人「ふーん(何も分かっていない)」

[@クアントロ大尉]

死ぬほど難しいってことだけ知ってて，今日初めて解説聞いたけど，難しすぎて笑っちゃったｗ 競プロとか数オリみたいに「世界で最も優れた数人を探し出したい」ような競技ならわかるけど，日本の大学受験という「数十万人の中から数千人に絞りたい」だけの試験でここまでする必要なさすぎるｗ

[@ijdujjfnrnrndk]

入試問題として考えると、(2)の必要条件は誰もできないと思うので十分条件にかなりの部分点がつくはず 意外と差がつく問題だったかも？

[@dhmo1529]

東大入試つっても後期やから十分なんだよなぁ

[@owata1942]

群論とグラフ理論を知っててそれを息をするように使って解く高校生とか嫌過ぎる

[@えむあいあいあい]

無理ですね

[@zouo-from-Taikonotatsujin]

う　わ　で　た

[@bjthp]

位置を固定した数学的帰納法で余裕

[@wannabeshortsleeper]

まあこれ解けなくてもあと2問はむずくないしな

[@warokihami]

あ、複素数かこれ

[@3rdbaru492]

なるほどわからん

[@MuirHead-up6pf]

これ今年の2月に挑戦したけど当然解けず、ただ解答を見るのも癪なので未だに放置してる。この動画も見ない。

[@miomu306]

？

[@natsuyadamonnde]

ならあげんなや