Welche Zahl ist GRÖßER? - Mathe RÄTSEL

[@MathemaTrick]

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[@pinkeHelga]

Daß Fakultät kleiner ist, war sehr schnell ersichtlich. Auf den schönen mathematischen Beweis über die binomische Formel wäre ich aber nicht gekommen. Bitte viel mehr solcher eleganten Beweisführungen! Absolut cooler Kontent!

[@l.thomas9696]

Macht immer Spaß von dir beknobelt zu werden. Weiter so

[@karimrajab6819]

Fakultät ist größer für große Zahlen

[@detliskenvondematkos]

So ging es mir auch, Helga. Das Video hat richtig Spaß gemacht!

[@detliskenvondematkos]

@@karimrajab6819 wenn Du nach dem gleichen Prinzip x! mit y^x vergleichst, wobei x=2*y-1 (x ist Element der natürlichen Zahlen) ist, dann nein! Der Beweis gilt ja für beliebig große Vergleichspaare. Edit: um das verständlich zu machen: Du darfst nicht 999! Mit 50^999 vergleichen, sondern musst dann mit 500^999 vergleichen, weil dann 500 genau in der Mitte der 999 zahlen liegt.

[@goldfing5898]

Warum ist das "schnell ersichtlich"? Ich dachte zuerst das Gegenteil. Inzwischen habe ich vollständige Induktion für beide Thesen probiert, beide Male hat es nicht hingehauen, da sich die Größenverhältnisse an einer bestimmten Stelle umzukehren scheinen. Müßte man mal mit dem Computer genauer untersuchen. Irgendwie kommt mir das wie in den Mathe-Vorlesungen vor, wo die Erstsemester vom Professor in seinem Skript mit dem schlichten Wort "Klar" erschlagen werden, wenn etwas für sie überhaupt nicht klar ist und sie völlig überfordert sind.

[@Dancer51001]

Herzlichen Dank auch für diese Aufgabe. Ich genieße immer wieder Deine klaren Herleitungen und Schritt-Beschreibungen. Hier eine andere Herangehensweise: In diesem Fall ist auch ohne Berechnung sofort zu sehen, dass 99 x 1 auf jeden Fall kleiner ist als 50². Es reicht, 51 x 49 auszurechnen, was um 1 kleiner ist als 50², nämlich 2499 (gegenüber 2500). Somit ist sofort klar, dass jedes Päckchen kleiner ist als 2500 (und die Differenz zunimmt, je mehr wir uns 99 x 1 nähern). Ohne binomische Formel, dafür mit schnellem Überblick und einmal das größte Päckchen ausrechnen, ist also auch ein gangbarer Weg.

[@Bauernwalze]

Bis zur Pärchenbildungen hätte ich es auch so gemacht. Dann hätte ich aber kurz 51*49 als größtes Pärchen ausgerechnet und gezeigt, dass es kleiner ist als 50^2. Und damit 50^99 zu größeren Zahl erklärt.

[@pinkeHelga]

Habe ich auch so gemacht. Ist aber mathematisch noch kein Beweis, daß nicht etwa 1*99 oder 25*75 größer sein könnten. Imgrunde müßte man dann alle Pärchen durchrechnen; es könnte sich ja theoretisch eine merkwürdige Kurve ergeben.

[@IHaveTwoCookies]

@@depression_isnt_real Logisches denken. Wenn du jeweils 2 Produkte aus 2 Zahlen hast deren Addition das selbe Ergebnis haben ist die Zahl am höchsten, derern beiden Faktoren am nächsten beieinander liegen. Kann man ganz gut bei 20 (D.h. man nimmt alle Faktoren, deren Addition 20 ergibt (auf ganze Zahlen bezogen)) zeigen. 1×19=19 2×18=36 3×17=51 4×16=64 5×15=75 6×14=84 7×13=91 8×12=96 9×11=99 10×10=100 Ob das als Beweis in eine Prüfung etc. Gelten würde weiß ich nicht, für mich ist das aber einer

[@IHaveTwoCookies]

@@depression_isnt_real wenn du meinst

[@tainted3922]

@@pinkeHelga dass (51*49) das grösste Päckchen ist, sollte mit Induktion einfach zu beweisen sein

[@IHaveTwoCookies]

@@depression_isnt_real Danke, dir auch

[@michaelplank2949]

Einfach super geduldig und verständlich erklärt, herrlich! 😃

[@MathemaTrick]

Dankeschön Michael! 🥰

[@michaelplank2949]

@@MathemaTrick Danke DIR für so viel Engagement! 🥰

[@Marfph]

Dem kann ich nur zustimmen. Wünsche mir manchmal, daß es nicht so ausführlich ist, weil mir es schon klar ist, aber genau dafür ist der Kanal ja da, dass es möglichst alle verstehen.

[@deandantango]

Diese Mathe-VIdeos sind schon recht erstaunlich. Die Auswahl von spannenden Mathe-Aufgaben und -Rätseln ist wirklich exquisit. Verschiedene Schwierigkeitsstufen sind auch dabei. Auch einfach gut vorgetragen, mit einem gewissen “etwas”, sodass ein Spaß-Funike überspringt, der immer wieder motiviert, sich an der nächsten Aufgabe zu probieren. Vielen Dank für all die Arbeit, von der so viele profitieren!

[@MathemaTrick]

Hey Daniel, dankeschön für deine lieben Worte!

[@dianab.8529]

Einfach und logisch erklärt. Schade, dass du nie meine Mathelehrerin warst, dann hätte ich sicher keine Vier bekommen. Vielen Dank! 👍

[@guntherlohmann1613]

Bei Susanne lernt man auch gut strukturiertes Denken - straight forward. War schön für mich zuzusehen. Danke Dir dafür. G.

