Olá João, no exemplo do livro o somatório deve começar em n=0, por isso se chega em um valor diferente. Esta fórmula S=a/(1-r) só é adequada para a situação em que temos ∑ arⁿ com n variando de 0 até infinito. Mas se a soma não começar em n=0, a fórmula deixa de valer. Neste caso, é melhor lembrar da fórmula S=(primeiro termo)/(1-razão), já que essa já leva em conta o primeiro termo da série, o qual, por sua vez, depende de qual valor de n começa o somatório. No exemplo em 08:48 a série começa em n=1, e portanto o primeiro termo da série é 5/4.

Bons estudos!

Dos infinitos termos estamos subtraindo os n primeiros. Portanto vão sobrar os termos a partir do índice n+1.

Olá, Uma condição necessária para que uma série seja convergente é que a sequência dos seus termos convirja para zero. Assim, se uma sequência é divergente, então a série correspondente é divergente. Se uma sequência converge para um valor diferente de zero, então a série correspondente é divergente. Se uma série tem termos positivos e esses termos formam uma sequência crescente então a sequência dos termos não pode convergir para zero (vai divergir ou convergir para um valor positivo). Portanto nesse caso a série correspondente é divergente. Agora, o mesmo não vale para sequências com termos negativos. Por exemplo, a sequência -1/n², n=1,2,... é uma sequência crescente (que converge para zero) e a série Σ(-1/n²) é convergente.

Olá Harley, A série geométrica, que apresentei neste vídeo, é a série que obtemos quando somamos os termos de uma progressão geométrica. PAs e PGs são casos particulares de sequências para as quais conseguimos uma fórmula explícita simples para a soma dos primeiros n termos. E assim, fazendo n tender a infinito nessa fórmula, conseguimos entender o significado da soma com infinitas parcelas. No estudo de séries em geral, geralmente não conseguiremos uma fórmula explícita para a soma dos n primeiros termos, e não conseguiremos encontrar o valor exato da soma dos infinitos termos. Conseguiremos saber se a série converge ou diverge através de testes de convergência.

Olá, sim é possível parametrizar outras curvas. Em qualquer livro de Cálculo de várias variáveis você deve encontrar uma seção sobre curvas dadas por equações paramétricas. Vou te passar algumas referências aqui no youtuve sobre equações paramétricas de curvas. Lec 5: Parametric equations for lines and curves | MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007 kzbin.info/www/bejne/a2jNq4OirctnnM0 Videoaula de meu colega Jacques kzbin.info/www/bejne/sGqmfYWIo9efabM Videoaula do professor Possani kzbin.info/www/bejne/a2bYpICrbrdnkMU Videoaulas UNIVESP kzbin.info/www/bejne/bJ3Slpp6qMuZaKM

Olá, sempre que f for uma função estritamente crescente, a curva r=f(θ) será uma espiral. Nesse instante do vídeo que você cita, estamos observando a espiral r=θ, a qual não tem nenhuma relação com a sequência de Fibonacci. Existe sim uma espiral que tem relação com a sequência de Fibonacci, mas não é essa que é mostrada no vídeo. A espiral de Fibonacci se constrói a partir de uma sequência encaixada de arcos de círculos cujos raios formam a sequência de Fibonacci. A espiral de Fibonacci se aproxima da espiral que tem equação r=φ^(2θ/π), onde φ é a razão áurea.

Olá Max Paulo. Sim, seria possível. Isso seria simples: no GeoGebra podemos fazer isso na janela 3d, usando dois eixos para o domínio (rotularíamos os eixos com x e t ao invés de x e y) e um eixo para o contradominio. Boa observação. Mas nessa aula o objetivo era introduzir a animação com a escala de cores como uma forma dinâmica de representar essa função.

@@ProfessorMisturini entendido, mestre. Obrigado.

Nossa modelagem começou supondo que temos a esfera x²+y²+z²=R² cortada pelo plano z=c, onde 0≤c<R. O valor de c determina a altura do plano que corta a esfera. Quando c=0 temos metade de uma esfera. A altura da calota (que é o que sobra acima do plano z=c) é R-c.

@@ProfessorMisturini então, no caso de ter um raio= 0,45m e h medida de 0,1, eu substituo na fórmula o c por R-c?

Ficaria c= R-c = 0,45-0,1?

@@lidyanesoares1689 Se você denotar por h a altura da calota esférica então você tem a relação h=R-c que é equivalente a c=R-h. Esse raio de 0,45m que você fala, vou supor que é o raio da esfera (aquele que chamamos de R) e não o raio da base da calota (o qual chamamos de "a" em 9:16). Tendo a informação de que h=0,1m, então temos que c=R-h=0,45-0,1, isto é, c=0,35. Nesse caso, é possível calcular o volume da calota em termos de R e c, com a fórmula que foi deduzida neste vídeo: V = π(2R³-3cR²+c³)/3 Também podemos obter uma fórmula para o volume diretamente em termos de R e h. Para isso bastaria na fórmula acima substituir c por R-h. Depois de algumas simplificações chega-se na fórmula: V = πh²(3R-h)/3 Agora, se a informação da medida 0,45m for referente ao raio da base da calota, isto é a=0,45, então encontramos R pela relação R²=c²+a². Em seguida, poderíamos calcular o volume usando qualquer uma das fórmulas acima.

Olá Lidyane. Se R, o raio da esfera, for dado em metros, por exemplo, e valor de c também for dado em metros, então o volume será dado em metros cúbicos e isso é coerente com a expressão final V = π(2R³/3-cR²+c³/3).

Olá Henrique. Note em 12:24, que com a mudança de variáveis u=R²-r², quando r=0 temos u=R² e quando r=√(R²-c²) temos u=c². Então, na variável u a integração deveria ser R² até c². Ao escrever a integração na variável u, de c² até R² estamos invertendo essa ordem de integração e isso inverte o sinal da integral. Isso cancela com o sinal "-" que que aparece em - (1/2)du. Por isso, inverti a ordem de integração e ignorei esse sinal "-".

Oi Nara, quanto tempo! Obrigado! Essa explicação intuitiva do método foi fortemente inspirada em uma aula que assisti do MIT ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02-multivariable-calculus-fall-2007/ com o professor Denis Auroux. Eu até usei o mesmo exemplo que ele. Eu gosto muito das aulas dele. Inclusive, esse professor é quem desenvolveu o aplicativo Xournal, que é o aplicativo que eu uso para escrever com a mesa digitalizadora.

Hola Neo. En GeoGebra hay un comando para dibujar superficies parametrizadas. Pudes acceder a la figura en este link www.geogebra.org/m/dzbsewwg y abrir el protocolo de construcción para ver cómo se hizo. La parametrización del pedazo del paraboloide que está por debajo del plano inclinado se realizó de la siguiente manera: x = 1 + u cos(v) y = u sen(v) z = (1 + u cos(v))² + (u sen(v))² con 0<u<1 ; 0<v<2π.