Wie groß ist der FLÄCHENINHALT des ROTEN KREISES? 🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie

[@williamruy9350]

Danke +

[@avirtus1]

Ich habe vom Mittelpunkt des kleinen Kreises jeweils das Lot auf die Seiten des Quadrates im großen Kreis gezogen. Dann kommt man auf die Formel: (R-r)^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 und letztlich auf das gleiche Ergebnis

[@gelbkehlchen]

Lösung: r = Radius des kleinen Kreises, N = Mittelpunkt des kleinen Kreises. Pythagoras: MN² = 2*(1-r)² ⟹ (1+r)² = 2*(1-r)² ⟹ 1+2r+r² = 2*(1-2r+r²) ⟹ 1+2r+r² = 2-4r+2r² |-1-2r-r² ⟹ r²-6r+1 = 0 |p-q-Formel ⟹ r1/2 = 3±√(9-1) = 3±√8 = 3±2*√2 ⟹ r1 = 3+2*√2 > 1 [Viel zu groß] und r2 = 3-2*√2 ≈ 0,1716 ⟹ Fläche des kleinen Kreises = π*(3-2*√2)² ≈ 0,0925

[@Birol731]

Mein Lösungsvorschlag ▶ Wenn man von den Zentrum des Kreises (M), an die Diagonale von dem Quadrat eine Linie zieht, es es gleich: D= R+2r+x D: Diagonale von dem Quadrat R: Radius von dem großen Kreis, 1 LE r: Radius von dem kleinen Kreis x: rest Abstand zwischen der Diagonale des Quadrats und die Summe von R und 2r ⇒ D= √2a a= 1 LE D= √2 ⇒ √2= 1+2r+x (Gl.-1) Wenn man das gleiche für das kleine Kreis durchgeführt, die Diagonale (d) ist die Summe von r und x: d= r+x d= √2r ⇒ √2r = r+x (Gl.-2) x= √2r - r x= r(√2-1) Wenn man diesen x Wert bei der Gleichung-1 einsetzt bekommen wir: √2= 1+2r+x √2= 1+2r+r(√2-1) 2r+ r(√2-1)= √2-1 r[2+(√2-1)]= √2-1 r(1+√2)= √2-1 r= (√2-1)/(1+√2) = (√2-1)*(1-√2)/(1² - √2²) = (√2-1)*(1-√2)/(1-2) = (√2-1)*(√2-1) = (√2-1)² = 2-2√2+1 r= 3-2√2 LE Akreis= π*r² = π*(3-2√2)² = π*(9-12√2+4*2) = π(9+8-12√2) = π(17-12√2) ≅ 0,0925 FE 🤗

[@Nikioko]

r = (√2 − 1) / (√2 + 1) = (√2 − 1)² / (2 − 1) = 3 − 2√2 A = π (3 − 2√2)² = (17 − 12√2) π ≈ 0,09248

[@Nikioko]

Warum so kompliziert? Die Seite des Quadrats ist 1, also ist die Diagonale √2. Wenn man Viertelkreis weglässt, bleiben √2 − 1 von der Diagonalen übrig. Und dieser Abschnitt besteht wiederum aus dem Radius des Kreises und √2-mal dem Radius des Kreises, also insgesamt (√2 + 1) r. Also ergibt sich: r = (√2 − 1) / (√2 + 1). Keine quadratische Funktion, einfach aus der Zeichnung abgelesen. Jetzt einfach mit √2 − 1 erweitern und jeweils oben und unten die binomischen Formeln anwenden, Ergebnis r = 3 − 2√2. Der Rest ist einfach.

[@entwurzler]

Schöner anderer Weg, das hatte ich nicht gesehen 🙈😅

[@Nikioko]

@@thomann2814 Was musst du da nachweisen? Wenn man aus einem Kuchen ein rechtwinkliges Tortenstück aussägt, ist das ein Viertelkreis.

[@mariusringwelski929]

Ich verstehe eine Überlegung nicht. Die Diagonale des Quadrats hat den Wert von √2 oder anders Radius des großen Kreises (1), zweimal den Radius des kleinen Kreises (2r) und den Rest bis zur Ecke (x). Wie kommst Du jetzt darauf, dass der Abschnitt (2r+x) die Länge (√2+1)r hat? Gruß

[@Nikioko]

@@mariusringwelski929Mach doch noch mal ein Quadrat in den kleinen Kreis, genauso wie das Quadrat im großen Kreis. Welche Diagonale hat dieses Quadrat?

[@anestismoutafidis4575]

=> 1•2^(1/2)=2^(1/2)=1,414 1,414-1=0,4142; 0,4142 x2=0,8284 0,8284÷2^(1/2)=0,585 Ao=(π•d^2)/4 (π•0,585^2)/4 0,268 FE

[@fron3107]

Ab r = -(√2-1)+√2×√(√2-1)² komm' ich nicht mehr ganz mit...

[@Nikioko]

Also, r = (√2 − 1) / (√2 + 1), und dann erweitert man den Bruch mit √2 − 1 und wendet auf den Zähler die 2. und auf den Nenner die 3. binomische Formel an, wodurch man r = 3 − 2√2 erhält.

[@fron3107]

@@Nikioko Wä?