[@peterebel7899]

schau ihr nicht zu tief in die Augen ...

[@guntherlohmann1613]

@@peterebel7899 Das nutzt nichts auf dem PC, habe ich schon ausprobiert ...

[@peterebel7899]

@@guntherlohmann1613 Dumm, nicht wahr? ;-)

[@guntherlohmann1613]

@@peterebel7899 Nicht dumm und nicht gescheid, sondern normal.

[@brainspamoo2840]

Wiedermal unglaublich. Macht mir immer wieder Spaß, Dir beim Erklären zuzusehen. Die Aufgabe wäre etwas Schönes für eine Abiturprüfung, wobei es mich beim Gedanken daran doch schaudert...

[@alexanderstorm6062]

Sehr schön erklärt. Ich hatte immer Dudley und Onkel Vernon im Ohr: - Und wie viele (Päckchen) sollen das sein? - 36, hab sie selbst gezählt. - Aber letztes Jahr, war es eins mehr. - Aber einige (Päckchen) sind viel größer. - Mir egal, wie groß sie sind...

[@flaggymcfly]

So hätte ich mir das zu meiner Schulzeit gewünscht. Das Fach Mathe wäre für den ein oder andere sicher verständlicher gewesen mit so einer guten Lehrerin.

[@strenter]

Bis zur Aufstellung der sortierten Multiplikation gehe ich mit, dann: 49*51 < 50*50 48*52 < 49*51 Die Produkte der Paarungen werden immer kleiner während 50*50 immer gleich groß bleibt. Ergo ist 50^99 größer. Braucht man keine binomische Formel, ist aber auch ein schöner Ansatz, nur komplizierter.

[@_b0h4z4rd7]

Man muss aber rechnen, der Beweis im Video kommt ohne Berechnung aus und ist daher eleganter.

[@strenter]

@@_b0h4z4rd7 Eigentlich nicht. Quadratzahlen sind immer größer als die Multiplikation von modifizierten Seiten. Sieht man doch, wenn man den Umfang von Rechtecken mit deren Flächeninhalt vergleicht. Das Quadrat hat bei gleichem Umfang die größte Fläche.

[@patrickpatrick8124]

@@strenter mit sieht man doch ist ein mathematischer Beweis gerade in Hinblick auf Ungleichungen nicht getan. Der Einsatz der binomischen Formeln zeigt sehr eindeutig, warum die Quadratzahlen immer größer, darauf muss nur halt auch erstmal kommen.

[@markslowhand4214]

Cool aber um das Rechnen zu vermeiden müssten man auch kurz zeigen das (a-1)*(b+1) < a*b ist für b > a+1. Beweis: (a-1)*(b+1) = a*b + a - b + 1 = a*b - ( b - (a+1) ) und weil (a+1) kleiner b ist ziehen wir mit der äusseren Klammer immer etwas ab was grösser 0 ist, so dass dieser Ausdruck immer kleiner a*b ist was zu beweisen gewäsen wäre ;)

[@patrickpatrick8124]

@@markslowhand4214 ohne Witz Digga andere korrigieren aber scheiße labern.. hier steht in beiden Fällen 50 in der Klammer und nicht zwei verschiedene Zahlen wie du es hier mit a und b darstellst. Dass b^2 immer größer ist als b^2 minus irgendeine Zahl ins Quadrat ist die Folge wenn man mit der binomischen umformt, nicht das, was du da verzapfst. Ohne Witz krieg kotze bei Leuten die nicht einfach normal Fehler hinweisen können, aber erst recht bei Leuten die so abgehoben sind, aber es selber noch nicht mal verstanden haben.

[@mws7347]

Hi Susanne. Der Erklärungsabschitt mit der blauen Farbe, dem Umsortieren und der Binomischen Formel hätte man sich komplett sparen können. [Die 'Grüne 50', die auf beiden Seiten als Zusatzfaktor auftaucht, lasse ich hier mal weg, weil die nichts an der Relation ändert.] Man braucht nur die grünen 'Päckchen' (die grünen Klammern) anschauen unter dem Größenaspekt: Das 1. grüne Päckchen berechnet sich mit 99x1 = 99, das 2. mit 98x2 =196, das 3. mit 97x3 =291. Die Größe der Päckchen steigt also kontinuierlich an. Somit lässt sich schreiben: (1.Päckchen) < (2.Päckchen) < (3.Päckchen)

[@michasn9291]

Super Aufgabe, aber ob ich von allein auf die Lösung gekommen wäre? Binomische Formel als Lösungsansatz - schon genial!

[@transfunktionator]

Super Erklärung, analytisch bis zum Schluss und toll präsentiert - so macht Mathe plötzlich Spaß! Danke!

[@MathemaTrick]

Dankeschön! 🥰

[@reinhardtristaneugen9113]

Hi Susannele: ...tolles Beispiel für deine mathematischen Erklärungen, die immer sehr detailverliebt sind... ...ich habe mir einfach gedacht, dass, wenn man die Vielfachen vergleicht, am Ende der Term, der die Potenz ist, gewinnen muss, weil die Zahl allein nach den Nullen vor dem Komma größer sein muss als der fakultätische Term... ...ohne Zweifel schneller, aber mathematischer und < sheldonesker > ist dein Erklärungsansatz... Le p'tit Daniel, und noch einen schönen Tag Dir

[@hcgreier6037]

Schöne Aufgabe! Ich weiß ja dass viele Abiturienten heutzutage einen Taschenrechner haben, der diese Frage sehrwohl beantworten kann: z.B. TI Nspire oder Classpad 50^99 = 1.57772·10^168 99! = 9.33262·10^155 Bei noch höheren Potenzen/Fakultäten wird's dann aber schwierig ;) Aber die Herleitung zeigt sehr schön, wie man hier ohne den Taschenrechner argumentieren kann! Well done!

