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Пікірлер
@JenB-w7u 8 күн бұрын
C'est plus difficile que d'habitude... Super ! ❤
@Radical31415 8 күн бұрын
@@JenB-w7u Ravi que ça te plaise !
@FabChamp 21 күн бұрын
Salut. Et oui, forcément puisque tous carrés disposent d'une suite de sous-carrés consécutifs... Je m'explique : Prenons 36 Si on développe, c'est 6² = 36 = 6x6 ... (6-1) x (6+1) = 35 = 5x7 = 36-1 ... (5-1) x (7+1) = 32 = 4x8 = 36-4 ... (4-1) x (8+1) = 27 = 3x9 = 36-9 ... (3-1) x (9+1) = 20 = 2x10 = 36-16 ... (2-1) x (10+1) = 11 = 1x11 = 36-25. à chaque fois on soustrait un carré au carré de départ ... -1 , -4 , -9 , -16 , -25 , etc. Donc pour 36, le premier sous-carré est 35, le deuxième est 32, le troisième est 27, etc. Tous les sous-carrés sont forcément divisibles par quelque chose sauf potentiellement le dernier. Donc il n'y a que le dernier sous-carrés qui peut donner un nombre premier. C'est à dire un carré moins son carré consécutifs inférieur. Très bien ta vidéo, merci, je m'abonne 😉
@jcd-k2s 24 күн бұрын
C'est très basique mais très bien expliqué. Un truc marrant cependant, c'est qu'il y a plein de cas d'analyse où diviser par une valeur qui tend vers 0 fait sens comme lim_{e->0} (X^e-1)/e =ln(X) Sur un anneau, par exemple Z/16Z au hasard, tout multiple de 2 n'est pas inversible, ok. Mais si on regarde un anneau "proche" comme Z/17Z les multiples de 2 peuvent devenir inversibles pour certaines classes (et même toutes car 17 est premier). La structure des opérations pour chacun de ces anneaux est proche pour les petites valeurs. Cad qu'en ne dépassant "pas trop", on peut en quelques sortes "comparer des valeurs". cad que 2*3=6 dans les 2 anneaux, tout comme 2*4, 2*5 etc et si on dépasse de peu de tours, on se retrouve à des valeurs pas trop éloignées. 2*8=0 dans Z/16Z et 2*8 =-1 =16 dans Z/17Z les deux valeurs sont très " éloignée " et l'ordre a été inversé. Ok. Mais pour toutes les autres valeurs on reste proches. Prenons 2*8 et ajoutons une "petite" erreur de 1. 2*8+1=1 dans Z/16Z et 2*8+1 = 0 dans Z/17Z. l'ordre a été inversé mais les valeurs sont proches. La proximité des valeurs dépend bien sûr du choix des représentants. Exemple 5*4= 4 dans Z/16Z et 5*4=3 dans Z/17Z. De même 5*5=9 dans Z/16Z et 5*5= 8 dans Z/17Z. On a 5>4 sur Z et dans les deux cas 8>3 et 9>4. Quel intérêt? Ben il y a des problèmes où l'on peut se restreindre à un choix arbitraire de représentants pour avoir un avantage. Si on sait que les valeurs des opérations dans Z se situent dans une fourchette de la taille de n dans Z/nZ alors on peut effectuer des opérations comme des comparaisons. Il y a des problèmes de codage où être proche d'une valeur est satisfaisant ou d'autres où on doit pouvoir comparer. Mais bon, c'est xertainement un nkn sens hein.
@Radical31415 24 күн бұрын
Merci pour ton commentaire ! J'avoue que le cadre de la vidéo est largement dépassé avec les éléments inversibles dans les anneaux Z/nZ XD C'est intéressant, j'imagine que l'intérêt réside dans le fait de réduire le nombre d'opérations quand n est grand ?
