Transformação Linear. | 01 - Álgebra Linear.

[@jovijovi_john]

ainda não vi um canal aqui no youtube que tenha aulas melhores sobre algebra linear do que do prof aquino. As playlists são super organizadas e a didática ajuda demais. O mínimo que posso fazer é ajudar dando like em todos videos q vejo, professor merece demais

[@LCMAquino]

Obrigado pelo apoio! 🤩

[@joelbarreto7642]

Bora fazer este canal crescer, gente. Ele merece.

[@GabBelGamer]

"É melhor merecer as honras sem recebê-las do que recebê-las sem merecê-las." Mark Twain

[@polianacristina1551]

Você me salva na faculdade professor! Você tem um ótima didática e é super atencioso! Muito grata por suas aulas! Você vai longe! ❤😀

[@LCMAquino]

Obrigado Poliana! Eu desejo bons estudos para você!

[@josewytallosilvabrito2167]

Bora chegar nos 100K, é merecido. Parabéns pelas aulas!

[@felipealves8599]

isso mesmo, garoto!

[@fabiane5453]

Parabéns professor! Suas aulas são excelentes!

[@alexandremugnainijunior6009]

Professor, quero te agradecer imensamente, estou fazendo matemática EAD e suas aulas estão me ajudando muito em álgebra linear! S2

[@CARLOS_GABRIEL]

Parabéns por sua dedicação e profissionalismo, características essas que são muito admiráveis!

[@felipebrazdasilva2936]

Professor, parabéns pela iniciativa. O conteúdo aqui do seu canal é de grande qualidade, sua didática é excelente! Grato pelo compartilhamento de conhecimentos!

[@LCMAquino]

Obrigado pelos parabéns!

[@thiagaodavez5465]

Professor, só passando pra dizer que o senhor está me salvando, e que seus vídeos e seu formato de vídeo são mt bons, valeu!

[@LCMAquino]

Fico feliz em estar ajudando! 🖖

[@geovanisantos7833]

você tá me ajudando MUITO mano, obrigado!

[@Matheus-qv7yw]

Valeu!

[@LCMAquino]

Obrigado Matheus por contribuir com o seu Valeu!

[@tonymendes5207]

Muito Bom! Vou acompanhar todas as aulas!

[@delzivetepaula212]

Professor maravilhoso explica bem demais ❤️😍

[@LCMAquino]

Obrigado! 😃

[@esthergregorio-s7t]

emocionada que eu entendi kkkk 🥲

[@LCMAquino]

Muito bem!

[@tirrasgo10]

muito boa a aula professor aquino

[@LCMAquino]

Muito obrigado!

[@Grushenka_Nozdreva]

Obrigada professor! Estou estudando algebra linear pelo seu canal e seus vídeos vão me ajhdar muito na hora da prova🥺

[@LCMAquino]

Que bom que vai ajudar! Desejo bons estudos para você!

[@edigardias4379]

Boa aula

[@LCMAquino]

Obrigado!

[@camillamendes3732]

Muito boa a aula!

[@esthergregorio-s7t]

obrigada professor, salvou minha vida! kkk

[@LCMAquino]

Que bom que ajudei!

[@suanibatista4267]

Professsor, o senhor responder com o passo a passo do exercício passado pra nós? Eu fiz a primeira condição, mas estou me perdendo um pouco na segunda

[@LCMAquino]

O exercício pede para verificar se T(x, y) = (2x - 3y, x +5y) é uma transformação linear. Para fazer isso, vamos analisar as propriedades (i) e (ii) abaixo. (i) T(ku) = kT(u), onde k é um escalar. Considerando que u = (x, y), temos que ku = (kx, ky). Substituindo isso em T vamos ficar com o seguinte: T(kx, ky) = (2(kx) - 3(ky), (kx) + 5(ky)) T(kx, ky) = (2kx - 3ky, kx + 5ky) T(kx, ky) = (k(2x - 3y), k(x + 5y)) T(kx, ky) = k(2x - 3y, kx + 5y) T(kx, ky) = kT(x, y) Com isso temos que a propriedade (i) é válida para T. (ii) T(u + v) = T(u + v). Considerando agora que u = (a, b) e v = (c, d), temos que u + v = (a + c, b + d). Substituindo isso em T vamos ficar com o seguinte: T((a, b) + (c, d)) = T(a + c, b + d) T((a, b) + (c, d)) = (2(a + c) - 3(b + d), (a + c) + 5(b + d)) T((a, b) + (c, d)) = (2a + 2c - 3b - 3d, a + c + 5b + 5d) T((a, b) + (c, d)) = ((2a - 3b) + (2c - 3d), (a + 5b) + (c + 5d)) T((a, b) + (c, d)) = (2a - 3b, a + 5b) + (2c - 3d, c + 5d) T((a, b) + (c, d)) = T(a, b) + T(c, d) Com isso temos que a propriedade (ii) também foi válida para T. Portanto, temos que T é uma transformação linear. Ficou claro o desenvolvimento? Comente aqui!