[@harry6668]

Mein Rechner im iPhone hatte 99! noch ausrechnen können, aber bei 50^99 kam Fehler. Kleiner Funfact, mein iPhone 4 kann 50^97 ausrechnen, mein iPhone12 kann nur 50^94, dafür kann das iPhone12 10^160, aber das iPhone4 nur 10^127 - die Logik dahinter soll mir mal jemand erklären.

[@powereumel8338]

Wunderschön, super klug und absolut sympathisch......so macht Mathematik Spaß (wenn auch für mich, nur beim Zuschauen). Tolle Frau.

[@maremonte157]

Gesehen habe ich das Ergebnis zwar auch, aber Deine Herleitung ist genial.

[@peterjansen7929]

Gut (mit viel Geduld) erklärt. Dies war mein ZWEITER Lösungsweg. Erster Lösungsweg: Was macht man bei großen Fakultäten? Stirlingformel! Dann: 99/e < 50, und zwar deutlich genug, dass man sich um die √198π nicht weiter kümmern muss. (Um den ganzen Rest natürlich erst recht nicht). Fertig!

[@FinoMaler]

👍Super toll im Detail erklärt. Danke dafür. 😀

[@wolfgangley2598]

Nach den Reiseberichten war das die bisher beste Episode. Vor mehr als 50 Jahren durften wir als Studenten die Anzahl der möglichen Kombinationen einer Lotterie berechnen. Das war einfach. Zeige uns bitte, wie das funktioniert, wenn eine Zusatzzahl ins Spiel kommt. Vielen Dank, auch im Voraus für künftige Beispiele.

[@maikmeier5032]

Faktorensotierung war klar, der Trick mit der dritten binomischen Formel war richtig schön, ich hätte an der Stelle die ersten beiden und die letzten beiden Paare multipliziert und daraus abgeleitet, dass alle Faktoren kleiner sind, aber mit der binomischen Formel ist es deutlich eleganter und vor allem rigoroser. Hat mir gefallen.

[@georgm3257]

Auf die Paarungen 50*50 mit (50-i)*(50+i) sind wie man den Kommentaren entnimmt, einige gekommen. Bevor du etwas rigoros beweist, ist es manchmal sinnvoll, die Aussage (in diesem Fall 50*50 > (50-i)*(50+i)) geometrisch zu interpretieren und dadurch zu plausibilisieren: Beide Seiten der Ungleichung sind Flächeninhalte von Rechtecken mit Umfang 200. Und welches Recheck mit Umfang 200 hat den größten Flächeninhalt? Richtig,, das Quadrat. Und dann ist der Schritt, das zu beweisen, nicht mehr so groß.

[@maikmeier5032]

@@georgm3257 stimmt, das ist auch eine schöne Methode. Intuitiv war es ja klar, was größer ist, die elegante Beweisführung ist ja immer das wichtige.

[@petramariamayer5646]

Das war echt mal was originelles Neues! Klasse, hat Spaß gemacht!

[@big_digger2225]

Das schönste an Deinen Rätseln ist, dass man die Aufgabe sieht bevor man sich das Video anschaut. So kann man knobeln, bevor man das Video anklickt. Dieses Mal brauchte ich länger als sonst. Gut, mit Taschenrechner wäre es in Sekunden erledigt: 50^99 =1,5777x10^168 und 99! = 9,3326x10^155. Die Ähnlichkeit zur "Gauß-Aufgabe" ist offensichtlich, also hatte ich auch die Päckchen gebildet und die 3 Binomische Formel verwendet. Bis zur Mitte des Videos dachte ich noch, ich könnte mit einer alternativen Lösung glänzen. Dann aber hatte ich doch nur die Lösung aus dem Video gefunden.

[@murdock5537]

Tolle Aufgabe - und super erklärt, danke! 50^2 > (50 - a)(50 + a), a ≠ 0 🙂 oder: g(x) = 2500 - x^2 → ∫ g(x)dx = 2500x - (1/3)x^3 = (49)2500 - (1/3)49^3 =122500 - (1/3)117649 ≈ 83284 f(x) = (49)2500 = 122500 → f(x) > ∫_1^49 g(x)dx

[@louis.s0423]

Hatte mir im Bett mal Gedanken darüber gemacht welche Zahl größer ist wenn man beispielsweise 5*5 nimmt und das mit 4*6 vergleicht. Ist ja im Prinzip ähnlich und kam dann auch darauf dass das Produkt von den beiden unterschiedlichen Zahlen genau um den Abstand zur mittelzahl zum Quadrat kleiner ist als das die mittelzahl zum Quadrat. Schon irgendwie cool diesen Gedankengang weitergeführt in so einem Video wiederzufinden. Danke dafür :))

[@Waldlaeufer70]

f(x) = x (10 - x) = - x² + 10x wäre die Funktion zu deiner Überlegung, also eine Parabel, die bei (5 / 25) ihren Scheitelpunkt hat.

[@louis.s0423]

@@Waldlaeufer70 Genau, hatte mit am Ende aufgeschrieben: x^2 > (x+n) * (x-n) x^2 > x^2 - n^2 Mit x als die mittelzahl und n als der Abstand.

[@Delibro]

Genau, das ist auch der Grund wieso eine quadratische Fläche immer die größte ist wenn die Seitenlängen gegeben sind. Tatsächlich mal was was man ab und zu im Alltag braucht.

[@markwinfield1679]

Consider 99x1, 98x2 etc. Largest will be the square, 51x49, which is smaller than 50x50. Since every pair is smaller than 50x50 it follows that 50^99 is larger than 99!

