整数問題 愛知高校

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川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
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[@user-yf6xt4nm9s]

そりゃあ8と9でしょ、となるんだけど 論証が難しい

[@中川純-t6w]

😢🎉

[@のだおぶながの事件簿]

これ、理屈は簡単だし答えだすのは数秒でできますけど、数学的に説明をするのは結構厄介な気がします。

[@satton5360]

通分後の分母と分子に文字が入っており，同時に条件を満たす値を探すのが少し面倒に思えますが， 与えられている条件がかなり有効に入って， 「分子が最小になるとき」を固定して「分母が最大になる」ものを求める方針で答案が書けるかと。

[@のだおぶながの事件簿]

@@satton5360 なるほどそうですね。分母が最大になるという方針なら書きやすいですね。

[@玉皮踊る]

aを固定して考えると、b=a+1の時に1/a-1/b=1/a-1/(a+1)=1/{a(a+1)}で最小となる。 分母のa(a+1)が最大となるのはa=8の場合。 よって、a=8,b=a+1=9が答え。

[@user-yf6xt4nm9s]

なるほど

[@服部浩行]

サムネのみからですが、 式を変形すると、b-a/ab 分子は出来るだけ小さく、分母は出来るだけ大きくしたい。 なので分子は連続する数でかつ分母が最大なのは (8,9)となる。 元の式がこれくらいなら変形しなくても見立てはできますが、もう少し複雑だったり、条件が難しい場合のことも考えて式を変形してわかりやすい形にしてから解を導くことは大切だと思います。

[@zken8441]

丸いケーキを1/2にしたものや1/3にしたものを想像して、大きさの差が一番小さい組み合わせはどれ？って感覚で答えだけはすぐに解ると思う。証明問題だとしたらちょっと大変だけど。

[@しんぞう-e7w]

こういう問題は感覚的に答えは出ちゃうんだよね。証明より「なぜその感覚がすでに身についているのか？」の方がよっぽど気になる。 2分の１のケーキと3分の1のケーキの差より、3分の1のケーキと4分の1のケーキの差の方が小さいことは経験としてあるからかね？

[@guardano]

bがいずれの値であってもa（ただしb>a）が最小の時、与式は最小値をとるのでb=a+1。 与式＝(b-a)/ab=1/ab よってabが最大となるとき与式は最小値となるので(a,b)=(8,9)//

[@ハンターハンター-z7o]

式変形せんくてもパッと見でわかるくね

[@SD-lf3mp]

1≦a0,ba>0 であるから、 1/a-1/b=(b-a)/ba は、b-aが最小値1、baが最大値72を取るとき最小値を取る。よってそれらを1≦a

[@shinya5657]

通分したら答え見えたのですが、解答用紙になんて書けばいいのか迷いました。 途中の式を全部書いてくださるから、非常に分かりやすいです。

[@あおい-f9r8b]

bの値はできるだけ小さく、aはできるだけ大きくしたい。なので、a、bが連続する2整数となり互いに素と言える。そうなれば、a分の1－b分の1を計算した時の分子は1で確定するので、後は分母が1番小さくなる場合を探せば良い。a＝8、b＝9が適する

[@satton5360]

1/a － 1/b を通分して（ b － a ）/ ab 　このとき，b－a ＝1，2，……，8より，分子の最小値は1なので， b － a ＝ 1 を満たすa，b のうち ab が最大になるものを求めればよい。 b － a ＝ 1 より，b＝ a ＋ 1 となり，ab が最大になるのは a ＝ 8 ，b ＝ 9 通分後の分母と分子に両方の文字が入っており，同時に条件を満たす値を探すのが少し面倒ですが， 「 a ，b は 1 ～ 9 までの自然数」「 a ＜ b 」の条件で絞り込みが効いて， 「分子が最小になるとき」を固定して「分母が最大になる」ものを求める方針がとれるようになっていますね。

[@藤原直樹-u1t]

最初 a

[@Yukkui-tei]

b=a+nとすると、与式はa^2/n+aの逆数。a^2/n+aはa>0で単調増加でnも小さい方がいい。だからa=8が最大。a,b=8,9が答え。

[@Tzuyu-rf5jw]

