無限降下法が威力を発揮する整数問題

こんにちは！マルチーズ先生です。解が有限個であることを、どのように証明しますか？
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

[@wswsan]

無限降下法っていうと有名なフェルマーの最終定理n=3のときの証明

[@user-vx7ki9ul2o]

x,y,zの一部が0のパターンが入っていないように思えます。 |x|+|y|+|z|が正の範囲で最小となるような解をとると、動画の要領で最小性の矛盾が示されるので、|x|+|y|+|z|=0に限る。よって(x,y,z)=(0,0,0) とするのが良さそうですね。 あと、x²≡-y²-z²なので移項してx²+y²+z²≡0となり、8通りの場合分けを対称性により少し減らせそうですね。

[@81kei14]

確かに係数も減らして書けば4通りですみますね よくわからないのですが、一部が0のパターンって偶数に入らないんですか？

[@user-vx7ki9ul2o]

@@81kei14 動画では(x,y,z)=(2x',2y',2z')(x',y',z'は0でない整数)と書かれていたので、含まれていませんでした。例えば(x,y,z)=(2,0,0)だとy',z'が0にならないといけませんが、y',z'が0でない整数とされていたので含まれていません。

[@81kei14]

@@user-vx7ki9ul2o なるほど、見落としてました 上で書かれている通り背理法の入りとしては、x',y',z'のいずれかは0でない整数、が正しそうですね

[@user-we9lp7lh4t]

アドバイス有難うございます！確かにその通りですね。

[@user-yn1mu2eb8t]

タイトルが8割ネタバレになってる

[@user-we9lp7lh4t]

気を付けないといけないですね。。。

[@moa32u]

法を変えても示せるんじゃないかと🤔 mod7で見てxx≡3yy. 法7での平方剰余は0,1,2,4のどれかで、 xx≡0のとき3yy≡0よりyy≡0 xx≡1のとき3yy≡1よりyy≡5 xx≡2のとき3yy≡2よりyy≡3 xx≡4のとき3yy≡4よりyy≡6. 結局xxもyyも7の倍数しかあり得ず、x=7x,y=7Yと置くと 49XX=3×49YY+7zz. これからzz=7(XX-3YY)で、zzも7の倍数だからzも7の倍数で、z=7Zと置くと、 XX=3YY+7ZZ. これで振り出しに戻るので、アウト😊

[@user-we9lp7lh4t]

mod4で考えるより場合分け少なくて良いですね！

[@vacuumcarexpo]

タイトルに「無限降下法」とあるので、答は（0，0，0）しかないのかぁ～、となってテンション下がったので、解かずに動画見た。 （0，0，0）しかないと何かテンション下がりますよね（笑）。

[@user-we9lp7lh4t]

タイトルの答えを書いているようなものですね。。。気をつけないとですね。