Ευχαριστούμε! Θα προσπαθήσουμε να ανεβάζουμε ένα βίντεο κάθε εβδομάδα.

Καλή χρονιά με υγεία! Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια!

Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια! Πιστεύω να συνεχιστεί αυτή η προσπάθεια.

Ευχαριστούμε για το σχόλιο! Να προσθέσω ότι και κάθε αριθμήσιμο υποσύνολο του R είναι επίσης μη συνεκτικό. Η απόδειξη είναι ανάλογη.

Ευχαριστούμε! Θα προσπαθήσουμε να ανεβάζουμε βίντεο κάθε εβδομάδα.

Δεν χρειάζεται να αναφερθούμε στα άκρα του διαστήματος. Η παράγωγος στο άκρο, αν ορίζεται, είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο αυτό και αν είναι διάφορη του μηδενός τότε ισχύει το θεώρημα. Το θεώρημα μιλάει για σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μη μηδενική. Άρα δεν έχει νόημα να αναφερθούμε στα σημεία που η παράγωγος είναι μηδέν. Για τα όρια που λέτε μάλλον θα αναφέρεστε στην αλλαγή από το y -> y_0 στο x -> x_0. Δείτε την πληροφορία που αναγράφεται στο “συννεφάκι” στο 3.12 περίπου.

Υπάρχουν διάφορες εκδοχές του θεωρήματος. Πάντα όμως σε διάστημα.

@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δεν είναι θέμα εκδοχής. Η συνέχεια της f δεν χρειάζεται αν η f είναι γνησίως μονότονη. Το πιο σημαντικό βήμα σε αυτή την απόδειξη είναι η συνέχεια της αντίστροφης.

Η μονοτονία της f σε ένα διάστημα δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια ούτε της f ούτε της αντιστρόφου της. Αν αυτό συνέβαινε τότε κάθε μονότονη συνάρτηση θα ήταν συνεχής. Η συνέχεια λοιπόν της f είναι απαραίτητη.

@ΚώσταςΠαπαστεργίου-σ8χ Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα, τότε η αντίστροφη είναι συνεχής. Αυτό δεν σημαίνει ότι η f είναι συνεχής. Θα μπορούσε η f να είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία. Συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι η γνωστή πρόταση που λέει ότι συνεχής και ένα προς ένα συνάρτηση σε διάστημα έχει συνεχή αντίστροφη.

@@dimitriosapatsidis1307 Έχεις δίκαιο μου διέφυγε. Όμως για να μιλάμε για παράγωγο στο f(Xo) εν f(Δ) θα πρέπει το f(Δ) να είναι διάστημα ή τουλάχιστον το f(Xo) να είναι σημείο συσσωρεύσεως. Αυτό από που εξασφαλίζεται αν η f δεν υποτεθεί συνεχής;

Ευχαριστώ για τον σχολιασμό σας! Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο μιας ακολουθίας ρητών διότι το σύνολο των ρητών είναι πυκνό στο R. Το ίδιο συμβαίνει και με τους άρρητους. Δηλαδή κάθε πραγματικός είναι όριο μιας ακολουθίας άρρητων. Θα προσπαθήσω στο άμεσα μέλλον να φτιάξω βίντεο για τα πυκνά σύνολα ενός μετρικού χώρου.

Θα τα ετοιμάσουμε και θα παρουσιαστούν στο μέλλον. Υποθέτω μέσα στον Δεκέμβρη.

Δεν χωρούν όλα σε ένα μικρό βίντεο. Το θεώρημα που αναφέρω αν Α \subseteq B και Α υπεραριθμήσιμο, τότε και το Β είναι υπεραριθμήσιμο έχει μεγάλη απόδειξη και δεν θα την χαρακτήριζα και εύκολη. Διδάσκεται στα μαθηματικά τμήματα και σε μαθήματα αξιωματικής θεωρίας συνόλων.

Ελπίζω ο σχολιασμός μου να μη θεωρηθεί κακόβουλος. Δε θα σχολίαζα κάτι τετριμμένο. Μακάρι η θεωρία των συνόλων να κινείσει το ενδιαφέρον περισσοτέρων ανθρώπων. Ευχαριστώ.@@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Είναι ευχάριστο που σχολιάζεται. Άλλωστε μαθηματικοί είμαστε και συζητάμε!

Ευχαριστούμε!

Ο ορισμός του πληθάριθμου δίνεται ως κλάση ισοδυναμίας σε κάποιο σύνολο συνόλων. Επειδή δεν υπάρχει το σύνολο συνόλων μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί για ποιο σύνολο συνόλων μιλάμε; Και με τα σύνολα που δεν ανήκουν στο σύνολο αυτό τι γίνεται; Γι αυτό επέλεξα να δώσω την κεντρική ιδέα του πληθαρίθμου. Για έναν πλήρη ορισμό του πληθαρίθμου μπορείτε να δείτε, για παράδειγμα, το βιβλίο Θεωρίας Συνόλων των Δ. Γεωργίου και Σ. Ηλιάδη έκδοση Τζιόλα 2017 (ή κατοπινό). Θεωρώ ότι είναι από τα κορυφαία. Όσον αφορά για το αν οι πληθάριθμοι έχουν σχέση διάταξης η απάντηση είναι ναι.

Ναι η ακολουθία των φυσικών, όπως και κάθε ακολουθία είναι συνεχής συνάρτηση. Είναι μια απλή επιβεβαίωση του ορισμού. Ακόμα και αν στον ορισμό δεν υπάρξη αναφορά για μεμονωμένα σημεία πάλι έχουμε συνέχεια στα σημεία αυτά, αφού θα πρέπει τότε ο ορισμός να δοθεί με ε και δ. Δεν υπάρχει νομίζω κάποια εξυπηρέτηση ή κάποιος ιδιαίτερος λόγος. Θυμηθείτε ότι μιλάμε για σημειακή συνέχεια και όχι για ομοιόμορφη.

Ευχαριστώ@@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Ευχαριστούμε! Θα συνεχίσουμε να ανεβάζουμε σχετικά θέματα.