[Seconde] Si a²-b² est un nombre premier, alors a et b sont consécutifs, en 5 minutes ⏱!

[@jcfos6294]

Excellent l'exercice. J'ai beau avoir un bac +5, toutes ces histoires de nombres premiers me perdent souvent. On ne sait jamais comment aborder le problème. Très souvent le cheminement est univoque et il faut le connaître car les autres chemins aboutissent forcément à une impasse. Et pourtant on peut maîtriser les mathématiques à haut niveaux, quand il s'agit de raisonner sur ces items, c'est toujours assez compliqué. Le niveau de cet exercice est quand même super ardu pour un niveau 2nd. 1ère année de fac serait déjà difficile. Excellent à connaître et merci pour votre vidéo

[@Radical31415]

@@jcfos6294 Je te remercie pour tes encouragements, cela fait bien plaisir. Sur la difficulté de l'exercice, je te rejoins sur le fait qu'il est assez difficile pour un élève de (début de) seconde. En revanche, la plupart des élèves de terminale qui ont choisi maths expertes le trouverait simple (ils refont de l'arithmétique avec en prime les congruences, Bezout...) : il y a quand même une assez grosse accroche avec le a^2-b^2 qui fait immédiatement penser selon toute vraissemblance à (a+b)(a-b). Merci encore pour ton super commentaire !

[@lacleman28]

Top !

[@jeanclaude637]

Super

[@jcfos6294]

Pas si trivial que cela. C'est déjà un bon niveau car le raisonnement par l'absurde est une des possibilités du raisonnement en mathématiques mais à l'image de la démonstration d'Aristote sur la racine carré, il s'agit de bien partir et la réside toute la difficulté

[@anticyclone0321]

Une autre solution est de passer par la contraposée. On suppose que a et b ne sont pas consécutifs : a = b + c avec c > 1 Alors a² - b² = (b+c)² - b² = 2bc + c² = c(2b+c) Or c > 1 (et donc 2b+c > 1) De même pour le cas c = 0 qui s'échoue sur a² - b² = 0. a² - b² n'est donc pas premier, cqfd.

[@Radical31415]

@@anticyclone0321 Il faut du coup aussi faire b = a + c avec c>1, ou traiter en amont le même problème pour montrer que a>=b. Je ne comprends pas le cas c = 0

[@ItalixPubg]

@@Radical31415 En fait on peut vous mettre d'accord, cette démonstration peut être considérablement simplifiée. Prenons deux naturels a et b quelconques. a²-b²=(a-b)(a+b). On commence par regarder le cas a=0 et le cas b=0 et on voit que a²-b² devient respectivement -b² et a², qui ne peut pas être premier. On sait donc que a+b>1. Et en même temps, a+b est un diviseur de a²-b². Mais si a²-b² est premier, et n'a donc comme diviseurs que 1 et lui-même dans N (dans Z, il y aurait aussi les opposés, c'est pour ça qu'il est important de préciser qu'on est dans N), ça veut dire que a+b=a²-b². Et comme simultanément (a+b)(a-b)=a²-b², on en déduit que a-b=1.

[@thecrazzxz3383]

Soient a, b deux entiers naturels tels que a² - b² soit premier On note a² - b² = p, p un nombre premier On a a² - b² = (a+b)(a-b) Donc a - b | p Or les diviseurs de p sont {-p ; -1 ; 1 ; p} puisque p est premier Donc a - b € {-p ; -1 ; 1 ; p} * Si a - b = -p : a - b = -p Or (a+b)(a-b) = -p Soit (a+b)x(-p) = -p a + b = 1 (division par -p des deux côtés car p non nul donc -p non plus) a = 1 - b Or a >= 0 car a est naturel Soit 1 - b >= 0 1 >= b b

[@Radical31415]

@@thecrazzxz3383 Oui, nickel. Le seul hic, c'est que les diviseurs dans Z ne sont pas au programme de seconde 😉

[@thecrazzxz3383]

@@Radical31415 Ah bon ? Pourtant c'est quelque chose d'évident, personnellement, bon d'accord, ce raisonnement, il vient de maths expertes on est d'accord, mais même en seconde, je pense que c'est la manière la plus naturelle avec laquelle j'aurais procédé !

[@Radical31415]

@thecrazzxz3383 Après vérification, c'est pas si clair... On se contente souvent des diviseurs dans N de nombres entiers naturels... Dans Z, ça ne change pas grand chose, mais ça peut emmêler inutilement certains élèves. En term maths expertes, aucun problème par contre.

[@Radical31415]

@@thecrazzxz3383 Extrait du programme de seconde : Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier Contenus  Notations ℕ et ℤ.  Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair. Capacités attendues  Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.  Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible. Démonstrations  Pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est multiple de a.  Le carré d’un nombre impair est impair. Exemples d’algorithme  Déterminer si un entier naturel a est multiple d’un entier naturel b.  Pour des entiers a et b donnés, déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.  Déterminer si un entier naturel est premier.

[@thecrazzxz3383]

@Radical31415 oui 👍

[@ItalixPubg]

Bon alors pour ne pas se compliquer inutilement la vie voilà comment on torche cette petite chose insignifiante : On reconnaît une identité remarquable et on écrit que a²-b²=(a-b)(a+b) Comme a et b sont des naturels, a+b est naturel et a-b est un entier relatif. Mais a²-b² étant un nombre premier, c'est un nombre positif, et donc a-b=(a²-b²)/(a+b) aussi. On a donc écrit p=a²-b² comme le produit de deux naturels. Etant donné que c'est un nombre premier, l'un vaut 1 et l'autre vaut p. Et comme a+b>a-b (la différence est égale à 2b et b ne peut pas être nul sinon p=a²), ça vaut dire que a-b=1 donc a=b+1 et a et b sont bien consécutifs.

