○○を知っていると逆に解けない超おもしろい問題！【中学受験算数】

[@katekyo-aspiration]

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[@kpat1130]

（方程式っぽくなりますが、次のようにもできました。）BCを底辺とする正△EBCを考え、△ABCと合同な三角形としての△FCEと△GEBを用意する。△ABC、△FCE、△GEBを、それぞれA、F、Gが△EBCの内側にくるように△EBCにはめていくと、内部に一辺の長さが2となる正△AFGが出来上がる。EFの延長線とBCとの交点をHとしたとき、AD//EHとなる。ここでAD＝⑮とおくとFH＝AD×3/5＝⑨、GH＝AD×5/3＝㉕。またGH＝2+FH＝2+⑨とも表せることから、㉕＝2+⑨、⑯＝2。従って求める長さは⑮＝2×15/16＝15/8（cm）。

[@MedakaNoBoo]

辺1cmの正三角形の面積を▲ (= √3/4)としたときの面積 △ABC = △ABD + △ADC 3 × 5 ▲ = 3AD▲ + 5AD▲ 3 × 5 = 3AD + 5AD・・・① より辺の積から答えを導く。 【解答】 ACを1辺とする正△ZACを辺ACの下側にとると、 ∠AZC = ∠BAD (錯角) = 60° より、 AB // ZC, AZ=6 いま、Zを通りBCに平行な補助線mとABをとおる点Bの延長線との交点をZ'とすると、 BZ' // CZ、かつBC // Z'Z より、□BZ`ZCは平行四辺形だから BZ' = CZ = 5 つまり AZ' = 3 + 5 である。 ここで、△ABD、△AZ'Zに着目すると △ABDと△AZ'Zは相似 であるため AB : AZ' = AD : AZ 3 : (3 + 5) = AD : 5 3 × 5 = 3AD + 5AD となるから、 -----〈ここからが重要〉----- 60°を挟む辺の積 とは、これまでみた通り外角60°と隣合う角120°が導かれるので、相似関係を示している(本質的に相似の比に帰着する)ことがわかる。よって、 ①の仮説は正しい。 ∴ ①よりADは 15/8 [㎠] (答え) つまり、大人なら分子3×5、分母3+5 AD = 15 / 8 [㎠] と即答したかもしれない。 そんな大人みたことないけどね(´∀｀*)

[@MedakaNoBoo]

補足：初等数学での解きかた 余弦定理からだと計算が面倒なので直接、三角形の面積公式から解く。 【解答】 直角を持たない三角形の面積の公式は S = 1/2 b c•sin A だから、AD = x, △ABC = Sₐ, △ABD = S₁, △ACD = S₂とおくと Sₐ = S₁ + S₂・・・① Sₐ = 1/2 3 5•sin120° S₁ = 1/2 3 x•sin60° S₂ = 1/2 3 x•sin60° ここで sin60°= (√3/2) cos60°=1/2 倍角公式 sin2θ = 2sinθcosθ をつかって sin120° = 2sin60°cos60° =2 (√3/2) 1/2 = (√3/2) よってSₐ, S₁, S₂をそれぞれ計算すると Sₐ = 1/2 3 5•√3/2 = 15 (√3/4) S₁ = 1/2 3 x•(√3/2) = 3x (√3/4) S₂ = 1/2 5 x•(√3/2) = 5x (√3/4) したがって、①より 15 (√3/4) = 3x (√3/4) + 5x (√3/4) ・・・② 両辺を (√3/4)で割ると 15 = 3x + 5x x = 15 / 8・・・③ -----〈ここからが重要〉----- 面白いことに②で 1/2•sin60° = (√3/4) = ▲ となっていて、これは1辺1cmとする正三角形の面積と等しい。 つまり、辺の積による算数チートは、最終的に直角を持たない三角形の面積公式からきていることがわかる。 ∴ ADの長さは15/8 [㎠] （答え）

[@MedakaNoBoo]

補足：「余弦定理」をつかってみた。 【解答】 △ABCにおいて AB=3, AC=5 余弦定理より BC² = AB² + AC² - 2•AB•AC•cos120°・・・① 倍角の公式 cos2θ = cos² θ + sin² θ をつかって、 cos120° = cos² 60° + sin² 60 cos60° = 1/2, sin60° = √3/2 cos120° = 1/4 ( 1 - 3 ) = - 1/2 ①に代入 BC² = 3² + 5² - 2•3•5•(- 1/2) = 34 + 30/2 = 49 BC > 0 , BC = 7が得られる。 ここで、△ABD、△AZ'Zに着目すると △ABDと△AZ'Zは相似 であるため AB : BD = AZ' : Z'Z □BZ'ZCは平行四辺形で AB=3, AZ'= 3+5, Z'Z=BC=7 より 3 : BD = 8 : 7 BD = 21 /8・・・② 次にcosBを求めると AB²+AC² -BC² = 9 + 25 -49 = 33 2•AB•BC = 42 よって cosB = 33 /42 = 11 /14・・・③ 最後に、△ABDにおいて(計算ミスばかりするので大人だからスプレさんにお願いすると…) ②より AB² + BD² = 3² +(21/8)² = 1017 /64・・・④ 2•AB•BD = 2•3•21/8 = 63 /4・・・⑤ AD² = ④-⑤•③ = 1017 /64 -63 /4 •11 /14 = 225 /64 AD>0より AD = 15 /8 ∴ ADの長さは15/8 [㎠] （答え） -----〈ここからが重要〉----- 結局、余弦定理だけで解けなかった。 小学生でつまづいていたらお手上げだよ。 面倒くさいからもう二度とやらん！

