Un corps fini a pour cardinal une puissance de nombre premier

[@LesMathsEnClair]

Erreur sur le morphisme canonique à la fin : c’est un morphisme d’anneau pas juste de groupe, ce qui permet de dire que phi(ab)=phi(a)phi(b)

[@ariannalover]

pourquoi K isomorphe a F ^n

[@ariannalover]

connard

[@LesMathsEnClair]

Effectivement ce point n’est pas évident notamment parce que je n’ai pas trouvé d’exemple parlant de sous corps d’un corps fini. Donc comme toi j’ai encore du mal à visualiser la chose. Mais d’un point de vue purement rigoureux c’est très clair : du fait que F est un corps on peut parler de F-ev. Comme F est inclus dans K, la multiplication externe (un scalaire = un élément de F * un vecteur = un élément de K) est bien stable dans K. Donc K possède la structure de F-ev. K est fini donc a une famille génératrice finie (au pire prendre tous ses éléments) donc on peut lui extraire une base finie (k1,…,kn). Enfin, la fonction combinaison linéaire CL : F^n -> K et qui à (f1,…,f2) -> somme des fi*ki est surjective car (k1,…kn) est génératrice, et injective car (k1,…,kn) est libre. Donc c’est un isomorphisme, donc F^n isomorphe à K. Effectivement tu as raison de poser la question j’aurais du plus détailler cette partie parce que après ça devient un réflexe quand on a une base de dire que l’ev est isomorphe au corps à la puissance du cardinal de la base, via CL. Bon courage !