@jcd-k2s 22 күн бұрын
@Radical31415 C'est plutôt qu'on peut passer d'une distribution uniforme à une distribution un peu moins uniforme. Enfin, selon moi. J'ai un tout petit résultat qui est assez intéressant. Par exemple si on tire des valeurs uniformément sur (Z/nZ)^k, mais qu'on choisit ensuite uniquement des échantillons de (Z/nZ)^k dont toutes les valeurs ne sont "pas trop éloignés" d'une valeur moyenne, alors il devient plus probable que la somme des valeurs de chaque échantillon soit proche de cette moyenne. Cette moyenne dépend du choix des représentant. petit exemple. on se met sur (Z/8Z)^3 je prends des représentants dans [0..7] a_1=2 a_2 =7 a_3 =6 2+7+6 =15 congru 7 mod 8. ok donc 15 est "en dehors" de l' intervalle 0..7, donc je dois faire une division euclidienne pour obtenir 7 mod 8. maintenant si on prend [-4..3] comme intervalle des représentants On a a_1= 2 a_2 =-1 a_3 = -2 2-1-2=-1 € [-4..3] Si je garantis qu'une somme appartient à l'intervalle pour lequel m = 0 dans t = r +mn alors je peux identifier la valeur au reste. La division euclidienne a été déplacée sur les a_i. Bon ça parait très inutile vu comme ça, mais je vérifie tous les jours que ça ne l'est pas notemment sur un problème proche de ring lwe. Ca n'a rien d'abracadabrant.
@germaintet7648 Ай бұрын
Avec l'identité remarquable, on transforme a2 - b2 en (a+b)(a-b) Soit n l'écart entre a et b. Ca donne donc (a+a+n)(a-a-n)= -n(2a+n) Ce nombre est divisible par n. Si on veut qu'il soit premier, n doit forcément être égal à 1 Par conséquent, l'écart étant de 1, a et b sont consécutifs
@RegisMichelLeclerc Ай бұрын
De mon temps, les fonctions étaient commencées en quatrième et les vecteurs en cinquième... Bref. J'ai raté la partie au sujet du nombre premier, ou quoi? Que viennent faire les nombres premiers là-dedans?
@Jean-marc-tc8zc Ай бұрын
pas compliqué, mais pour des secondes actuelles, pas évident
@florianbasier Ай бұрын
La première étape est cool mais non nécessaire. Si on ne la fait pas on se retrouve avec un second cas pour a+b=1, qui est a=0 et b=1, et de la même manière on démontre que -1 n'est pas premier. Ce qui est intéressant, c'est que les cas correspondant à a+b=1, même si leur solutions (1,0) et (0,1) ne marchent pas, font quand même parti de l'ensemble des (a,b) consécutifs. On pourrait en théorie ne même pas invalider ces deux solutions puisqu'elles ne contradisent pas l'implication que l'on cherche à démontrer.
@Radical31415 Ай бұрын
@@florianbasier Je suis d'accord, mais j'ai choisi de la faire parce qu'elle est cool !
@francisfournier3177 Ай бұрын
Bien, cette chaîne ! Je m'abonne.
@pierre2988 Ай бұрын
a² - b² = (a+b)(a-b) est un nombre premier. Donc le plus petit diviseur est 1, et c'est (a-b) qui est plus petit que (a+b), (a+b) étant le nombre premier en question. Donc a-b=1 => a = b+1 => a et b sont consécutifs.
@loicboisnier5332 8 күн бұрын
C'est ce que j'ai fait. Je suis une quiche en arithmétique et donc l'énoncé me faisait un peu peur. Mais, en résolvant le truc, j'ai pas trop vu la difficulté : soit (a+b)=1 soit (a-b)=1 et les hypothèses permettent de trancher. Bizarre
@thecrazzxz3383 Ай бұрын
Soient a, b deux entiers naturels tels que a² - b² soit premier On note a² - b² = p, p un nombre premier On a a² - b² = (a+b)(a-b) Donc a - b | p Or les diviseurs de p sont {-p ; -1 ; 1 ; p} puisque p est premier Donc a - b € {-p ; -1 ; 1 ; p} * Si a - b = -p : a - b = -p Or (a+b)(a-b) = -p Soit (a+b)x(-p) = -p a + b = 1 (division par -p des deux côtés car p non nul donc -p non plus) a = 1 - b Or a >= 0 car a est naturel Soit 1 - b >= 0 1 >= b b <= 1 Soit b = 0 ou b = 1 Si b = 0, a = 1 Sinon b = 1, a = 0 Donc a et b consécutifs * Si a - b = -1, a = b - 1 soit b = a + 1 donc a et b consécutifs * Si a - b = 1, a = b + 1 donc a et b consécutifs * Sinon a - b = p a - b = p Or (a+b)(a-b) = p Soit (a+b)p = p a + b = 1 (division par p des deux côtés car p non nul) Par le même raisonnement qu'avant, on conclut a et b consécutifs Dans tous les cas, a et b sont consécutifs Donc a et b sont consécutifs
@Radical31415 Ай бұрын
@@thecrazzxz3383 Oui, nickel. Le seul hic, c'est que les diviseurs dans Z ne sont pas au programme de seconde 😉
@thecrazzxz3383 Ай бұрын
@@Radical31415 Ah bon ? Pourtant c'est quelque chose d'évident, personnellement, bon d'accord, ce raisonnement, il vient de maths expertes on est d'accord, mais même en seconde, je pense que c'est la manière la plus naturelle avec laquelle j'aurais procédé !