[@helmutkrohle4141]

Wenn ich an die alten Kommisköppe zurückdenke, die vor vielen Jahrzehnten versuchten uns Mathe beizubringen und bei Verständnisfragen schon mal darauf vertrösteten, dass man das ja bei der Korrektur der Klassenarbeit sehen werde, sehe ich mich in einer ganz anderen Welt. Solche Lehrer*innen braucht das Land! SUPER.

[@zzub1337]

Das ist auch heute noch der Grund, warum kaum jemand Mathematik mag.

[@Schamballa]

Herrlich, - bei Mathema Trick erinnert man sich wieder an vieles, was man vor 45-50 Jahren in der Schule gelernt hat - und erinnert sich wieder an längst vergessene Begriffe der Mathematik wie z.B. Fakultät (!).

[@svenlima]

Ich habs nachgemessen: 50^99 ist auf meinem Bildschirm 7 mm lang und 99 nur 3 mm. Demnach ist 55^99 grösser. Super einfach.

[@shiju2720]

Ich liebe diese Quadrat-Rechteck-Methode - so nenne ich es mal. In diesem Video hat man also genau den Beweis, dass Quadrate bei gleichem Umfang (ist ganz wichtig!) immer eine größere Fläche als Rechtecke haben. Sehr schön, ich habe nämlich auch den weg über die dritte binomische Formel gewählt :)

[@invalid8774]

ja funktioniert toll. Geometrisch ergibt das auch Sinn, denn der Kreis hat von allen 2D Formen das beste Fläche pro Umfang Verhältnis und ein Quadrat ist das Rechteck, dass dem Kreis am ähnlichsten ist. Entsprechend sind auch alle anderen symmetrischen Varianten am besten, egal wie viele Kanten.

[@tihomirdragujevic7154]

Coole Aufgabe, genial erklärt, wir immer. -- Wenn du Mathe-Lehrerin würdest, müsste dein Unterricht im Fußballstadion stattfinden. Ein Klassenraum wäre viiiiel zu klein für die vielen, die daran teilnehmen wollten :-)

[@JoergMelzer]

Uiii, sehr, sehr eleganter Lösungsweg - KLASSE!

[@MathemaTrick]

Dankeschön, das freut mich sehr! 🥰

[@volkhergoetz]

Vielen Dank! 🌟 Da wäre ich nicht drauf gekommen, wie man das beweist. Ich hätte es so gemacht, dass ich einfach kleinere Zahlen nehme, wo ich es ausrechnen kann und gleich vergleichen kann, zum Beispiel 3^6 versus 6! Da wird es schneller deutlich.

[@bushidooo1]

2^2000 < 2000!

[@antoniushaase1112]

Vielen Dank für das wirklich schöne Rätsel! Bei der Ansicht der KZbin-Inhalte habe ich die Lösung noch nicht gesehen. Als du die erste Zeile allerdings komplett hingeschrieben hattest, fiel mir die 3. binomische Formel ein. Man vergisst leicht, wenn man nicht mehr ständig im Stoff ist. Aber auch Wiederentdecken macht Spaß.

[@1974loki]

Sehr interessant ,wie verständlich erklärt wurde ❤️

[@Etothe2iPi]

Elegant! Danke, das ist mathematische Denkweise in Reinkultur!

[@Anna-mc3ll]

Vielen Dank für diese klare und nachvollziehbare Erklärung!

[@MathemaTrick]

Sehr gerne! ☺️

[@herbertfrischholz6170]

Ich hatte keinen Durchblick - jedoch mit der Sichtweise ganz einfach 🎉💃 Oléolé 👍 🙋‍♂️ und Danke für die Mühe 😊

[@NaughtyOddity]

Beide Zahlen sind die Volumina von Quadern im IR^99 mit selbem Umfang (50*99=100*99/2). Der Würfel (99 mal Kantenlänge 50) maximiert unter allen Quadern festen Umfangs das Volumen,also ist 50^99 größer. Rigoroser: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 < a^2 f.a. b>0, d.h. b=0 (also 2x selbe Kantenlänge statt ungleich aufteilen) maximiert das Binom. Induktiv und mit a=50 gilt dasselbe auch für Potenz 98, bzw 49 solcher Binome. Also a=50, b=0 mit 50^99 maximal.

[@petereitzenberger2769]

Genial erklärt! Natürlich können heutige emulierte Taschenrechner oder z. B. WolframAlpha das direkt, aber es ginge zur Not auch mit einem "normalen" TR. Außerdem wäre das ja nicht der Sinn der Übung. 50^99 kann man zu 5^99*10^99 zerlegen. 5^99 = 1,5777 * 10^69 und (auf dem Papier bzw. im Kopf!) multipliziert mit 10^99 ergibt sich 1,5777 * 10^168. 99! lässt sich mit hier ausreichender Genauigkeit näherungsweise mit der Stirlingformel berechnen. Dabei reichen schon die ersten beiden Glieder der Stirling-Reihe: ln (99!) = 99*ln(99) - 99 = 355,92. Daraus exp(355,92) als Zehnerpotenz zu berechnen, ist unproblematisch.

[@robertgumpi7235]

Hab’s genauso gemacht. Vorher habe ich aber versucht das Problem zu „verkleinern“ auf 5 hoch 9 versus 9 ! Die 5 in der Mitte fällt weg und 4x6 ist schon mal kleiner als 5x5. Also war es klar.

[@metalpit1000]

ich bin durch ein Gedankenexperiment darauf gekommen: 1 * 99 = 99, 2 * 98 = 196; Errechnung Δ: 196 - 99 = 97 -> 99 - 97 = 2. In der Problemstellung 99! wird die 50 nie quadriert (und stellt auch bei 50^99 einmal das neutrale Element dar, das im Vergleich auch ohne rechnerische Berücksichtigung bleiben kann). Das Δ kann man dazu benutzen, es solange zu iterieren, bis 49*51 - das letzte Zahlenpaar in dieser Aufgabe - erreicht wird (99 + 97 + 95...). In keinem Produkt dieser Zahlenpaare wird 2500 auch nur annähernd erreicht - sehr wohl aber in 50^99. Ergo ist Letzteres größer q. e. d.