[@single_growmwell]

最初の解き方の続きでこんな解法ではいかがでしょうか？ 辺ADは角の二等分線なのでCD:DB=5:3。点Dを通り辺ABに並行な線が辺ACと交わる点を点Eとする。（ここまでは先生の解法と同じです。） △CDEと△CBAは相似な三角形で、相似比はCD：CB＝CD：(CD+DB)=3:8。 よってDE＝AC×（3/8）＝15/8。また△ADEは正三角形なので、DE＝AD＝15/8。

[@本間雅教]

中学校の方法でしたがひと工夫いります。問題の図をひっくり返したものをDのところでずらし合わせます。すると3:5と相似な三角形が突き出ているのがわかります。ADをxcmすれば2xcmの正三角形があることもわかります。あとはxcmを用いた相似比から外項、内項の方程式を計算して終了となります。

[@RogerHoshino]

あまりスマートではない解法で解いてしまった。BからADに垂線BPを下ろすとAP=3/2㎝、CからADの延長線上に垂=線CQを下ろすとAQ=5/2㎝なので PQ=5/2-3/2=2/2=1㎝ となります。△BDP∽△CDQ (2角一致)で相似比が3:5なので PD=3/(3+5)=3/8㎝ です。ゆえに AD=AP+PD=3/2+3/8 =12/8+3/8=15/8㎝ となります。

[@稲次将人]

1：46動画を止めて解いてみます。ADの延長線上3cmのところにEをとり、5cmまで裾を広げC'(一辺5cmの正三方形のもう一つの頂点をC')、AについてBの対称点をB'とすると、 BCとB'C'の交点Pは、Aを通るBB'の垂線上にあり、Eのこの垂線について対称な点をE'とすると、EE'よりややA寄りにあると思われる。 メネラウスの定理よりAを起点に、 (AD/DC')(C'P/PB')(B'B/BA)=1 (AD/DC')(5/6)(6/3)=1 AD/DC'=3/5 AD=AC'｛3/(3+5)｝=15/8 ∴15/8 cm

[@nisshisio]

最初の内側に作るやり方 ADを軸に△ADEを折り返してAB上にＥ'を取るとＥ'BDとEDCが相似になるので相似比から求まると思います というか自分は初手がこれでした 間違って無いと思うけど

[@hiDEmi_oCHi]

最初のDからACにABと平行な線を引いて解けますよ。 むしろそのほうが一般的です。

[@yukiarata-ph7mm]

え？そうなんですか？私は外側に引いていましたし、それを多く見てきました・・・

[@Yanto-Kun-JP]

私は素直なので　２個目の解法で　暗算で　なんだか分数のまま答え書いてよいのかどうか？　質問したくなりました（笑） 分数のまま？それとも小数？　どちらが正解？　どちでもいいとおもうけど　受験のなんか定石ってあるんかな？　とか

[@epsom2024]

△BDE と △CDA は BE∥CA であることを使わなくとも，対頂角が等しいから相似です 有名な七五三の三角形だから大人は公式で AD=√(AB*AC-BD*CD)=√{3*5-(21/8)*(35/8)}=15/8 と計算することも可能

[@かっちゃん-x2k]

平行線を導かなくても60°と対頂角の2角で相似になりますね。 7・5・3の三角形に目が行ってかえって混乱しました😢

[@岡本純一郎]

最初の内側に正三角形を作ることを否定したが、内側に作ってもABとACの交点と平行になるでしょう。そうすれば三角形ABCと交点とCで作った三角形もも相似で同じように解けるでしょう。

[@わっしい]

それっぽい補助線を引いたらどこに引いても相似形祭ですね。だいたい解けてしまう。 サムネ眺めながら… 正三角形にしたら3対5の相似が見えてますから、3x5/8か5x3/8で、一瞬で終了ですね。 1個目の解法と同じになりました。

[@shinchangreen36]

大人なら余弦定理で解くでしょう

[@zzz-rh3ue]

あかん、年取りすぎて余弦定理忘れとった。 普通に小学生の方法で解いた。

[@山田健三-l4u]

解けた。

[@eijiy5323]

今は 錯角ではなくて Z角っていうのかな。

[@flyonsfc]

今でも正式には錯角です Z角は俗称みたいな呼び方かと

[@MedakaNoBoo]

漢字「錯」は中学生で習うみたいだね。国語の試験ではないから書くにはいいだろうけど教える側は「わかち書き」にしないと、なにかと世間がウザいので「Z角」を使うのじゃないかな。昭和な話だけがいわれてみれば、小学生のときZ角といっていたし「同位角」さえつかえなかった気がする

[@すーま-o9d]

このレベルの問題にマウント取りが湧いてるの笑えるなぁ それもほとんどが小学生じゃないでしょ笑 灘や西大和の問題取り上げた時にどんなコメ欄か見てみたいなぁ

[@MedakaNoBoo]

くだらん