Was ist eine Arithmetische Folge? | geometrische und arithmetische Folgen berechnen | Folgeglieder

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Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten.
Eine arithmetische Folge (auch: arithmetische Progression) ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden natürlichen Zahlen dar: 1,3,5,7,9,...
Die zwei wichtigsten Folgen sind die arithmetische und die geometrische Folge. Sie treten in der Natur (radioaktiver Zerfall, bakterielles Wachstum), den Finanzwissenschaften (Zinsen und Zinseszinsen) und vielen weiteren Bereichen auf. Man sieht zudem, dass ein Wechsel zwischen expliziter und rekursiver Darstellung sehr einfach ist.
Du kannst erkennen, dass die Ähnlichkeit der zwei Definitionen nicht zufällig ist, die arithmetische Folge wächst additiv, die geometrische multiplikativ. Die geometrische Folge tritt in vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen in der Natur auf, in der Zinsrechnung haben sowohl arithmetische als auch geometrische Folge ihren Platz.
Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.
Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.
Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge, deren n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist.
Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Eine unendliche geometrische Reihe entsteht, wenn bei der geometrischen Reihe n gegen unendlich geht.
Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im Allgemeinen divergent. Es interessieren deshalb vor allem die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.
Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe. Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.
Mathematik Nachhilfe in Villach

[@Mia-qg6uw]

Vielen Dank! Ich schreibe morgen einen Test und habe erst durch dieses Video verstanden. Habe es selbst versucht aber die Krise bekommen.

[@lernflix]

Hallo Mia. Danke für dein Feedback. Schön, dass ich helfen konnte. Alles Gute bei deinen Test. LG lernflix 😁

[@lunalove486]

Danke dir! Endlich hab ich es verstanden😃 und das Mysterium um n gelöst. Hat bis jetzt noch niemand so gut erklärt!

[@lernflix]

Hi Luna. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Danke dir für dein ABO. LG lernflix😄

[@jessicasteininger7186]

Sehr gut erklärt. Hat mir sehr geholfen, danke 😊👌🏼

[@lernflix]

Hallo Jessica. Danke für dein tolles Feedback. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Freue mich natürlich auch über dein ABO. LG lernflix

[@realmadrid6320]

Gutes Video soweit , aber wie mache ich das ganze bei Folgen höherer Ordnung? Also wie mache ich es wenn ich z. B die Summe (=525 z. B) einer arithmetischen Reihe mit 50 Gliedern gegeben habe und dann nur noch ein Glied a15 z.b = 70 habe... Wie kann ich dann die anderen Glieder herausfinden und ein Bildungsgesetz aufstellen?

[@lernflix]

Danke für deine Frage. Prinzipiell funktioniert das dann auch nach diesem Prinzip. Ist aber davon abhängig, was du alles gegeben hast. Ist die Angabe, die du oben angesagt hast vollständig? LG lernflix

[@realmadrid6320]

@@lernflix ja ist vollständig... Also ich habe nur die Summe einer arithmetischen Reihe gegeben, die Anzahl der Glieder einer arithmetischen Reihe und den Wert vom fünften Glied. Wie kann ich daraus ein Bildungsgesetz aufstellen? Komme da irgendwie gar nicht weiter

[@endn4084]

wie erkennt man an Aufgabenstellungen, ob es sich um a0 oder a1 handelt.

[@strasso4141]

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[@TesIaCH]

das neue Netflix.

[@demophilo1]

Warum fängt man mit a1 an und nicht mit a0. Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet die Null. Warum lässt man sie aus? Wenn man mit a0 anfängt, wird die Formel einfacher. an = n*d + a0 Man lässt ja auch bei Polynomen den Index bei Null beginnen. Es ergibt keinen Sinn, wenn man bei Eins beginnt. Aus der Sicht der Mengenlehre ist die Eins durch nichts ausgezeichnet. Also könnte man bei 2 oder 1000 oder 66757785765 beginnen. Die Null ist ausgezeichnet, da sie die kleinste natürliche Zahl ist. Beginne mit der kleinsten Zahl, dann nimm die nächst höhere usw. ist ein logischer Algorithmus. Nimm die zweitkleinste natürliche Zahl ist nicht nur unlogisch, sondern auch noch umständlich, was es noch unlogischer macht. Als Kopernikus die Sonne in den Mittelpunkt des Sonnensystems stellte, war der Grund nicht höhere Genauigkeit, sondern Einfachheit der Bahngleichungen. Heut schütteln wir den Kopf über das geozentrische Weltbild und lächeln Milde. Den Index bei Eins anzufangen, kommt mir ähnlich vor.

[@lernflix]

Hallo Karl, vielen Dank für deinen ausführlichen Kommentar und deine Gedanken zu diesem Thema. Selbstverständlich sind die natürlichen Zahlen N die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 usw. Je nach Definition kann auch die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt werden. Dann wird die Menge mit N0 abgebildet. Falls die Menge explizit ohne der Zahl 0 gewünscht ist, schreibt man N* = {1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7…} Eine Reelle Zahlenfolge wird folgendermaßen definiert: Jeder ganzen Zahl "wird eindeutig eine reelle Zahl " zugeordnet. Dabei heißt die unendliche Menge dieser reellen Zahlen a1, a2, a3… reelle Zahlenfolge. Die ganzen Zahlen sind dabei Elemente der Natürlichen Zahlen N*, also ohne Null. Auch wenn dir diese Definition sehr unlogisch vorkommt, gilt dies als eine allgemein gültige Definition der höheren Mathematik. LG lernflix😄

[@demophilo1]

@@lernflix Alle Schüler lernen heutzutage, dass die Menge der natürlichen Zahlen N die Null enthält. N* ist ohne Null, ja, so wie Q*, Z*, R*. Macht Sinn. N0 ist jedoch eine alte, ja veraltete Schreibweise, aus der Zeit als man Null nicht als natürliche Zahl ansah. Wir können gerne debattieren. Aber ich mache darauf aufmerksam, dass Schüler/-innen das nicht können. Da sind dann die Mathematiker unerbittlich. Und in der höheren Mathematik richten es sich die Mathematiker , wie sie wollen. Da fängt dann plötzlich eine Reihe bei 0 an. Alles schon gesehen. Und nein, die Mathematik definiert eine Zahlenfolge als Abbildung von i, Element von N, auf ai. Also a0 als Anfangsglied.