[@martinmichalek8385]

Genial die Herleitung mit Hilfe der binomischen Formel!

[@ketogenetic6348]

Das war viel spannender als jede Serie die ich mir vorstellen könnte zu gucken, während des Essens XD. Danke. Ich bin auch sicher das es mir im kommenden Bewerbungsgespröch hilft ^^

[@HeribertMuermann]

Ich habe es mit einem vereinfachten Beispiel probiert. 4! vs .2 hoch 4 ► (1/2) n hoch n ist größer als n!. Da 50 sogar etwas mehr als die Hälfte von 99 ist, sollte das da erst recht gelten. Der allererste Eindruck was per Bauchgefühl, die intuitive Vorstellung, dass die Verkleinerung der Werte bei der Fakultät letztlich mehr ausmacht, als immer mit dem gleichen Durchschittwert (n/2) zu multiplizieren. Das ist natürlich weit weg von jeder mathematischen-exakten Beweisführung. Aber schließlich bin ich kein Mathematiker, auch nicht als Hobby, und Abi war vor 47 Jahren, habe also sehr viel vergessen.

[@fahrrad1950]

Peter Volgnandt Die Sache mit der 3.Binomischen Formel ist echt klasse. Erinnert mich ein bisschen an die Aufgabe zähle alle Zahlen von 1 bis 100 zusammen. Ist ja bekannt.

[@eckhardfriauf]

Hätte man Herrn Gauß die Frage gestellt, wäre er wohl weniger über sie irritiert gewesen als über die Zusatzinformation, ein Taschenrechner würde eine 'ERROR'-Meldung zeigen. @Susanne: sehr ansprechend präsentiert! 😉

[@tinygriffy]

Ja danke für den kommentar, jetzt häng ich seit 30 minuten im gauss wiki.. ;) Als ich das Vorschaubild gesehen hab dachte ich das sieht doch n blinder mit nem Krückstock, dann war ich 10 minuten sehr verwirrt von dem rechenweg hier .. gibts da nicht noch nen einfacheren weg ? .. schon so lange her

[@eckhardfriauf]

@@tinygriffy Ei der Daus, Such(t)risiko Gauß. Wiki wird sich freuen, du es ... NICHT ... be...dauern?

[@HeliNeumaierCreative]

Mich erstaunt am meisten, dass ich's zwar nicht kapier, aber trotzdem gerne anschau.. 😉👍super Kanal. Alles Gute!

[@peterkrauliz5400]

Susanne Du bist sicher die beste Mathematik-Lehrerin, weil Du nichts auslaesst bzw ueberspringst ! Du waerest ja auch extrem gut in Physik, sogar fuer die Erklaerung der Relativitaets-Theorie(n). Nur weiter so !

[@heikogabriel4721]

Wenn man 50^99 - 99! ausrechnet kommt 1,577 x 10^168 raus. 50^99 ist also geringfügig größer als 99 ! ;o) ... Hab ich übrigens mit meinem Taschenrechner ausgerechnet !

[@peterfriedl6206]

Das geht zum Schluss aber einfacher: wenn der letzte Produktfaktor (50x50) größer ist als der andere letzte Faktor (51x49) und dieser letzte Faktor der größte ist, dann muss die Fakultät kleiner sein.

[@martinschneider6383]

So hätte ich das auch gemacht.

[@johnmcorigin2389]

Genau so bin ich da auch ran gegangen. Dafür muss man aber wissen bzw. zweigen, dass sich zwischen dem ersten und letzten Faktor kein anderer größerer Faktor versteckt. Das "wissen" wir intuitiv, oder leiten das aus der Geometrie ab, ein Beweis ist das aber noch nicht.

[@peterfriedl6206]

@@johnmcorigin2389 Nein das wissen wir von der Konzeption der Fakultät her.

[@Kleermaker1000]

Mein Bauchgefühl sagte mir dass 50^99 die grössere der beiden Zahlen ist. Exponentielles Wachstum ist einfach brutal und viel grösser als man vielleicht denkt.

[@hellerooster]

Du bist cool. Ich hatte vergessen wie die Fakultät geht und jetzt weiss ich es wieder. Und..... ich habe Dein Video bis zum Schluss geschaut. 😊😊😊

[@rolfborchmann3783]

Mein Taschenrechner kann nur bis 10^99, also habe ich die Summe von log(1) bis log(99) gebildet (155,97) und mit 99*log(50) verglichen (168,20) 🙂 Die Päckchenmethode ist natürlich vieeel jugendtauglicher, das hat mich begeistert.

[@svenmartin1489]

Wirklich eine sehr schöne Aufgabe !!!! 👍

[@Pixelfreund86]

Hier lerne ich mehr als bei uns damals in der Schule. Danke.👍

[@MathemaTrick]

Super, das freut mich! 🥰

[@randomdude6594]

Bis 7:30 hatte ich es ähnlich, danach habe ich die "Päckchen" umgeschrieben als (100-x)*x=100x-x^2 mit x von 1 bis 49. 100x-x^2 ist eine nach unten geöffnete Parabel die ihr Maximum bei x=50 erreicht und somit ist jedes "Päckchen" in der Fakultät kleiner als 50^2.

[@florianreichhold516]

Der gute alte Ti-89 kann es ausreichend. Sind beides riesige Zahlen. Bei Eingabe von 50^99>99! bekomme ich die eindeutige Antwort true. Sehr gute Erklärung im Video.

