Grazie del commento, sono molto felice che il video sia stato apprezzato dai ragazzi!

È vero che "quasi tutti" i numeri reali sono normali (in qualsiasi base). Ed è altrettanto vero che i numeri non normali hanno la potenza del continuo, cioè non sono numerabili, al pari dei normali. Queste due affermazioni, però, non sono in contraddizione perché le proprietà in gioco (misura e cardinalità) sono completamente diverse e indipendenti: la prima fa riferimento alla misura di Lebesgue, mentre la seconda al concetto di cardinalità di Cantor legato alla possibilità di mettere due insiemi in corrispondenza biunivoca. Quindi, nonostante l'osservazione sia molto acuta e interessante, purtroppo tenderei anch'io a propendere per l'ipotesi 2. 😀

@@PaoloAlessandriniMatematica Niente Medaglia Field allora? Mannaggia, sarà per la prossima!😭 A parte scherzi, sì, immaginavo, però, accidenti: misura zero mi viene in mente roba piccola, su una retta misura zero è, che so, un insieme di punti isolati, anche infiniti punti isolati quindi cardinalità pari a quella dei naturali. Ma capisco che la cosa non sia così banale, ho fatto ing, mai affrontato lebegue, l'ho guardato all'acqua di rose solo dopo. Comunque ho in programma di rivedere (hobbisticamente) due grossi capitoli, probabilità e misura, magari con l'occasione approfondisco. Grazie della risposta e alla prossima.

Chiedo scusa ma non ho capito la domanda: cosa intende per "numeri impostati per il diametro e la circonferenza"?

@@PaoloAlessandriniMatematica Lei ha carta e matita , meglio , un computer . Deve fare la divisione Circonferenza / Diametro . Quale numero imposta per la Circonferenza , e quale per il Diametro , affinché il computer tiri fuori milioni di cifre decimal per pi grecoi ?

@@sergioagostinacchio2030 Ho capito cosa intende. No, le cifre di pi greco non vengono determinate in questo modo: i programmi adibiti a questo scopo utilizzano formule completamente diverse, piu complicate della semplice definizione pi greco = circonferenza /diametro, ma piu efficaci per questo obiettivo. Pi greco, infatti, viene definito come rapporto tra circonferenza e diametro, ma poi, sorprendentemente, salta fuori di continuo in tutti gli ambiti della matematica (l'identità di Eulero di cui parlavo in questo video è un esempio): alcune di queste formule in cui pi greco compare sono alla base dei moderni algoritmi di calcolo delle cifre di pi greco.

@@PaoloAlessandriniMatematica Quindi rimangono numeri irrazionali il valore della circonferenza , del Diametro, del raggio , dell'area, del volume del nostro soggetto !

@@sergioagostinacchio2030 non deve vedere pi greco necessariamente come il rapporto tra circonferenza e diametro. Non ho capito la sua ultima domanda, ma deve vedere pi greco come un numero speciale che non ha che vedere solo con i cerchi, ma anche con altre aree della matematica. I matematici che trovano, con l'ausilio di supercomputer, sempre più cifre di questo numero, non stanno lavorando su nessun cerchio.

@@robertorondoni3678 no. Non tratto le geometrie non archimedee (che in effetti sono delle bestie piuttosto strane). Non tratto neppure la geometria algebrica. Traccio un mio personalissimo percorso attraverso le geometrie. Trattare tutto (e tutto bene) è difficile. Bisogna scegliere. E per scegliere ho seguito il mio gusto personale e le mie competenze.

@@AlbertoSaracco grazie Professore

Non ho capito la domanda. Forse sta immaginando che per calcolare il valore di pi greco qualche matematico abbia misurato la lunghezza di una circonferenza e l'abbia poi divisa per la lunghezza del corrispondente diametro? Tuttavia, soprattutto in tempi moderni, non è stata certo questa la procedura utilizzata per ottenere buone approssimazioni di pi greco. Negli altri commenti trova mie indicazioni sulle tecniche realmente impiegate a tale scopo.

@@PaoloAlessandriniMatematica grazie cercherò di capire come si trovava la lunghezza del cerchio prima di aver calcolato il PGRECO

Ma di quale cerchio vorrebbe determinare la lunghezza? E a quale scopo?

@@PaoloAlessandriniMatematica del cerchio da rapportare col suo diametro per ottenere il P Greco

Come le ho detto, le moderne misure di pi greco non sono state ottenute banalmente misurando circonferenza e diametro e calcolando il quoziente: sarebbe stato un metodo troppo affetto da errori di misurazione e approssimazione. Si basano su un approccio più "astratto" e su formule più complesse.

