一次不定方程式、3つの解法

[@初見家当主わくわくさん]

私の普段使う解法は、2番目の解法に似てます^^* 49x-23y=1 46x-23y=1-3x x=8の時、両辺が23で割れる 49×8-23y=1 -23y=1-392=-391 y=17 よって、解の1つの組は(8,17)

[@azumamurakami7842]

どれも有意義な解法ですが、やはり合同式が楽ですね。 その合同式の使い方で私がひごろやっている方法を紹介したいです。 49x - 23y = 1 23を法として、次の三つの式をまず作ります。何も考えず、計算間違いしないように作ります。 3x = 1 ---------------(1) 26x = 1 -------------(2) - 20x = 1 ----------(3) 次には、この三つの式の左辺を見ながら　x= の形が作れないかと考えます。 これを考える時が一番楽しいです。 すると、(1)を7倍して、(3)に加えれば良いことがわかります。すなわち、 21x = 7 ---------------(4) - 20x = 1 -------------(3) これらを合同式の法則に従って加えれば x = 8 となります。あとはおわかりですね。

[@定理最終]

神

[@okayamanzo5685]

行列で求める方法は特に興味深かったです．

[@こねこねこ-e3g]

両手両足縛られてて暗算で解かざるを得ない場合は(x,y)=(1,2)で差が3なので8倍して(8,16)の時差が24になり、yの方を1ふやして（8,17）とかもできますね

[@taikohurur]

ちょうど両手両足縛られてたので助かりました

[@mato315]

緊縛中だったので助かりました!

[@meu_panda4313]

@@taikohurur だいぶ前のコメだけど一個ツッコミさせて、どうやってコメ打ってるのww

[@Haruo_Mukai]

条件付き確率の変な問題の条件みたいな面白い米🤣

[@あああああ-w7h]

条件(物理)

[@すとろひろ]

数に数を代入していって、結局何してるか分からなくなる、、、すごく共感できます！教えるの大変です。

[@花形満-m3f]

私は　次の２つの方法がお気に入りです ①　　２３　）４９　とユークリッドの互除法を表でかき　その右に　ｂ　）a 　　で対応させていく表をかく方法　 ②　４９X－２３ｙ＝１　⇒　４９X－２３ｙ≡１　mod２３　と必要条件である合同式を解き　十分性のチェックをしておしまい。 どちらもストレス無しでいけます。

[@Liellalove.1024]

行列の方、 使った時バツ くらったことありました。 会ってたんだと確認 できてほっとしました。

[@9cmParabellum]

49x -23y=1 x1個, y2個の時の和は +3 つまりx8個, y16個の時の和は +24=23+1 になるので 49×8 -23×16=23+1 49×8 -23×17=1 特殊解として(x, y)=(8, 17)が存在. 49x -23y=1 -)49×8 -23×17=1 49(x-8) -23(y-17)=0 49(x-8)=23(y-17) 49と23は互いに素なので x-8は23の倍数でなければならない. x-8=23k(kは整数)として y-17=49k よって一般解は kを整数として(x, y)=(8+23k, 17+49k)

[@jif7707]

比でやれば1組は直ぐに分かるのか…

[@9cmParabellum]

微積を微積を たとえば 23x -31y=3の場合は x3個, y2個で 69 -62=7 7×(-4)=-28=-31 +3 より 23×(-12) -31×(-8)=-31 +3 23×(-12) -31×(-9)=3 特殊解(x, y)=(-12, -9) 一般解(x, y)=(-12+31k, -9+23k) となります. 簡単な比で足し引きして最も接近する瞬間を捉えて あとはその差を整数倍して上手いこと調整すればできます.

[@ワンロー-x5l]

１時間くらいずっと悩んでいたのですが、これを見て解決しました！ありがとうございます！

[@レク-c3b]

本質的には同じかもしれませんが49x≡1(MOD23) 3x≡1 3x≡24 からx=8を見つけるっていつもやってます もしくはx=1,y=2で差は3 x=24(1+23),y=51(2+49)でも差は3 これをxもyも3の倍数になるまでやる(今回は1回目でなった) 両辺3で割ってx=8,y=17を得る

[@ありす-k6l]

49・2−23・2＝52・・・1 このとき52から1引いた数である51の約数になるように考えると、 49・1−23・2＝3 この式の両辺に17をかけて 49・17−23・34＝51・・・2 1−2より、 49・−15−23・−32=1が成立。 これは、49x−23y=1の整数解である。 こんな感じで特殊解を出すのを思いつきましたが、他の方の方が美しい解答だと思います。