[@jamielondon6436]

Man kann es etwas eingängiger (weiß nicht, ob auch einfacher) geometrisch lösen, indem man jedes 'Päckchen' als Rechteck und das Produkt als dessen Fläche betrachtet. Dann lässt sich leicht sehen, dass jedes Rechteck kleiner ist als das Quadrat (also die 50*50). Das ganze ist auch bekannt als Extremwertaufgabe mit der maximalen Fläche bei gleichbleibendem Umfang.

[@stefanthuir8650]

Echt klasse und super erklärt. So macht Mathematik Spaß!

[@MathemaTrick]

Hey Stefan, das freut mich sehr! ☺️

[@haraldreimann-trusheim2993]

Sehr elegant gelöst!

[@dd_hd]

Hab das Mal in meinen Taschenrechner eingetippt und habe keinen Fehler rausbekommen. Ich kann damit bestätigen, dass 50^99 in der Tat größer ist als 99!

[@61Ldf]

Was für ein Held😮

[@stefan514]

Ein Handy reicht auch ;)

[@Viper36P]

Es ist wohl eher so, dass die analytische Rechnung in diesem Video bestätigt hat, dass der Taschenrechner nicht kaputt ist.

[@dd_hd]

@@Viper36P mindestens genauso gut

[@walterloidl8126]

Hast recht! So etwas kann man nicht erfinden! Aber es gibt doch welche, die so etwas in Auftrag geben - die einfachen Gemüter halt. Immer frei nach dem Sprichwort:"Der Schelm denkt, wie er ist!" Schöne Weihnachten an alle

[@user.ax.8217]

Da bin ich ja auf einen spitzenmäßigen Kanal gestoßen. 👍👍👍 Du erklärst einfach TOP, ich hab auch schon ein Abo dagelassen.

[@thegenxgamerguy6562]

Geniales Rätsel! Ich habs anders gelöst: Bin auch davon ausgegangen, daß es leicht zu lösen wäre, wenn auf einer Seite alle entweder größer oder kleiner als auf der anderen Seite wären. Paarbildung hab ich auch gemacht, weils einfach zu rechnen ist (pure Faulheit bei mir). Also hab ich den Versuch mit 99*1 gegen 50*50 und 49*51 gegen 50*50 gemacht und so wars dann relativ schnell klar. Deine Lösung ist aber weitaus eleganter.

[@Franz8x57]

Hallo Susanne, ich denke mir, daß die binomische Formel nicht mehr erforderlich ist, um zu beweisen, daß 50^99 > 99! ist. Geht ganz einfach: Im ersten (roten) Term haben wir 49x die 50^2, was jedes Mal 2500 ergibt. Die letztmalige Multiplikation mit 50 vernachlässigen wir, weil die bei dem grünen Term ebenso vorkommt, sich also beide gegenseitig aufheben. Dann schauen wir uns nur noch den grünen Term rechts an: Der beginnt mit 99x1=99 und wächst in insgesamt 48 weiteren Schritten (zusammen also 49 Stufen) bis zu 51x49=2499. Die 47 dazwischen liegenden Stufen liegen alle dazwischen, also keine ist größer als die letzte mit 2499. Wenn also von den 49 Zwischenprodukten des grünen Terms JEDES EINZELNE kleiner ist als die einheitliche 2500 beim roten Term für ebenfalls 49 Zwischenprodukte, dann ist auch der rote Term insgesamt numerisch größer als der grüne. Damit ist der rechnerische Beweis für die Richtigkeit der o.e. Ungleichung erbracht. Gruß von Franz

[@kaanmarvinheimann3273]

Dafür müsstest du allerdings erstmal zeigen, dass die "Stufen" auch wirklich alle zwischen den von dir genannten Werten liegen. Dafür gibt es sicher verschiedene Methoden. In einem anderen Kommentar wurde z.B. geometrisch argumentiert.

[@Franz8x57]

@@kaanmarvinheimann3273 Meine Methode, dies zu beweisen war ganz simpel, nämlich rechnerisch als numerische Reihe. Von oben nach unten: 51x49=2499 => kleiner als 2500 52x48= 2496 => kleiner als 2500 und auch kleiner als 2499 53x47=2491 => kleiner als 2500 und auch kleiner als 2496 ... und so weiter abwärts mit stetig kleiner werdenden Ergebnissen und damit natürlich auch stets kleiner als 2500. Nun aus der Gegenrichtung, nämlich von unten nach oben: 99x1=99 => kleiner als 2500 98x2=196 => kleiner als 2500 aber größer als 99 97x3=291 => kleiner als 2500, aber größer als 196 ... und so weiter aufwärts mit stetig größer werdenden Ergebnissen, jedoch stets kleiner bleibend als 2500. Schließlich wird der Anschluss an die obige, abwärts gerichtete Reihe erreicht, aber nicht die 2500 (oder mehr) als Ergebnis. So einfach ist das!

[@DocSnyders]

Bis dahin, wo die 50 als Mittelpunkt bei beiden Folgen festgelegt wurde, bin ich von selber auch drauf gekommen. Dann habe ich es mir aber einfach gemacht und einfach mal exemplarisch 49×51, 48×52, … 1×99 ausgerechnet und mit 50×50 verglichen und daran schon gesehen, dass 50^99 die größere Zahl ist. So schön systematisch war das natürlich nicht, aber immerhin bin ich selber auf die richtige Lösung gekommen. Ich hoff, das zählt auch ein bisschen.

[@FilmscoreMetaler]

Habs auch direkt im Kopf mit der dritten Binomischen Formel gelöst. =)

[@RainbowSushiii]

Hab nen coolen Trick gefunden, mein Handy kann das rechnen 😝 Aber finde es gut wie du immer wieder zeigst wie man Mathematik runterbrechen kann so, dass man keinen Taschenrechner braucht

[@patrickpatrick8124]

Mitm Taschenrechner kannst du keine Beweise aufstellen

[@rolandmengedoth2191]

Saubere Beweisführung. Klasse!!