[@jcfos6294]

Trivial bien sur.... Ouais. Tout le reste des mathématiques est plus faciles et fluides : algèbre linéaire, Matrices carrés, inversibles, nilpothentes, groupes, corps, anneaux commutatifs, nombres complexes, dérivées, primitives, séries entières, intégrales, quaternions, Matrices de passages, polynôme caractèristique, annulateur, valeurs propres, vecteurs propres... . Bref. J'aime pas ces exercices apparemment simplets mais sur lesquels je calle très souvent. Au mieux les congruences, au pire les nombres premiers et leurs échafaudages me minent 😢😂😂😂😂

[@Radical31415]

@@ItalixPubg Merci pour ton commentaire, je suis ravi que tu trouves cela très simple. Comme souvent, un exercice peut paraître simple pour certains et difficile pour d'autres, je te remercie d'avance de respecter ceux qui seraient moins calés que toi dans tes commentaires. Ta version est parfaitement correcte et elle vient enrichir la vidéo. Il est vrai que tu n'utilises pas la stricte croissance de la fonction carré sur [0, +infty[ dans ta variante, ce qui est un atout. J'ai pris le parti volontaire de l'utiliser, vu que la notion de variation de fonction est très importante dans le programme de seconde, et elle le reste par la suite. De plus, découper en deux étapes bien distinctes permet à mon sens de clarifier la résolution pour qui ne trouverait pas cela évident. Enfin, peut-être trouves-tu inutilement compliqué le raisonnement par l'absurde dans la première étape, je remarque qu'il y en a aussi dans ta version (b ne peut pas être nul, sinon p=a^2).

[@ItalixPubg]

@@Radical31415 L'histoire du b non nul, c'est optionnel, j'ai dû l'introduire pour des raisons pratiques (pas de signe "supérieur ou égal" sur le clavier, tout bêtement...) Après je vais être franc, je n'ai aucune idée de ce à quoi le programme de seconde de maintenant ressemble. Edit : quoique, en y repensant, c'est pas complètement inutile de savoir que b est non nul. Regarde ta démonstration. Tu écris que comme a+b et a-b sont des diviseurs de a²-b², et tu en déduis que a+b ou a-b vaut 1. Inconsciemment, tu tiens compte de l'information que a+b et a-b sont des diviseurs DISTINCTS. C'est intuitif, mais tu ne le montres pas vraiment. Il manque un petit argument. Il suffit de rajouter que si a+b et a-b étaient le même diviseur de a²-b², ça impliquerait que b=0 et donc que le nombre premier s'écrit comme un carré, ce qui est impossible. Donc les diviseurs sont distincts, et donc l'un des deux vaut 1.

[@Radical31415]

@@ItalixPubg On a écrit p =a^2-b^2 = (a+b)(a-b). Les deux diviseurs de p trouvés ne peuvent pas être les mêmes car sinon p ne serait pas premier, c'est ce que tu montres. Mais pas besoin, puisqu'un nombre premier n'a que deux diviseurs. J'ai deux diviseurs et il n'en a que deux, donc je les connaît...

[@ItalixPubg]

​@@Radical31415 Ben si tu as besoin de le dire. Tu as prouvé que a+b et a-b étaient naturels, c'est déjà un bon point parce que si on est dans Z, un nombre premier a quatre diviseurs, et dans N, il n'y en a plus que deux : 1 et p (si on pose p=a²-b²). Donc à ce stade tu sais que a+b vaut 1 ou p, que a-b vaut 1 ou p, et donc tu as quatre cas encore possibles : a+b=a-b=1, a+b=a-b=p, a+b=1 et a-b=p et a+b=p et a-b=1. Tu n'as donc pas montré que a+b=1 ou a-b=1, il faut encore que tu écartes le cas a+b=a-b=p. C'est pas compliqué, il suffit d'écrire que si a+b=a-b, alors b=0 et a²-b²=a² ne peut pas être premier. Mais si on veut être rigoureux, il faut le dire. Mais quoi qu'il en soit, il est plus simple de raisonner sur a+b, car déjà à la base on sait qu'il est naturel. Voilà donc ce qui me semble être la preuve la plus directe : On commence toujours de la même manière : a²-b²=(a+b)(a-b). Ensuite, on sait que a+b est naturel puisque a et b le sont. De plus on ne peut pas avoir a=0 car notre nombre deviendrait -b², qui ne peut pas être premier. De même b ne peut pas être nul car a² ne peut pas être premier. On en déduit donc que a+b>1. Vu que a²-b² est premier, il n'a que deux diviseurs dans N, qui sont 1 et lui-même. Et comme a+b est un diviseur de a²-b² différent de 1, on en déduit que a+b=a²-b². Mais vu qu'on a aussi (a+b)(a-b)=a²-b², cela force a-b=1.

[@pierre2988]

a² - b² = (a+b)(a-b) est un nombre premier. Donc le plus petit diviseur est 1, et c'est (a-b) qui est plus petit que (a+b), (a+b) étant le nombre premier en question. Donc a-b=1 => a = b+1 => a et b sont consécutifs.