[@さんたなご]

教科書見てなに書いてるかわかんなかったんですけど、本当にこの動画わかりやすかったです！！ありがとうございます！

[@G_sen_sei]

よかったです！

[@Glanz-d3c]

数学の問題解説をしている動画はたくさんありますが、面白さを教えてくれる動画は貴重なので助かってます。

[@john_seibulions]

ユークリッドの部分、数に式を代入する違和感は共感できますね。 2番目の解き方、すごくスマートでいいですね！ 3番目の解き方、初めて見ました。 ベクトルの予感もしてきますね。 しかし、ユークリッドの互除法は理解することに越したことはないですね。 整数の授業の教材研究になりました。ありがとうございます。

[@うどんそば-p4i]

そもそも題意を満たすような整数解はなぜ存在するのか、また一般に解が存在するための係数が満たす条件を考えよっていう問題の方が面白いと思うんですけど、少なくともセンター試験には出題できないですね。

[@ぺぴぽぱんぷきん]

すごく興味あります！！

[@このは-m1s]

私は独学で2つ目のやつを普段から使ってますが、教えている人を初めて見ました

[@user-qi5fr7cf4c]

自分で編み出すのは凄い笑

[@ワンワン-q5r]

このは睡眠勢 俺もやってたなぁ これめっちゃ楽なんだよな個人的に

[@むむむむ-x6b]

ほんとにわかりやすかったです。ありがとうございます！

[@ちゃんたー-w4z]

全然わからんかったのにこれ見たらスッと頭に入ってきた

[@talkman7944]

2番目のやり方も面白いです。時々拝見しています。

[@日常系アニメファン]

センター試験を解いた人はわかると思いますが、この問題、実は(4)のための誘導になってます。6762が6の倍数で約数に23と49を持つためです。これは解いていておもしろいと思いました。

[@kazetoiwasaki1980]

ノギスってもしかしてユークリッドの互除法？

[@antama9488]

mod7で、yが「7で割ると3余る数」として、3、10、17を順番に入れた。 無理やりすぎたか。

[@日常系アニメファン]

自分(現在３０歳)がセンターを受験したときはまだ整数問題は出されなかったが、最近変わって出されるようになった。ユークリッドの互除法はアルゴリズム的ではあるが確実。２番目は中学生でもわかるが最小になるとは限らない。そして３番目は初耳。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録👏復習55G" 〖 その1. ユークリッドの互除法 〗a＝49, b＝23 とおくと 見通し良好■ 〖 その2. 合同式 〗49x－23y＝ 1 ･･･① mod 23 として、 ①より 3x≡ 1 ∴ 24x≡ 8 ∴ x≡ 8 ( ∵24≡ 1 ) ∴ 解の一つは x＝ 8、 ①より y＝ 17■ 〖 その3.行列→ 驚 〗

[@bonnama]

2つ目のやつににてますが、例えばy=f(x)としてしまえば(係数が小さい方をyの位置にすれば)通分して外に出るものは整数だから気にしないでいられるから楽かも...？ 例) (与式) ⇔　y=(49x-1)/23=2x+(3x-1)/23 あとは、(3x-1)が23の倍数になるときを探すだけ(2xは整数だから)

[@lordscarlet7652]

すごい！感動しました

[@コダック愛好家-k3z]

とても分かりやすくて、理解できました！

[@mogura507]

49x-23y=1 (23*2+3)x-23y=1 3x-0*y≡1 (mod 23) 以下mod23 3x≡1 24x≡8 x≡8 x=23k+8 y=49k+17

[@石井伸一郎-r3v]

解法NO.1と解法NO.3は特殊解を求める方法としては同値であり、それを目の子算で行った上で解法NO.2が一般解を求める方法になっています。

[@汎用匿名]