In matematica non possiamo affidarci a una "dimostrazione" su base "intuitiva" o di buon senso: molto spesso (ne ho parlato diffusamente anche nel mio libro "Bestiario matematico") le conclusioni alle quali si perviene mediante rigorose dimostrazioni sono controintuitive. In questo caso Cantor dimostrò rigorosamente che, per esempio, l'insieme dei numeri reali ha una cardinalità maggiore di quello dei numeri razionali, il quale, invece, ha la stessa cardinalità dei naturali e degli interi.

Matematica e logica hanno la stessa attendibilità in quanto hanno comunque bisogno di assiomi iniziali. Io poi mi appello a Cartesio che era anche un grande matematico che affermava che se per intuizione abbiamo delle verità chiare e distinte non c'è bisono di alcuna dimostrazione matematica o anche logica! Io poi non mi riferisco alla descrizione dei vari tipi di infinito coi vari tipi di caratteristiche, io affermo semplicemente che se un ente è infinito non ci sarà mai un altro ente che è più grande del primo!!!

È vero che Cartesio, quattro secoli fa, affermò che l'idea chiara e distinta, che si manifesta all'intuito nella sua elementare semplicità e certezza, non ha bisogno di dimostrazione. Tuttavia, questa affermazione si colloca in un contesto profondamente diverso da quello della matematica moderna. Da David Hilbert in poi, ma probabilmente anche prima, la matematica non assegna più un valore di verità a ciò che sembra intuitivamente 'vero', ma piuttosto a ciò che è logicamente coerente all'interno di un sistema formale. Un postulato non ha bisogno di essere confermato dall'intuizione: deve solo essere capace di generare una teoria coerente e non contraddittoria. Esistono addirittura teorie matematiche diverse che coesistono pur basandosi su assiomi in contraddizione tra loro (come nel caso delle geometrie non euclidee). Dire che esiste un solo infinito basandosi semplicemente su una propria intuizione è un approccio che non ha valore in matematica. Mi permetto di osservare che si tratterebbe, tra l'altro, di una intuizione personale: chi ci garantisce che altre persone non possano avere intuizioni opposte? Da che cosa è "validata" la nostra intuizione? Dal confronto con una realtà esterna? Ma la matematica si è affrancata dal confronto col reale già dall'epoca degli antichi greci. Nemmeno all'epoca di Cantor le critiche nei suoi confronti partivano da una rivalutazione dell'intuizione: casomai (mi riferisco in particolare alla polemica di Kronecker) muovevano da un approccio costruttivista e finitista, non certo dalla pretesa (già superata da tempo) che la matematica dovesse fondarsi esclusivamente sull'intuizione.

@@PaoloAlessandriniMatematica bene allora affermo che ogni infinito è diverso ma tutti hanno una caratteristica: nessuno ha maggiori componenti di un altro! Questo è il mio postulato (a proposito i postulati e gli assiomi non sono mai dimostrati allora lo posso fare anch'io uno o no?) e sfiderei i più grandi matematici del mondo per confutarmi. Per la verità Cantor lo ha fatto ma è stato criticato dal mondo intero della matematica e poverino ha fatto una brutta fine!

Evidentemente non ha compreso a fondo i miei commenti precedenti, o forse non sono stato abbastanza chiaro io. È vero che un postulato non ha bisogno di dimostrazione, ma questo non significa che possiamo "postulare" qualsiasi cosa ci passi per la mente: in particolare non devono crearsi né ambiguità né incoerenze. La scelta dei punti di partenza di una teoria assiomatica non è uno scherzo. Lei può anche proporre il suo "postulato", ma prima di farlo dovrebbe chiarire in modo inequivocabile e rigoroso cosa intende almeno per "componenti" e per "infiniti diversi". Altrimenti sono parole al vento. E ovviamente il suo postulato, probabilmente assieme ad altri che proporrà, deve avere la potenza di generare una teoria coerente e non ambigua. Buona fortuna.

A quale domanda dovrei rispondere? 😊 Be', comunque ho risposto...

Grazie mille!

Certo, l'impresa di Wiles è stata davvero colossale e ammirevole. Quanto a Fermat, be', potrebbe anche essersi sbagliato in buona fede, non è detto che il suo obiettivo fosse la burla, anche se il fatto di non avere fornito la sua dimostrazione farebbe propendere per questa ipotesi.

Escalofríos debería darle de aceptar semejante burrada como demostración.

In realtà non ci sono pareri discordanti, perché la questione è ben definita. Se parliamo di operazioni tra numeri, la domanda "che cosa fa N diviso zero?" non ha significato, perché la divisione per zero non è definita in matematica. Se invece ci chiediamo qual è il limite, per x che tende a zero, della divisione tra un qualsiasi numero diverso da zero e x, allora la risposta è "una quantità infinita" (positiva o negativa a seconda dei casi). Ma si tratta di due domande totalmente diverse l'una dall'altra.