[@henrico_jc]

Ótima aula, professor! Só uma dúvida: na questão (b), quando faz a distributiva do alfa*(x+1), porque não poderia ficar (alfa*x+alfa)? Obrigado pela aula!

[@LCMAquino]

Note que a transformação linear no exercício 1 (b) é a seguinte: T(x, y) = (x + 1, x + y, y + 1) Agora pense na pergunta: o que essa transformação linear faz? Resposta: - ela pega o valor da primeira coordenada e soma com 1. Isto é, se a primeira coordenada era x, então após aplicar T o valor da primeira coordenada será x + 1; - ela pega o valor da primeira coordenada e soma com o valor da segunda coordenada. Isto é, se a primeira coordenada era x e a segunda era y, então após aplicar T o valor da segunda coordenada será x + y; - ela pega o valor da segunda coordenada e soma com 1. Isto é, se a segunda coordenada era y, então após aplicar T o valor da terceira coordenada será y + 1. Sendo assim, quando calculamos T(αx, αy) vamos ter que fazer: - pegar αx e levar em αx + 1; - pegar αx e αy e levar em αx + αy; - pegar αy e levar em αy + 1; Em resumo, teremos: T(αx, αy) = (αx + 1, αx + αy, αy + 1) Entendeu agora o que aconteceu? Comente aqui!

[@henrico_jc]

@@LCMAquino que explicação sensacional! Me ajudou muito, professor. Obrigado mesmo pela atenção e tempo.

[@yasminmendes8996]

otima aula professor!

[@LCMAquino]

Obrigado! 😃

[@abdiasoliveirarocha5528]

Didática muito boa

[@4nd3rson182]

olá professor, gostaria de saber se voce aborda coordenadas homogeneas na playlist de transformaçao linear, obrigado!

[@LCMAquino]

Não abordo essa parte.

[@fabianolandim713]

Ótima aula

[@ryuunosukeakasaka9061]

Sim é uma transformação linear R² enviando R²

[@camillamendes3732]

Professor, você poderia me ajudar em uma questão? f : R2 → R3 tal que f(x, y) = (x2, y3, 0) é transformação linear? O que faço no caso de ter funções do segundo ou terceiro grau? O com o 0? Se alguém puder ajudar ficarei grata.

[@LCMAquino]

Não importa as funções que aparecem, a maneira de resolver o exercício vai ser seguindo uma mesma ideia. Ou seja, você precisa verificar as duas propriedades abaixo: (i) f(λa, λb) = λf(a, b) (ii) f(a + c, b + d) = f(a, b) + f(c, d) Por exemplo, se você tem f(x, y) = (x^2, y^3, 0), então testando a primeira propriedade vai ficar: f(λa, λb) = ((λa)^2, (λb)^3, 0) = (λ^2a^2, λ^3b^3, 0) Por outro lado, veja que: λf(a, b) = λ(a^2, b^3, 0) = (λa^2, λb^3, 0) Comparando o resultado de f(λa, λb) com o resultado de λf(a, b), temos que eles são diferentes. Portanto, já não temos a primeira propriedade. Isso significa que f não é transformação linear. Nem precisamos testar a segunda propriedade, mas eu recomendo que você faça isso para treinar. Ficou claro? Comente aqui.

[@samuelcarlosteles1633]

Aula 1 ✔

[@LCMAquino]

Pra cima da próxima!

[@gabyalves6254]

considere a transformaçao linear T:M2(R) EM R, T(M)= -M elevado a t. qual a dimensao do nucleo e da imagem ? a resposta sera 1 e 3 ?

[@gabyalves6254]

eu nao entendi essa questao

[@marianasilvademoraes6493]

eu cheguei na resposta (a(2x-3y), (ax+5) como posso continuar?

[@LCMAquino]

Dá uma olhada nas suas contas de novo. Se temos T(x, y) = (2x - 3y, x + 5y), então note que: T(a(x, y)) = T(ax, ay) T(a(x, y)) = (2(ax) - 3(ay), (ax) + 5(ay)) T(a(x, y)) = (a(2x - 3y), a(x + 5y)) T(a(x, y)) = a(2x - 3y, x + 5y) Isso tirou sua dúvida? Comente aqui!

