Lunghezza di una curva con metrica euclidea. Integrale d'arco

[@Jo-bx6ez]

Bellissimo video, hai un video simile anche per l'integrale di superficie? Grazie

[@giack6235]

Ciao! innanzitutto grazie per il video molto chiaro e preciso. Avrei però due domande: - A 8:05 dici che stiamo facendo la radice di dx^2 + dy^2 + dz^2. Ma ha senso matematicamente fare il quadrato di un differenziale? Non è un numero di fatto, giusto? - A 9:16 dici di "dividere e moltiplicare per dt" (che anche qui rimango un pò perplesso) e di "fare entrare il dt all'interno della radice" ma se voglio fare entrare il dt dentro la radice devo moltiplicare e dividere per |dt|, ossia: sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2) |dt|/|dt| = sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2) |dt|, da cui: sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2) dt. Ma allora come mai |dt| diventa automaticamente dt? Non è detto che dt sia sempre positivo (oltre a non essere solitamente trattato come numero).

[@yousciences]

Ho saltato qualche passaggio, il video è frettoloso, ma è lecito, perché nel contesto della cinematica a volte il dt essendo un tempo è sempre positivo "dal punto di vista del fisico", anche la radice dei differenziali quadri, senza troppi dettagli tecnici, ha senso per il fisico... sicuramente per i matematici ed i puristi andrebbe fatto un discorso più tecnico, ma ci porterebbe fuori strada... grazie a te ;);)

[@giack6235]

@@yousciences Certo, chiaro, infatti su tutti i libri è riportato esattamente come hai descritto bene tu. Volevo chiederti: volendo capire qualcosa in più "da matematici" sul fatto dei "differenziali al quadrato" o la manipolazione dei differenziali come numeri, sapresti consigliarmi qualche fonte o libro specifico? Sono in cerca da tempo (un pò per hobby) di giustificazioni un pò più "puriste" e lontane dalla mia strada da ingegnere informatico ;)

[@Zonnymaka]

@@giack6235 I differenziali non sono chiaramente "numeri" ma concetti. Le manipolazioni nel video sono le medesime che venivano operate da Leibniz e successivamente da gente come Bernoulli, Lagrange, Eulero, Cauchy etc.etc. Fino all'inizio del 1800 nessuno aveva ancora dato una definizione rigorosa di cosa fosse un differenziale. Fu un problema aperto finchè il grande Cauchy non ebbe l'illuminazione e introdusse la corretta e meravigliosa definizione di limite (erano stati fatti altri tentativi in precedenza). Poi Weierstrass (e non solo lui) ne fornì la definizione moderna e iniziò la costruzione formale dell'Analisi cosiddetta standard (quella che insegnano a scuola) che non richiede più il concetto di infinitesimo: applichiamo i limiti e punto. Però, lo stesso Cauchy faceva presente l'utilità di saper ragionare anche in termini di infiniti e infinitesimi. Negli anni '60, Abraham Robinson incappò in uno scritto di Leibniz riguardante appunto la critica (feroce all'epoca) agli infinitesimi. Leibniz non fu in grado di rispondere alla domanda "cos'è un infinitesimo" ma fece un'osservazione preziosa: scrisse che riteneva possibile costruire un'estensione dei numeri reali che contenesse i concetti di infinito e infinitesimo. Robinson lo prese sul serio e nel 1966 pubblicò un paper su come costruire quelli che oggi vengono chiamati numeri iperreali che includono appunto infinito e infinitesimo. Dimostrò che essi sono coerenti e pertanto giustificò formalmente l'utilizzo di quelle strane manipolazioni da "fisici". Con Robinson fu introdotta l'analisi non-standard.

[@giack6235]

@@Zonnymaka grazie mille, molto interessante e dettagliato!

[@Zonnymaka]

@@giack6235 prego

[@daniele9249]

Ciao mi piace molto il tuo canale. Sono un ragazzo di ingegneria informatica Vorrei chiederti se ho capito bene questo integrale serve a calcolare la lunghezza delle curve quindi anche delle figure geometriche giusto? Mi piacerebbe se facessi un video in cui con degli esempi fai il calcolo di curve tipo dell'ellisse(so che non è facile l'ellisse xD) oppure di altre figure Infine come si parametrizza la curva? suppongo non esista un metodo generale quindi si se facessi un esempio sarebbe stupendo Buona Serata =)

[@yousciences]

esattamente!

[@daniele9249]

@@yousciences e tu cosa studi o cosa hai studiato?

[@yousciences]

@@daniele9249 ho studiato ingegneria, adesso sono a fisica ;)

[@daniele9249]

@@yousciences interessante , be spero che farai altri video insomma

[@78AdSa]

Cos' è la legge di weber fincer?