@Radical31415 Ай бұрын
@thecrazzxz3383 Après vérification, c'est pas si clair... On se contente souvent des diviseurs dans N de nombres entiers naturels... Dans Z, ça ne change pas grand chose, mais ça peut emmêler inutilement certains élèves. En term maths expertes, aucun problème par contre.
@Radical31415 Ай бұрын
@@thecrazzxz3383 Extrait du programme de seconde : Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier Contenus Notations ℕ et ℤ. Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair. Capacités attendues Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier. Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible. Démonstrations Pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est multiple de a. Le carré d’un nombre impair est impair. Exemples d’algorithme Déterminer si un entier naturel a est multiple d’un entier naturel b. Pour des entiers a et b donnés, déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b. Déterminer si un entier naturel est premier.
@thecrazzxz3383 Ай бұрын
@Radical31415 oui 👍
@lacleman28 Ай бұрын
Présentation vraiment remarquable avec une mise en forme excellente vouée à la pédagogie !
@Radical31415 Ай бұрын
@@lacleman28 Merci !!
@lacleman28 Ай бұрын
Top !
@anticyclone0321 Ай бұрын
Une autre solution est de passer par la contraposée. On suppose que a et b ne sont pas consécutifs : a = b + c avec c > 1 Alors a² - b² = (b+c)² - b² = 2bc + c² = c(2b+c) Or c > 1 (et donc 2b+c > 1) De même pour le cas c = 0 qui s'échoue sur a² - b² = 0. a² - b² n'est donc pas premier, cqfd.
@Radical31415 Ай бұрын
@@anticyclone0321 Il faut du coup aussi faire b = a + c avec c>1, ou traiter en amont le même problème pour montrer que a>=b. Je ne comprends pas le cas c = 0
@ItalixPubg Ай бұрын
@@Radical31415 En fait on peut vous mettre d'accord, cette démonstration peut être considérablement simplifiée. Prenons deux naturels a et b quelconques. a²-b²=(a-b)(a+b). On commence par regarder le cas a=0 et le cas b=0 et on voit que a²-b² devient respectivement -b² et a², qui ne peut pas être premier. On sait donc que a+b>1. Et en même temps, a+b est un diviseur de a²-b². Mais si a²-b² est premier, et n'a donc comme diviseurs que 1 et lui-même dans N (dans Z, il y aurait aussi les opposés, c'est pour ça qu'il est important de préciser qu'on est dans N), ça veut dire que a+b=a²-b². Et comme simultanément (a+b)(a-b)=a²-b², on en déduit que a-b=1.
@anticyclone0321 Ай бұрын
@@Radical31415 Oui bien sûr ! On démontre que a >= b en amont. Le cas c = 0 correspond au cas où a et b sont égaux, auquel cas ils ne sont en effet pas consécutifs. En toute rigueur, j'en ai touché un mot.