動画を見ないで解いた自論。 y=x+αとすると、αは整数である。 49x-23y=1とは代入すると、 49x-23(x+α)=1 49x-23x-23α=1 26x-23α=1 x=(23α+1)/26 ここで、 x=(26α-3α+1)/26 x=α-(3α-1)/26 つまり、(3α-1)が２６の倍数になる。 3α-1=26βとすると、βは整数である。 α=(26β+1)/3なので代入すると、 x=(26β+1)/3-(3((26β+1)/3)-1)/26 x=(26β+1)/3-β x=(23β+1)/3 ここで、 x=(24β-β+1)/3 x=8β-(β-1)/3 つまり、(β-1)が３の倍数になる。 β-1=3κとすると、κは整数である。 β=3κ+1なので代入すると、 x=8(3κ+1)-(3κ+1-1)/3 x=24κ+8-κ x=23κ+8 もう一方も代入すると、 y=(23κ+8)+(26β+1)/3 y=(23κ+8)+(26(3κ+1)+1)/3 y=(23κ+8)+(26κ+9) y=49κ+17 答えとして、式にては普遍性を保つ表現にする。（※　要は、別解などへの誤解をさせないためという意図） アルファベットZ、zともに整数である。 （x，y）＝（23(Z+z)+8，49(Z+z)+17） または、 （x，y）＝（-23(Z+z)+8，-49(Z+z)+17） 以上（記号はγがyと見間違いやすいので動画上に合わせてκにしただけ）。 動画を見てみたら…、それ鶴亀算？（理解できない…）

[@tk_riko8258]

6:47なるほどそういうふうにするのか！

[@はんだくん-h6k]

高校一年生としても分かりやすいものをありがとうございます‼️

[@simisimiyeah]

これ合同式で解いた

[@みい-z5z6b]

②のやり方で 例えば25x−61y=2のようにyの係数の方が大きい場合どうしたらいいんですか？

[@piyopiku]

-61yを25・-2yと-11yに分けると、 25（x-2y）-11y=2となるので組を探せばx=-17、y=-7となります

[@たっくん-u8p]

合同式より2つ目の方が早い気がする 合同方程式解くのが問題によってはめんどくさい

[@来年令和]

6:15

[@johnsmith_yuki]

自分は基本整数問題合同式です

[@gaku2339]

15x=8ｙ+1みたいな問題だと2個目のやり方でしか出来なくないですか？ 1個目のやり方で出来たら教えて欲しいです。

[@karaagee00]

2個目でもできますよ！ 15xを8xと7xにわけて、 8(x - y) + 7x = 1にすると、 x - y = 1, x = -1 で成立すると気づくので、 これを解くと (x, y) = (-1, -2) が解のひとつだとわかります

[@イニ-z5k]

ありがとうございます。めちゃくちゃ感謝します

[@rasuku9741]

助かります ありがとうございます

[@usar-xx1uk4pp9h]

これ行列式の値から 49*8-23*17=(-1)⁴=1だから〜ってできそう

[@squp4173]

-15 * 49 -32 * (-23) = 1

[@田中庄一-m1b]

センター試験なら、この問題をとばしてほかの問題を先に終えるのが定石でしょう。それで時間が余ったら、一通り見直しした後で、解答郡から適当に代入してみるでしょう。

[@sinnryuuou]

ありがとうございます。私は行列のやり方をより簡単に進化させた互除法で解きました！ぜひお伝えしたいと思います！

[@dttjjm287]

右辺がでかい数だった時、どうやって解いたらいいんでしょうか

[@着色されたシロクマ]

たしかに

[@松本幸夫-h8n]

2つ目、目から鱗。

[@GODORA_]

ユークリッドの互除法めっちゃ得意だったけど数年たって忘れた

[@ハムストリングの精霊]

86Xー49Y＝３を満たす整数X、Yを求めよ。という問題で 84X－49Y＝３－2X X=5で両辺が7で割りきれるので、元の式に5を代入したのですがYが出ませんでした。教えてください🙏

[@tchaikovsky1026]

行列を使うやつは、積を計算する前に逆行列をとると楽ですよ。

[@jif7707]

なるほどー まさに式変形って感じですね

[@karakomahyoutann9756]

②の方法144xー7y=1 だと辛くなりませんか？ 連立方程式を満たす整数解が見つけづらい… まあ限界もあるってことでしょうか？

[@G_sen_sei]

元の係数が大きくても、結局相手にするのは余りなので、それほど大変ではないと思います。 144x-7y=1 (7×20x+4x)-7y=1 7(20x-y)+4x=1 と変形できますから、 20x-y=3, x=-5 と見つけられるかと。

[@てーきゅう-r3h]

わかりやすい

[@kansai9638]

片っ端から埋めてもきりがない

[@jeanelodligess6155]

２つ目のやつしか使ったことねぇ

[@くるくるぱー-j4r]

自分は比の計算を用いてやってます

[@res_gnr]

センターのやつだ！

[@zeek7249]

逆行列の２３→－２３では？

[@G_sen_sei]

ですね。ありがとうございます

[@来年令和]

仮に2つ目のやり方を使って、〜=40とかならどうすればいいですか？

[@user-ct9ir6yy2d]