@@PaoloAlessandriniMatematica grazie mille innanzitutto professore per la risposta ma i pareri discordanti a cui ho accennato li può verificare lei stesso con suoi colleghi ad es. Quantum girl nel post col titolo numero diviso zero ed il commento di un matematico dove la contesta vivamente rimproverandola di fare disinformazione addirittura. Si la ragazza fisica dice proprio che un numero diviso zero da come risultato infinito. Grazie ancora

Non ho trovato il contenuto al quale lei allude, per cui non posso giudicare in merito. Resta il fatto che la divisione per zero è priva di significato matematico; al contrario può avere senso calcolare il limite di un rapporto il cui denominatore tende a zero. Sono due cose molto diverse. Affermare cose diverse da questa non è matematicamente corretto.

È un'equazione di secondo grado pura, cioè avente il solo termine quadratico (e quindi lo zero come unica soluzione). Che cosa c'entra pi greco?

@@PaoloAlessandriniMatematica E' che non ha solo 0 come unica soluzione, ma , se Lei prova, ha come soluzione , un qualsiasi numero N o Q perchè è una equivalenza...... C'entra con il pi greco perchè il rapporto 13/15 è un valore vicino alla radice di 3/2 e quindi se sostituisce a 13/15 con la radice di 3/2 vedrà che è la formula pitagorica del triangolo equilatero , senza usare la radice di 3

@@pan4gopan4life75 mi dispiace ma l'equazione che ha scritto non è una identità, e ha solo zero come soluzione. Anche l'ultima frase che ha scritto non risponde al vero: per esempio la radice quadrata di 3/2 è maggiore di 1, mentre 13/15 è minore di 1.

@@PaoloAlessandriniMatematica Mi scusi, è vero , come ha scritto Lei, la radice quadrata di 3/2 è maggiore di 1, ma forse , sarebbe stato meglio scrivere (1,732)/2 =0,866 come 13/15= 0,86666

Grazie per il suggerimento (non mi risulta però di avere inserito anche miagolii o "argh"). Questo video ha rappresentato una sperimentazione che poi, anche tenendo conto dei pareri del pubblico, non ho più replicato. Forse tutti gli altri video del canale, quindi, potranno essere di suo gradimento.

La rappresentazione consueta è quella decimale, ma ovviamente è possibile convertire un numero come pi greco anche in binario. Però a questo punto non sono sicuro di avere capito qual è veramente la sua domanda.

Grazie per la risposta :-) La mia domanda precisata meglio e' : quante cifre esadecimali di pi greco sono note , al 2 luglio 2024 ? E quante cifre decimali di pi greco sono note , al 2 luglio 2024 ? (probabimente, per il 'binarie' basta moltiplicare l 'esadecimali' per 4 :-) )

Per quel che ne so, ad oggi sono noti 105.000 miliardi di cifre decimali di pi greco. Dato che il logaritmo in base 2 di 10 è circa 3,32, servono circa 3,32 cifre binarie per rappresentare una cifra decimale: quindi conosciamo circa 348.600 miliardi di cifre binarie di pi greco. Per stimare il numero di cifre esadecimali basta dividere le cifre binarie per 4, come ha giustamente osservato.

Yes! Una piccola citazione che avevo intenzionalmente inserito! 👏😀

Certo, è tutto vero: resta il fatto che anche in questo caso si tratterebbe di un numero razionale (certo, scriverlo con un periodo formato da cifre 9 sarebbe una scelta alquanto bizzarra).

Non ho capito nulla, e soprattutto non mi pare che questo commento abbia a che fare con l'argomento del video.

@@PaoloAlessandriniMatematica Ognuno prende un'informazione come la prende :) avrò sbagliato a scrivere e il canale su cui farlo :) scusi professore

Perché dice "non delle api"? Mi risulta che i favi delle api abbiano celle esagonali.

@@PaoloAlessandriniMatematica perchè le api non fanno alverari tondenggianti mentre le vespe si . ho specificato apposta per far capire che forse la formula è da rivedere o almeno sistemare , le vespe fanno nidi tondi a cellette esagonali. magari non sono sfere perfette , certo , ma li fanno .

Nel video sottolineo che gli esagoni possono tassellare il piano ma non possono rivestire una sfera. Per questo ho portato l'esempio dei favi delle api (avrei potuto indifferentemente citare le vespe) che rappresentano appunto una tassellazione del piano mediante esagoni. Ora, il fatto che le cellette delle vespe siano rotondeggianti non ha alcuna importanza, perché stiamo parlando di una tassellazione del piano mediante esagoni: che gli esagoni non possano ricoprire una sfera resta assodato, perché né api né vespe usano gli esagoni per rivestire una sfera.