@jcfos6294 Ай бұрын
Pas si trivial que cela. C'est déjà un bon niveau car le raisonnement par l'absurde est une des possibilités du raisonnement en mathématiques mais à l'image de la démonstration d'Aristote sur la racine carré, il s'agit de bien partir et la réside toute la difficulté
@jcfos6294 Ай бұрын
Excellent l'exercice. J'ai beau avoir un bac +5, toutes ces histoires de nombres premiers me perdent souvent. On ne sait jamais comment aborder le problème. Très souvent le cheminement est univoque et il faut le connaître car les autres chemins aboutissent forcément à une impasse. Et pourtant on peut maîtriser les mathématiques à haut niveaux, quand il s'agit de raisonner sur ces items, c'est toujours assez compliqué. Le niveau de cet exercice est quand même super ardu pour un niveau 2nd. 1ère année de fac serait déjà difficile. Excellent à connaître et merci pour votre vidéo
@Radical31415 Ай бұрын
@@jcfos6294 Je te remercie pour tes encouragements, cela fait bien plaisir. Sur la difficulté de l'exercice, je te rejoins sur le fait qu'il est assez difficile pour un élève de (début de) seconde. En revanche, la plupart des élèves de terminale qui ont choisi maths expertes le trouverait simple (ils refont de l'arithmétique avec en prime les congruences, Bezout...) : il y a quand même une assez grosse accroche avec le a^2-b^2 qui fait immédiatement penser selon toute vraissemblance à (a+b)(a-b). Merci encore pour ton super commentaire !
@jcfos6294 Ай бұрын
@@Radical31415 je vous en prie ! Juste en passant : ce n'est pas en connaissant les congruence qui nécessite une autre gymnastique de l'esprit (il faut jongler avec la notion du "reste" dans la division euclidienne) qui permet de trouver la solution à votre magnifique problème d'arithmétique. Même en connaissant bezout, on ne débouche pas via ce cheminement sur la résolution de celui-ci. Certes, ces gymnastiques de l'esprit sur le maniement des nombres, soutient la "gesticulation" dans la tête, mais ces 2 maîtrises (congru+bezout) ne permettent pas de trouver une réponse directe à votre énoncé. Votre exercice est excellent, il est rigolo comme tout, et je le retiens car il m'a marqué. Évidemment j'ai vu de suite l'identité remarquable. Mais de là, à entrevoir, une once de solution en factorisant, je vous mentirai si je vous disais que je l'avais pensée. Je maintiens : tous ces exercices sur les nombres premiers sont souvent agaçants car ils nous résistent facilement.... Nous les matheux. 😭 Ou bien il faut faire que ça 😋😜. Je suis abonné. J'ai adoré cet exercice 🙏😊
@ItalixPubg Ай бұрын
Bon alors pour ne pas se compliquer inutilement la vie voilà comment on torche cette petite chose insignifiante : On reconnaît une identité remarquable et on écrit que a²-b²=(a-b)(a+b) Comme a et b sont des naturels, a+b est naturel et a-b est un entier relatif. Mais a²-b² étant un nombre premier, c'est un nombre positif, et donc a-b=(a²-b²)/(a+b) aussi. On a donc écrit p=a²-b² comme le produit de deux naturels. Etant donné que c'est un nombre premier, l'un vaut 1 et l'autre vaut p. Et comme a+b>a-b (la différence est égale à 2b et b ne peut pas être nul sinon p=a²), ça vaut dire que a-b=1 donc a=b+1 et a et b sont bien consécutifs.
@jcfos6294 Ай бұрын
Trivial bien sur.... Ouais. Tout le reste des mathématiques est plus faciles et fluides : algèbre linéaire, Matrices carrés, inversibles, nilpothentes, groupes, corps, anneaux commutatifs, nombres complexes, dérivées, primitives, séries entières, intégrales, quaternions, Matrices de passages, polynôme caractèristique, annulateur, valeurs propres, vecteurs propres... . Bref. J'aime pas ces exercices apparemment simplets mais sur lesquels je calle très souvent. Au mieux les congruences, au pire les nombres premiers et leurs échafaudages me minent 😢😂😂😂😂
@Radical31415 Ай бұрын
@@ItalixPubg Merci pour ton commentaire, je suis ravi que tu trouves cela très simple. Comme souvent, un exercice peut paraître simple pour certains et difficile pour d'autres, je te remercie d'avance de respecter ceux qui seraient moins calés que toi dans tes commentaires. Ta version est parfaitement correcte et elle vient enrichir la vidéo. Il est vrai que tu n'utilises pas la stricte croissance de la fonction carré sur [0, +infty[ dans ta variante, ce qui est un atout. J'ai pris le parti volontaire de l'utiliser, vu que la notion de variation de fonction est très importante dans le programme de seconde, et elle le reste par la suite. De plus, découper en deux étapes bien distinctes permet à mon sens de clarifier la résolution pour qui ne trouverait pas cela évident. Enfin, peut-être trouves-tu inutilement compliqué le raisonnement par l'absurde dans la première étape, je remarque qu'il y en a aussi dans ta version (b ne peut pas être nul, sinon p=a^2).