[@wesleysilva7051]

Ela é uma transformação linear, pois atende as duas regras.

[@LCMAquino]

Essa é a resposta do exercício no final. Muito bem!

[@alexandremugnainijunior6009]

Eu fiz diferente, desenvolvi T(u)+T(v) e depois T(u+v), cheguei com as duas no mesmo lugar e concluí que T(u)+T(v)=T(u+v)

[@LCMAquino]

Pode ser assim sem problema.

[@Holamundo.2017]

(c) Ache a imagem, pelo operador Ty, do semic ́ırculo superior de raio unit ́ario e centrado na orgiem. Isto ́e, Ty(C∗), em que C ∗ = {(x, y) ∈R2 ; x ^2 + y^2 = 1; x ≥ 0; y ≥ 0}. Fala professor, beleza? deixando esse exercício aq que meu professor de algébra passou numa lista para a gente. Se o senhor tiver tempo e achar interessante será de grande ajuda um vídeo dessa resolução;

[@LCMAquino]

Qual é a expressão de Ty? No seu comentário não tem.

[@Holamundo.2017]

@@LCMAquino Considere o operador linear Ty : R 2 → R 2 dado por Ty((x, y)) = (x, −y).

[@jeniferalana9608]

Não entendi como chegou a esses resultados da i e ii, o resultado final, tô sem entender.

[@LCMAquino]

Você diz na resolução do Exercício 1? Se for isso, eu estou aplicando cada função dada para testar se ela obedece as propriedades i) e ii).

[@herickjose3289]

Ótima aula professor, poderia me tirar uma dúvida? Não consegui entender essa questão: Determine a matriz (nas bases canônicas) da transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 2, 3) = (1, 1), T (0, 1, 2) = (2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3).

[@LCMAquino]

A base canônica de ℝ³ é {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e de ℝ² é {(1, 0), (0, 1)}. A matriz da transformação T nessas bases terá a primeira coluna sendo T(1, 0, 0), a segunda coluna sendo T(0, 1, 0) e a terceira coluna sendo T(0, 0, 1) (que já foi dada no exercício). Para conseguir calcular T(1, 0, 0) e T(0, 1, 0) você vai precisar usar os dados do exercício. Como {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} é uma base para ℝ³ (verifique isso!), você vai escrever (1, 0, 0) e (0, 1, 0) como combinação linear dos elementos dessa base e aplicar a T. Isto é, você começa resolvendo o seguinte: (1, 0, 0) = a(1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1) (0, 1, 0) = d(1, 2, 3) + e(0, 1, 2) + f(0, 0, 1) Ao montar os sistemas e resolver você vai encontrar os valores a, b, c, d, e e f. Em seguida, você usa esses valores para calcular T(1, 0, 0) e T(0, 1, 0): T(1, 0, 0) = T(a(1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c(0, 0, 1)) T(1, 0, 0) = aT(1, 2, 3) + bT(0, 1, 2) + cT(0, 0, 1) T(1, 0, 0) = a(1, 1) + b(2, 2) + c(3, 3) T(0, 1, 0) = T(d(1, 2, 3) + e(0, 1, 2) + f(0, 0, 1)) T(0, 1, 0) = dT(1, 2, 3) + eT(0, 1, 2) + fT(0, 0, 1) T(0, 1, 0) = d(1, 1) + e(2, 2) + f(3, 3) Por fim, você vai pegar T(1, 0, 0), T(0, 1, 0) e T(0, 0, 1) e montar a matriz desejada. Agora é botar a mão na massa e fazer as contas! Depois comente aqui o seu resultado.

[@viniciusferreira4664]

mano vc me salvou dms,faço facul de ciências da computação ai apareceu essa matéria desgraçada pra por no meu rabo aff

[@LCMAquino]

Que bom que ajudou!

[@renata1402]

A existência de T(0,0) também não é uma condição?

[@LCMAquino]

Você se refere a T(0) = 0 (isto é, o "vetor nulo" do domínio ser levado no "vetor nulo" da imagem)? Isso não precisa ser uma condição. Ela já será uma consequência das outras condições (isto é, de T(u + v) = T(u) + T(v) ou de T(αu) = αT(u)).

[@maxoliveira6328]

Necessariamente preciso fazer t(0)=0? Pq no último exemplo por isso já não seria transformação linear

[@LCMAquino]

Não necessariamente precisa fazer. Mas se você calcular T(0) e não der 0, então você já pode dizer que T não é transformação linear.