@@PaoloAlessandriniMatematica vabbè , non ci siamo capiti... saluti .

@@ipnovitochannel8427 forse intendeva dire che i nidi delle vespe nel loro complesso (e non la singola celletta) sono rotondeggianti? Ok, certo, ma anche questo non autorizza certo ad affermare che una tassellazione esagonale ricopre una sfera.

Grazie di cuore! 🙏

Grazie a lei! 🙏

Se non erro, l'articolo in questione è stato successivamente ritirato, suppongo per qualche errore riscontrato dopo la pubblicazione.

La ringrazio per la risposta. Anche a me era parsa😊 strana la soprastampa "retracted" ma non essendo sicuro del significato mi sembrava strano che né l'autore né altri si fosse preso la briga di spiegare l'errore.

Grazie a lei. Credo che da qualche parte debba necessariamente essere stata pubblicata la motivazione della "retraction": bisognerebbe indagare.

Innanzitutto non è lo stesso numero: si tratta di quantità che gli scienziati (neuroscienziati e astrofisici rispettivamente) riescono a stimare con un margine di approssimazione molto rilevante. Per il numero di neuroni nel cervello umano si ipotizza un numero attorno a 86 miliardi, mentre le stelle della nostra galassia potrebbero essere tra 100 e 400 miliardi. L'unica cosa che possiamo dire è che gli ordini di grandezza sono più o meno gli stessi. E ovviamente è del tutto ragionevole pensare che sia un caso e che non vi sia una "spiegazione" di qualche tipo (anche se, lo so, sarebbe molto suggestivo pensare che ci sia).

😀

Grazie di cuore, ma non esageriamo! Piero Angela è lassù, maestro di tutti noi e probabilmente inarrivabile! 😀

@@PaoloAlessandriniMatematica è così. Tutto spiegato in modo chiaro, semplice, che incuriosisce e accultura.

Grazie mille! Questo è già il secondo video della rubrica, iniziata con il video sull'accordo iniziale di "A Hard Day's Night". 😀

Come moltissimi altri "cacciatori di cifre di pi greco" della sua epoca, Shanks utilizzò la formula di Machin. Secondo questa formula pi greco è uguale a 16 volte l'arcotangente di 1/5 meno 4 volte l'arcotangente di 1/239. Combinando questa formula con lo sviluppo dell'arcotangente in serie di Taylor, Shanks riuscì con enorme pazienza e ammirevole dedizione a imbastire la sua impresa colossale, commettendo alcuni errori di calcolo ma conquistandosi un posto nella storia del calcolo.

@@PaoloAlessandriniMatematica Ringrazio per la cortese risposta. Comprendo che questa non sia la sede piu`idonea per ulteriori considerazioni ed approfondimenti, tuttavia una riflessione se permette la farei. Nello specifico dell'argomento trattato 3,14159265 è chiaramente piu`preciso di 3,1415926 che a sua volta lo e` piu`di 3,141592. Ora ,cosciente del fatto che ad un matematico ( esempio ) piaccia quello per cui ha dedicato tempo ed energie della sua vita ( se non tutta la vita) e piu`, in virtu`di cio`, sia come dire poco versatile ad accettare "provocazioni esterne" le chiedo e vi chiedo. Non vi siete mai fermati un attimo a riflettere che questa spasmodica e straziante ricerca del piu` giusto, del qualcosa che sara`comunque modificato da altro piu`esatto sia, ad un certo punto, una vana, viziosa e velenosa esplorazione della verita` cui nessuno puo` dare risposta e pertanto , tutto e`come la luce che attraversa un prisma di vetro, tutto paradossalmente discutibile ?. Grazie

@@massimor8638 definirebbe "spasmodici e strazianti" anche i continui tentativi di un atleta di migliorare le proprie prestazioni giorno dopo giorno? Anche per quelli potremmo forse affermare che sono inutili, perché destinati a essere superati successivamente da altri. In generale non credo sia giusto sminuire il valore dell'impegno profuso nel cercare di apportare miglioramenti di qualche tipo a un certo ambito, seppure si tratti di miglioramenti minimi. Comunque intendiamoci: questa corsa a determinare le cifre di pi greco non è certo un buon esempio di ricerca matematica, perché si tratta in fin dei conti di una impresa agonistica in gran parte fine a se stessa. La vera matematica è un'altra cosa e ha obiettivi ben diversi. Non a caso imprese di questo genere vengono intraprese, o sono state intraprese in passato, da appassionati o da matematici dilettanti. Una attuale e importante ricaduta di questo tipo di calcoli ha tuttavia a che vedere con l'aspetto informatico e in particolare con il collaudo di algoritmi.

Il suo messaggio mi fa molto piacere, grazie di cuore!

Grazie mille!

Grazie!

Grazie mille, Adriano! 😊