@ItalixPubg Ай бұрын
@@Radical31415 L'histoire du b non nul, c'est optionnel, j'ai dû l'introduire pour des raisons pratiques (pas de signe "supérieur ou égal" sur le clavier, tout bêtement...) Après je vais être franc, je n'ai aucune idée de ce à quoi le programme de seconde de maintenant ressemble. Edit : quoique, en y repensant, c'est pas complètement inutile de savoir que b est non nul. Regarde ta démonstration. Tu écris que comme a+b et a-b sont des diviseurs de a²-b², et tu en déduis que a+b ou a-b vaut 1. Inconsciemment, tu tiens compte de l'information que a+b et a-b sont des diviseurs DISTINCTS. C'est intuitif, mais tu ne le montres pas vraiment. Il manque un petit argument. Il suffit de rajouter que si a+b et a-b étaient le même diviseur de a²-b², ça impliquerait que b=0 et donc que le nombre premier s'écrit comme un carré, ce qui est impossible. Donc les diviseurs sont distincts, et donc l'un des deux vaut 1.
@Radical31415 Ай бұрын
@@ItalixPubg On a écrit p =a^2-b^2 = (a+b)(a-b). Les deux diviseurs de p trouvés ne peuvent pas être les mêmes car sinon p ne serait pas premier, c'est ce que tu montres. Mais pas besoin, puisqu'un nombre premier n'a que deux diviseurs. J'ai deux diviseurs et il n'en a que deux, donc je les connaît...
@ItalixPubg Ай бұрын
@@Radical31415 Ben si tu as besoin de le dire. Tu as prouvé que a+b et a-b étaient naturels, c'est déjà un bon point parce que si on est dans Z, un nombre premier a quatre diviseurs, et dans N, il n'y en a plus que deux : 1 et p (si on pose p=a²-b²). Donc à ce stade tu sais que a+b vaut 1 ou p, que a-b vaut 1 ou p, et donc tu as quatre cas encore possibles : a+b=a-b=1, a+b=a-b=p, a+b=1 et a-b=p et a+b=p et a-b=1. Tu n'as donc pas montré que a+b=1 ou a-b=1, il faut encore que tu écartes le cas a+b=a-b=p. C'est pas compliqué, il suffit d'écrire que si a+b=a-b, alors b=0 et a²-b²=a² ne peut pas être premier. Mais si on veut être rigoureux, il faut le dire. Mais quoi qu'il en soit, il est plus simple de raisonner sur a+b, car déjà à la base on sait qu'il est naturel. Voilà donc ce qui me semble être la preuve la plus directe : On commence toujours de la même manière : a²-b²=(a+b)(a-b). Ensuite, on sait que a+b est naturel puisque a et b le sont. De plus on ne peut pas avoir a=0 car notre nombre deviendrait -b², qui ne peut pas être premier. De même b ne peut pas être nul car a² ne peut pas être premier. On en déduit donc que a+b>1. Vu que a²-b² est premier, il n'a que deux diviseurs dans N, qui sont 1 et lui-même. Et comme a+b est un diviseur de a²-b² différent de 1, on en déduit que a+b=a²-b². Mais vu qu'on a aussi (a+b)(a-b)=a²-b², cela force a-b=1.
@jeanclaude637 Ай бұрын
Super
@jeanclaude637 Ай бұрын
Sympa
@JenB-w7u Ай бұрын
Est-ce qu'on sait lequel est irrationnel du coup ??