普通に一旦〜=1解いて最後に40倍すれば

[@マグロの怒り-v5n]

Mod使ったやり方をあきとさんがやってました

[@所沢の恨み]

mod23でやるかなぁ、、

[@KT-mo2zh]

めちゃめちゃモトキみたい

[@sage_goes1504]

記述試験で3つ目の開放使ったらおもろいわ🤣

[@askcolor611]

センターのときはx=5から順番に入れて当てにいった

[@伊藤太吾-v3s]

ゴリ押しで草

[@しげしげ-r3g]

ぎょうれつのやつはすげえってなった

[@Nem_sym]

2つ目のやり方センターの前に知りたかった...|´-`)ﾁﾗｯ

[@阿吽の呼吸-x9g]

mod使えば30秒かからんからすき

[@ウォーケン-n1u]

8:40

[@左中庸]

高校入試で出ても違和感ないかも

[@m864-z7x]

行列の方法を先生がおしえてくれました

[@stearyl.]

49=23*2+3 3n÷23y=1 (n:整数) という式を見つけていたのですが、これは場合によってyの値を見つけるのがなかなかしんどいので2番目の式を知れて良かった... 参考になりました！ありがとうございます。

[@ライ麦]

結果だけなら裏技を使えば一瞬のようです。 kzbin.info/www/bejne/nGW4kKiYfNmHhMk 普段は小さい方の数字を法に合同式で解いてますが2つ目と一緒ですね。

[@DrYamatone]

その裏技は、この動画の3番目の解法を筆算で（要るところだけ取り出して）やっているわけですね。 a) すべての商にマイナスを付ける≡　「18:53　これ全部行列式は(-1)なんですね」 b) 斜め掛けして左の数値を足す≡　「15:50　じゃあ実際に（行列の積を）計算しますが」 c) 右上・左上の数が解になる　≡　「16:49 ここ17、こっちが8と。」 この動画では原理の説明のために律儀に逆行列を求めてそれを掛けていますが、 元の成分の位置と符号が変わるだけなので答えの数値（絶対値）は上記c)の時点で判明していると。 #　符号をちゃんと追っかけるのは省略（←本番で間違えるやつ）

[@大阪のお母さん]

行列を使った解法には驚きました。実際に紙と鉛筆で数題やってみると、なかなか使い勝手の良いやり方に思いました。教えていただきありがとうございました。

[@industrious4668]

センターだったら基本的にどっちかが一桁だから一つ一つ当てはめたほうが早いよね

[@ああ-t3d1e]

industrious な人 2つ目の解法が最速だよ 運が悪くない限り10秒も掛からない

[@sage_goes1504]

industrious な人 数学できない奴がおったw ゴリ押しは本番で失敗するパターン

[@industrious4668]

@justice センターは８割でした

[@山田太郎-g9c7q]

俺本番でそれやったw

[@1shigakkey]

ゴリ押しで失敗した人間が通ります。

[@johnsmith_yuki]

ぼくはっ🎶合同式いぃぃぃ🎶(中国剰余定理)

[@yuukinakayama3406]

センターの前に知りたかった（ ; ; ）

[@G_sen_sei]

すまぬ。

[@MURAKAMI1958]

黒板の使い方などと説明のし方をもうちょい上手にしてほしい。せっかくの解法が、不明になってる。

[@屋敷大和-g8n]

３０年以上前に模試解説でこの行列の方法を見た気がします。こういうことだったのか(/・ω・)/

[@abyss-h5o]

modが最強

[@1f5d0dc68c]

Extended Euclidian Algorithm

[@azozzy1972]

あんまり変わらないけど、ユークリッドなら23=3×8-1とした方が少し速いような…^^;

[@sage_goes1504]

この問題で練習しまくったわ

[@sage_goes1504]

センター終わって1ヶ月くらいだけどもう懐かしい

[@SABUSUKU54KUDASAI]

mod

[@you-hito]

このレベルなら暗算で普通に出来るよな？49*1-23*2=3んで求められているのは1になるときだから3x-23=1でx=8んでx=1*8=8,y=2*8+1=17でいいんじゃね…このレベルならね 二つ目と同じようで単純に余りを出して余りが1になりゃぁ良いって乱暴な考え方だけどね

[@SuperOoyama]

行列は高校生は習ってない。

[@toyofumisabio]

昔は互助法習わずに、行列習った

[@NatureJapan3776]

3つ目初めて見ました。 ただ、使えと言われても使えない気もしますが...＿|￣|○

[@垢仮名]

1こめ