[@erikt1713]

Es erinnert stark an die Aufgabe, die ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, wie es der kleine Carl Gauss in der Schule gemacht hat, in 50 Paaren zu je 101. Wenn man solche Beispiele im Kopf hat, ist es nicht schwierig.

[@Slazlo-Brovnik]

Ich sag mal so: Ab etwa 5:40 war ie Sache klar. Denn das 99 kleiner ist als 50x50 ist sofort ersichtlich. 49x 51 ist aber auch kleiner als 50x50. Die dazwischen liegenden sowieso. Die binomische Formel zeigt es zwar schön formal, aber wenns nur um die Frage geht "was ist grösser" (was ich am Anfang auch nicht wusste) ist ab 5:45 oder so das Thema durch. Thema und "Auflösung" fand ich interessant.

[@karl-josefschuhmann2743]

Super erklärt!

[@MathemaTrick]

Freut mich, danke! 😊

[@drazens.4021]

Sehr interessante Aufgabe und super erklärt. Danke

[@soletey832]

die Fakultät-Reihe steigt am Anfang schneller (von 99 aus gesehen) als die Exponent-Reihe. Und zwar 99/50 =~2, abnehmend bis 50/50 in der Mitte. Am anderen Ende ist das Verhältnis aber nur noch 1/50=0,02. Also ist die Exponent-Reihe klar im Vorteil. Deine Erklärungen finde ich immer so toll ! Ich bekomme manchmal fast Gänsehaut über deine "positiv-pedantische" und nicht abgekürzte Rechenwege. Und immer wieder die Erinnerungen an Basiswissen. Einfach genial, ich genieße es !

[@Delibro]

Genau so hab ich es auch abgeschätzt, noch bevor ich auf das Video geklickt hab, lustig dass das noch jemand so gemacht hat :)

[@DlmlZ]

Mein Windows Taschenrechner hat es ausrechnen können: 50^99 = 1,5777218104410903486690176890388e+168 und 99! = 9,3326215443944152681699238856267e+155 ergo 50^99 ist größer! Aber die Art wie Du das hier gelöst hast ist natürlich viel beeindruckender als es stupide in einen Taschenrechner zu hacken! LOL! Thanks for sharing! Love it!

[@hansvetter8653]

Klasse logische Herleitung!

[@tobiasmud1891]

Ich hatte tatsächlich denselben Ansatz und dann argumentiert, dass ein Quadrat immer den größeren Flächeninhalt im Vergleich zu jedem sonstigen Rechteck mit dem identischen Umfang hat. Dass so natürlich noch mit den binomischen Formeln genau aufzuzeigen ist aber der mathematisch elgantere Weg.

[@detliskenvondematkos]

Zumal man dieses Flächen-Problem dann ja auch wieder beweisen müsste. 😉

[@litbmeinnick]

@@detliskenvondematkos sie hat die dritte binomische Formel aber auch nicht bewiesen. Dass ein Quadrat den größeren Flacheninhalt hat kann man analog vielleicht auch als "Trivialität" gelten lassen.

[@detliskenvondematkos]

@@litbmeinnick na gut, einverstanden. 😅

[@manfredtheissig5727]

Wenn ich so eine huebsche und geniale matheprofessora ģehabt haette ,waere mein leben wahrscheinlich anders verlaufen,bin 66 jahre ,kaepitan retired,vive in colombia und bin per zufall auf deinen kanal gestossen.mit deinem unterricht koennen die kidsys ŕuhig zuhause leiben ,mach weiter so🦌🐺🦊🐱🦁

[@okotheif5067]

Wow! Eine ähnliche Aufgabe gab es Ende der 90er bei einer Matheolypiade (ich glaube zur Feier des Millenniums war es hier die 2000 statt 99) und ich habe mich seitdem immer gefragt, wie man das löst. Super!

[@Loony-cz3xb]

Hi, ich habe mir das bis einschließlich zum Umsortieren genau so überlegt. Du als Mathematikerin hast das anschließend ganz geschickt gelöst, während ich (Ingenieur) folgendermaßen argumentiert habe: die einzelnen Produkte kann man sich ja auch als Flächen vorstellen; also z.B ein Rechteck mit den Seitenlängen 98 und 2; oder 50 und 50. wenn man voraussetzt, dass es bereits mathematisch bewiesen ist, dass die Fläche (also das Produkt) eines Rechtecks bei gleichen Seitengesamtlängen immer dann maximal ist, wenn die Seitenlängen gleich groß sind (hier: a und b Seite in Summe 100), dann ist damit auch klar dass 50 * 50 immer größer ist als jedes a * b (bei a + b =100). Wäre das auch ein mathematischer Beweis?

[@adambascal1922]

Schöner Beweis! Auch falls niemand es gesagt hat, folgt diese Ungleichung am einfachsten aus der AM-GM Ungleichung. (1 + ... + n)/n >= (1*2 ... (n-1)n)^(1/n), also für jede n > 1, ((n+1)/2)^n > n!. Übrigens tut mir Leid wenn mein Deutsch nicht so gut ist.

[@eezym8131]

Boahh das ist echt mindblown und mega gut erklärt aber ich wäre niiemals alleine drauf gekommen Voll cool wenn man das kann

[@Jenairaslebol27merde]

hab es ganz genau so (außer dass ich meine fakultäten aufsteigend ausnotiere, aber is ja wurscht). das hat mal wieder spaß gemacht ;)

[@irisgallati]

Phuu, ganz schön, logisch und schlau erklärt!