@Radical31415 Ай бұрын
@@JenB-w7u Oui, c'est √2^√2 ! Mais c'est plus difficile à monter...
@JenB-w7u Ай бұрын
@Radical31415 👍
@jeanclaude637 Ай бұрын
Bravo
@jeanclaude637 Ай бұрын
@@Radical31415il faudrait supposer qu'il peut s'écrire sous la forme a/b puis démontrer que c'est faux?
@Radical31415 Ай бұрын
@@jeanclaude637 Oui c'est la technique classique pour montrer par exemple que sqrt(2) est irrationnel. Je pense intuitivement qu'ici c'est un peu plus compliqué, mais honnêtement, je ne sais pas trop... Il faudrait creuser la question !
@JenB-w7u Ай бұрын
J'aurais pas pensé au cas m=-1 😢
@JenB-w7u Ай бұрын
(-1)^(n+1)+(-1)^n
@Radical31415 Ай бұрын
Erratum 🙅 : à 3:20 entendre "je mets bien le carré sur le MOINS 2"
@alexandradasilva2470 Ай бұрын
Bonjour, je suis intéressée par la correction de l'inéquation de la fin de la vidéo. car pour le cas où m appartient à -5 ; -1/2 delta est positif, E(x) est donc parfois du signe de (m+1) en dehors des 2 racines dépendant de m et ensuite E(x) est du signe de -(m+1) entre les racines et à ce niveau là je me perds pour conclure ... Help
@Radical31415 Ай бұрын
@@alexandradasilva2470 Lorsque delta est positif, le trinôme change de signe, alors cela ne peut pas convenir... Besoin de plus d'aide ?
@alexandradasilva2470 Ай бұрын
@@Radical31415 ce n'est pas clair pour moi. Vu que le trinôme change de signe lorsque delta est positif, il y a des valeurs de m appartenant à [-5 ; -1/2 ] pour lequel E(x) <=0 et donc on ne peut pas donner toutes les solutions possibles
@Radical31415 Ай бұрын
@alexandradasilva2470 On veut que le trinôme soit négatif pour TOUT x réel, donc de signe constant. Si son discriminant est positif, alors le trinôme change de signe. Ces valeurs-là de m ne peuvent donc pas convenir... (Moralité : polynôme du second degré de signe constant => delta négatif) C'est bon ?
@alexandradasilva2470 Ай бұрын
@@Radical31415oui je viens de comprendre, le " pour tout x réel" que j'avais occulté. merci beaucoup pour votre aide.
@PFD-p6i 2 ай бұрын
Pour le 2 : (1/2)^n
@Radical31415 2 ай бұрын
Donne d'autres contre-exemples ici 👇 si tu en as 😊
@walter3124 2 ай бұрын
Si (u(n)) vérifie que lim (u(n+1)-u(n))=0 alors (u(n)) converge.
@Radical31415 2 ай бұрын
@@walter3124u_n = ln(n) 😋
@jean-philippebernard9469 2 ай бұрын
Raccourci souvent fait par des élèves : Si lim u_n = +∞ alors (u_n) croissante. Contre-exemple : u_n = n si n pair ou u_n = n-1 si n impair Il existe plein d'autres contre-exemples dans le genre ;)
@walter3124 2 ай бұрын
@@Radical31415 Et maintenant : même question en ajoutant que (u(n)) bornée 😄
@Radical31415 2 ай бұрын
@@walter3124 Ouais, ça c'est plus dur ! (sin(√n)). Je vois pas trop comment un.e terminale pourrait prouver que ça ne CV pas... Une idée ?
