Was ist der Primzahlsatz , Zahlentheorie #46

Was ist der Primzahlsatz und welche Ideen führten unabhängig voneinander die beiden Mathematiker Gauß und Legendre zur Vermutung des Primzahlsatzes?
Dipl. Physiker Dietmar Haase erklärt in diesem Video zunächst, wie der Mathematiker Gauß bereits als 15-jähriger, mithilfe einer geschenkten Primzahlentabelle, eine erste Abschätzung für die Primzahlzählfunktion
gefunden hatte. Unabhängig von der Approximation von Gauß fand fünf Jahre später der Mathematiker Legendre eine wesentlich bessere Abschätzung für die Primzahlzählfunktion. Gauß und Legendre stellten darauf hin eine Vermutung auf, die heute als Primzahlsatz bezeichnet wird, die sie beide selbst aber nicht beweisen konnten. Der Primzahlsatz besagt, dass die Primzahlzählfunktion und die Funktion x/ln(x) zueinander asymptotisch gleich sind. Das heißt, dass die Wachstumsgeschwindigkeiten der Primzahlzählfunktion und der Funktion x/ln(x) für große x-Werte annähernd gleich sind. Es wird außerdem gezeigt, wie Gauß durch
Einführung des Integrallogarithmus eine optimale Approximation für die Primzahlzählfunktion gefunden hat und es wird bewiesen, dass der Integrallogarithmus ebenfalls asymptotisch gleich zur ersten Gaußschen
Approximation x/ln(x) ist.
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