[@c.a.7522]

Hallo Susanne, werde mich jetzt vor der Community blamieren, sage es dennoch. Instinktiv, 50⁹⁹ ist 5⁹⁹ mal 10⁹⁹, das bedeutet 99× die Null dazu. 99! multipliziert zwar,aber es geht abwärts, also immer weniger. Vielleicht zu kurz gedacht alles,weil ab jetzt wird es nicht mehr sauber mathematisch. Deine Erklärung ist großartig, wie immer alles spannend. Danke.

[@peterebel7899]

Schön. Nach den Päckchen hätte ich anders weiter gemacht: Um es kurz zu machen nur angerissen: 50*50 ist die Fläche eines Quadrats mit dem Umfang 200 Jedes Päckchen beschreibt ein Rechteck mit dem Umfang 200 Die größtmögliche Fläche wird mit dem Quadrat aufgespannt, d.h. jedes der Päcken der Fakultät is kleiner als 50*50. Die binomische Formel hatte ich nach so vielen Jahren nicht mehr drauf.

[@Dr._Spamy]

Ich hab mal nur jede 10te Zahl gerechnet, das hat dann immerhin mein Taschenrechner geschafft. ;) Also 1. 50^9,9 = 6,6*10^16 und 2. 99*89*79...*9 = 2,685*10^16 Ich hatte vermutet, die Ergebnisse könnten im gleichen Verhältnis zueinander stehen, wie die der ursprünglichen Ausdrücke. Ob das tatsächlich so ist, kann ich allerdings weder beweisen noch überprüfen.

[@kluftdeko8513]

Ich habe eine Frage und war mir nicht sicher ob das Sinn macht. Bis zu dem "Päckchen bilden" hab ich das genau so gemacht (Also 50^2 * 50^2 .... bzw. (99 * 1) * (98 * 2). Auf die Idee mit der binomischen Formel bin ich nicht gekommen, hatte aber eine andere Argumentation und ich bin mir nicht sicher, ob diese tatsächlich so funktioniert oder nicht: Die Faktoren von 50^2 in der gesamten Kette sind ja immer gleich und man kann das ja ganz einfach berechnen: 50^2=2500 Bei der anderen Kette fangen die Faktoren weit von einander weg an (99 * 1) und nähern sich dann immer weiter an (51 * 49) bis hin zur Mitte 50. Ich weiß nicht ob das ein mathematisches Prinzip ist, aber mir ist mal aufgefallen, dass wenn man mehrere Faktoren hat, diese möglichst ausgeglichen Verteilen sollte, um das größtmögliche Ergebnis zu erzielen. Z.B. 3 Faktoren so verteilen, dass die Summe 12 ergibt: 4 * 4 * 4 = 64; 3 * 5 * 4 = 60; 2 * 2 * 8 = 32 Somit ist der Faktor 51 * 49 = 2499 der größte Faktor in der Kette, welcher immer noch kleiner als 50^2 ist. Wenn alle Faktoren der Kette kleiner sind, dann muss auch das Ergebnis kleiner sein. Kann man so argumentieren oder ist das mathematisch nicht korrekt?

[@johnclarke2897]

Hallo, danke für die Videos die helfen mir viel die Themen zu verstehen, wenn du Videos zu Quadriken machen könntest wäre das für mich zb. sehr hilfreich. Ich wünsche eine freudige nächste paar Wochen 😊

[@FatJoeDeluxe]

Es geht auch etwas schneller, wenn auch ungenauer. Bei den vergleichen der Paare kann man einfach das erste und letzte paar miteinanderj vergleichen. Also 99*1=99 und 49*51=2499. Da beide kleiner sind als 50^2 (2500) muss 99! Eben auch kleiner sein als 50^99. Denn wenn man die pärchen von 99! Künstlich zu ende denkt, also immer weiter die linke Seite verkleinert und die rechte Seite vergrößert so würde man am Ende bei 1*99 ankommen. Die größe der päckchen ist damit eine Parabel mit dem Minimum Bei 99 und einem Maximum bei 2499. Also immer kleiner als 50*50.

[@thorstenoeltjen6618]

Schade - ich zu früh oder du spät. Geboren. Mit dir als Lehrerin hätte ich Mathe besser verstanden. Echt toll wie du das erklärst. 50 Jahre nach dem Abi fang ich an das alles zu verstehen. Danke schön.

[@lemboshauser4700]

Ich frage mich ob man vor 50 Jahren im Abi solche Fragestellungen hatte.

[@Math.A-level-student]

Brutal guter Kanal 🤝

[@oligophreni5170]

Brutalst!

[@oligophreni5170]

@@otto.kretschmer Icke ooch. Jetzt wäre noch interessant WIEVIEL genau 50^99 größer ist als 99!

[@apfelmus65738]

Tolles Video und toller Kanal🙃! Wie wäre es Mal mit einem Video über "die Überabzählbarkeit" und wie man diese mit Diagonalisierung löst? Wäre echt mega cool :)

[@rainersinabell4166]

Genial und sympathisch!

[@heikok.463]

Mein Taschenrechner kann es nicht, meine Vermutung war aber, dass 50^99 die größere Zahl ergibt. Wolfram Alpha hat das dann bestätigt. Deine Lösung ist sehr interessant, wie immer :)

[@ralfmeyer9086]

Hab dich gerade noch auf eurem Moonsun Video gesehen. Da konnt ich dich viel besser verstehen. 🤘♥️🌹

[@andreaswaadt]

Ich hätte gesagt, Quadrate haben eine größere Fläche als Rechtecke gleicher Kantenlängensumme, ohne den Beweis dafür zu kennen. Die 3. binomische Formel hatte ich da erst gar nicht gesehen. Aber geniale Idee! Das ist offenbar die Erklärung.