@Youme_yt-82c2 2 ай бұрын
Fuk😮😮
@GillesF31 2 ай бұрын
Oui ... mais il y avait aussi cela: √2 + √6 = 2·√(2 + √3) (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² 2 + 6 + 2√12 = 4·(2 + √3) 8 + 2√12 = 4·(2 + √3) 8 + 2√12 = 8 + 4√3 note: √12 = 2√3 => 2√12 = 4√3 ■ 8 + 4√3 = 8 + 4√3 🙂
@Radical31415 2 ай бұрын
Ce qui est gênant, c'est que tu pars de l'égalité que tu veux montrer et que tu ignores être vraie... Si tu as des équivalences partout, pas de problème : en "remontant", vue que la dernière est vraie, la première l'est aussi (mais on préfère en général l'écrire directement dans l'autre sens, c'est plus fluide) Dans ta proposition, il n'y a pas équivalence entre tes deux premières lignes... On a bien : √2 + √6 = 2·√(2 + √3) => (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² (si deux nombres sont égaux, alors ils ont le même carré) mais pas : (√2 + √6)² = (2·√(2 + √3))² => √2 + √6 = 2·√(2 + √3) ( (-1)² = 1² mais 1 et -1 ne sont pas égaux)
@Ctrl_Alt_Sup 3 ай бұрын
√2+√6=2√(2+√3) Votre démonstration n'est pas très intuitive. Il est plus logique de voir que √6=√2×√3 On a ainsi une expression avec √3 qui est l'élément commun de l'équation. √2+√6=√2+√2×√3=√2(1+√3)=2(1+√3)/√2 Il reste à montrer que (1+√3)/√2=√(2+√3) On élève au carré des deux côtés… (1+√3)^2/2=2+√3 On développe à gauche… (1+√3)^2/2=(1+2√3+3)/2 =(4+2√3)/2=2(2+√3)/2=2+√3 CQFD
@Radical31415 3 ай бұрын
J'ai choisi cette méthode parce que je la trouve élégante. C'est vrai que ce n'est pas la méthode la plus intuitive, je suis totalement d'accord. (1+√3)/√2 et √(2+√3) ont bien le même carré comme ton calcul le montre (il aurait été préférable de calculer les deux carrés séparément tant qu'on ne sait pas s'ils sont égaux mais ok les calculs sont bons) En revanche, il manque quelque chose pour conclure : 2 et -2 ont bien le même carré mais ne sont pourtant pas égaux ;)
@Ctrl_Alt_Sup 3 ай бұрын
@@Radical31415 Où voyez-vous une expression négative dans la démonstration? Si a>0 et b>0, a^2=b^2 implique a=b
@Radical31415 3 ай бұрын
@@Ctrl_Alt_Sup C'était juste pas précisé 😉
@hassanema9661 4 ай бұрын
Svp Quelle est la technique que tu as utilisé pour écrire dans le tableau noir......
@Radical31415 4 ай бұрын
J'ai simplement mis une photo de tableau noir en arrière-plan. Les formules sont écrites en LaTeX et les animations sont faites avec Manim.
@PFD-p6i 4 ай бұрын
Nice ! 😎
@PFD-p6i 4 ай бұрын
Sympa les animations ! 😍
@PFD-p6i 4 ай бұрын
Top !
@PFD-p6i 4 ай бұрын
👍👍C'est comme si on ajoutait le même nombre de fois (n) la moyenne du premier (1) et du dernier (n). (Somme arithmétique)
@Radical31415 4 ай бұрын
Oui exactement !
@PFD-p6i 4 ай бұрын
C'est comme si on ajoutait le même nombre de fois la moyenne du premier (1) et du dernier (n) (Somme arithmétique)
@Radical31415 5 ай бұрын
En tout cas, je suis assez content de ne pas avoir été dans la classe de KF Gauss en CM2.
@Radical31415 5 ай бұрын
Il y a bien sûr d'autres façons de la prouver, par exemple par récurrence (pas possible avant la terminale) !
@Radical31415 5 ай бұрын
Un peu long l'affichage du premier tableau non ? 😴
@PFD-p6i 4 ай бұрын
Peut être un tout petit peu mais c'est ok
@danielcoupeur2192 5 ай бұрын
Une prime de 2 Millions de dollars (virtuels) pour qui démontre la conjecture de Daniel Coupeur Tout nombre impair (sauf 1) peut s'écrire 2 puissance n multiplié par un ou plusieurs nombres premiers auxquels j'ajoute 1 n étant un entier positif Exemple 31= 2X3X5+1 17=2X2X2X2X1+1 (2 puissance 4, fois 1 [nombre premier], +1) 99=2X7X7+1 Etc...