全く同じ問題を昨日3年生に扱いました… この前後の問題が場合の数というのもあるからか、確率場合の数でいかにほかの単元の知識が必要か話すのに役立つ問題でしたね

[@poipubay1991]

最後のは次回の問題なんだろうか。 二等辺三角形と直角三角形かな。

[@overcapacitywhale]

文字固定的な発想でb-a=1がすぐ見えればOK

[@fkak1]

与題の最小は、a＜bにより1/bの値に関わらず1/aの値に依存する。∴a=8、b=9　これじゃダメ？

[@toriken0425]

通分後の与式で、bを固定して考えると、aを大きくする事で分母を大きく、分子を小さく出来る為、a=b-1が求められる。代入してaを消去した式は、分子が定数となり、分母はbを大きくする事で大きくなるため、b=9が求められる。

[@k11096kk]

f(x)=1/xのグラフを書くだけでもどことどこの差を取ると一番小さくなるか視覚的にわかるけど、 あえて数式で表現するなら f'(x)0より減少速度は低下していることがわかるので、 lim(x→∞, n→0)=f(x)-f(x+n) のとき最小、 問題の条件の中でこれに当てはめると、選ぶ2つの数字の差が最も小さく、かつ双方の数字が最も大きくなればいいので8と9

[@slowhand7777]

1/9-1/1=-8/9 で一番小さい値かとおもってしまった

[@taizohiramatsu4956]

私も同じ間違いをしました。 「a < b」の条件が無ければ正解でしたね…。

[@アユレナノ]

まぁ単純に8.9だろうと予想

[@xyz_abc752]

本編の動画と予告問題の両問題は施設で解かれていそうな問題だね。

[@patrickbumblebee7124]

通分後の分子(b-a)が最小 かつ 分母abが最大 があっさり同時に満たせてしまうので、悩まずに解けますね。 こうは行かないのが世の常です。

[@pagesmister1115]

任意のaに対して、1/a-1/bが最小となるのは1/bが最大のときなので、条件よりb=a+1となる。よって、1/a-1/(a+1)となり通分すると、1/a(a+1)になるので、これが最小値になるのはaが最大値のときになる。 って書けば証明っぽくはなるけど、高校受験の答案じゃないなこれ(笑)。

[@jj-by9uz]

直感

[@kobayasiring]

母校だ。私が通っていた頃は男子校でした。

[@aruuuu_]

足し算だと思ってて ８９予想してたら なんか正解だった

[@佐藤昇一-n4k]

1/9-1/1が一番小さいと思うけど

[@佐藤昇一-n4k]

済みません、aとbの大きさで縛りがあったのですね。間違えました。

[@むさんむさん]

これはすぐ分かった

[@TAK-K]

8,9となるような連続する2自然数のとき、1/a － 1/b ＝1/ab これを導ければ、1～9までの自然数でa＊bが最大なのは？→8と9(けどaとbを間違えないでね)、となるやつですね この問題の場合ではa,bが連続する2自然数になるときが最小になる時だ、という説明も必要にはなるので、高校入試だとたぶん文章題にはならない(できない)のですが。 (b=a+xとしておいて、1/a － 1/b ＝(a+x-a)/(a(a+x))=x/(a(a+x)で、x＝1のときが最小)

[@inyks5415]

求めるのが最小ではなく最大だとどうなりますかね？

[@スロキチ三平]

91と予想

[@dx-5vwof]

下手したら中学受験レベルの問題 次の問題って△BPS≡△SCQなら△ABCも合同なのでは？ 少なくとも∠BACは90度なのは解った

[@user-lapustube13]

合同になるとしたら△BPQ≡△CSRでしょうか。その場合は∠ABC＝∠ACBになりますが、∠BACは任意の角度をとります。(つまり○○○三角形です…「少なくとも90度」は早合点かと) △BPQ∽△SCRの場合なら∠BAC＝90°になります。△ABCは自身としか合同ではないですが、△BPQ・△SCRと相似ではあると思います。

[@siturenningen]

9、1と予想

[@14m28cm]

正解は誰でも浮かぶだろうけど解答の書き方がちょっとメンドー。 自分なら、 １から９の自然数が公差１の等差数列である事と分数の性質から、分子の組み合わせ候補を挙げて、 その候補の中から分数の性質により、分母（つまりaとb）を確定する感じかな。