@oliverdauphin236 6 ай бұрын
Plus simplement : (sqrt(2)+sqrt(6))^2 =2+6+2sqrt(2)sqrt(6) =8+2sqrt(2)sqrt(2)sqrt(3) =8+4sqrt(3) =4(2+sqrt(3)) Donc sqrt(2)+sqrt(6)=2sqrt(2+sqrt(3))
@AissamLmellali 6 ай бұрын
2+√3=1/2(4+2√3) =1/2(3+2√3+1) =1/2(1+√3)² Hhhhhhhhhh
@Radical31415 6 ай бұрын
2+√3=1/2(4+2√3) =1/2(3+2√3+1) =1/2(1+√3)² =1/(√2)²(1+√3)² = (1/√2 + √3/√2)² = (√2/2 + √6/2)² = 1/4(√2 + √6)²
@10felix 6 ай бұрын
C'est une vérification, pas une démonstration. C'est plus joli de travailler sur le membre de gauche et de le transformer pour arriver au membre de droite. C'est pas très compliqué : mettre 2 en facteur et transformer le terme mis entre parenthèses ; on l'élève au carré et on prend la racine carrée. Ce qu'on a élevé au carré se réduit facilement et on arrive au résultat.
@Radical31415 6 ай бұрын
Ton calcul marche parfaitement, pas de pb. On aurait aussi pu choisir de montrer que la différence vaut 0 en multipliant numérateur et dénominateur (1) par la quantité conjuguée. Il y a pas mal de méthodes, j'en ai choisi une. ( Je la trouve élégante, c'est subjectif, j'en conviens). Mais, c'est bel et bien une démonstration : je résume pour essayer de te convaincre : J'appelle a et b les deux nombres du début. 1. Je remarque que a² = b² (c'est le calcul sur lequel je passe la plupart du temps) 2. Or : a² = b² <=> a² - b² = 0 <=> (a+b)(a-b) = 0 <=> (a = b ou a = -b ) Ce que j'utilise en disant : si deux nombres ont le même carré, alors ils sont égaux ou opposés. (je ne fais pas la démonstration dans la vidéo) 3. Je remarque que a > 0 et b >0, donc ils ne sont pas opposés. Ils sont donc égaux. Une vérification aurait consisté à dire : je sais que a = b, vérifions qu'on a bien a² = b², et aurait eu peu d'intérêt je suis d'accord.
@tugaks1837 5 ай бұрын
C'est une suite d'équivalences donc c'est bien une démonstration, voit le comme démontrer une trivialité à partir d'un résultat. Si la trivialité est vraie c'est que le résultat de départ l'était aussi (à condition que ce soit un enchaînement d'équivalences bien sûr).
@mohameddjenane183 4 ай бұрын
Excellente réponse
@hamedhamdi9969 6 ай бұрын
Mr ! c juste ce que tu dis ! mais tu en mets un peu trop ! tu leves la partie droite et gauche au carré et tu aboutis au meme resultat ! sans parler de superieure ou egale a zero ! tu melanges tout !
@Radical31415 6 ай бұрын
Je pense que tu n'as pas regardé la vidéo jusqu'au bout...
@hamedhamdi9969 6 ай бұрын
@@Radical31415 il n'y a pas de variables dans la partie droite et gauche ! il est evident que la parties droite et gaucche sont superieures a 2 donc positives !
@Ctrl_Alt_Sup 3 ай бұрын
Effectivement, sans variables, il suffit d'élever au carré les 2 membres de l'équation puis de les développer. Les membres étant positifs, il n'y a aucune ambiguïté👌
@mikelbares8518 6 ай бұрын
Merci pour cette vidéo!
@jeanclaude637 6 ай бұрын
Super
@Radical31415 6 ай бұрын
Merci !
@jeanclaude637 6 ай бұрын
Superbe correction
@Radical31415 6 ай бұрын
😊
@Radical31415 6 ай бұрын
Pour l'affirmation 4, on pouvait aussi pour le 2e point lire les coordonnées d'un vecteur normal à (ABC) dans son équation cartésienne, puis vérifier que le vecteur DH était colinéaire à ce vecteur normal.