0.999…=1吗？无穷小量的数学史

[@thetruthoftheuniverse2064]

学霸的节奏，一刀未剪的视频比一般youtuebr强不是一星半点了，跪拜......

[@williamchan1613]

感觉中间有一段好像剪过。

[@HaHa-dv1bw]

@@williamchan1613 就算有，我也跪拜XD

[@williamchan1613]

@@HaHa-dv1bw 附议

[@MFW5]

等於的定義是什麽呢？

[@陳福成-x2v]

@@MFW5 "="這個符號是一個"等價關係"(equivalence relation)符號，關係符號有很多種，比如說: < , > , = , ~ , 等...。 關係是指在一個集合中的二元關係。書寫形式為 xRy 。當中的x,y是集合中的元素，而R代表關係的符號，關係符號可以讓你自由定義，所以關係有很多種類，如上面的那些例子。 在眾多的關係當中若是符合以下條件則稱這個關係為等價關係 1.反生性 : xRx 對於所有集合中的x 2.對稱性 : 若 xRy 則 yRx 對於所有集合中的x,y 3.遞移性 : 若 xRy 且 yRz 則 xRz 對於所有集合中的x,y,z

[@hitik7350]

牛顿，莱布尼兹，，拉格朗日，柯西，维尔斯特拉斯。。。数分的记忆在眼前缓缓展开

[@joetong1493]

讲的真好！前几天还跟朋友讨论这个问题，分享给朋友看。 妈咪叔不仅逻辑清晰，而且还添加了数学历史，非常有趣

[@Nort66]

好老师总是能够让你听课越听越有精神，可越是那种混工资的老师总是讲的非人类语言，好像用大白话讲就贬低了自己的身份似的

[@brucehao6578]

又想起来当年课上老师说到夹逼法同学们笑到停不下来被集体罚站 XD

[@kennyfsTW]

笑死

[@高锰酸假]

我采用的是 夹屌法

[@蛋蛋ex]

想當初我也是如此的嚴謹 直到我學到了化學

[@Marcel-ic1ec]

同感，溶液反应平衡，高中做题感觉跟算命一样

[@zekunlang]

😄哈哈，我们老师说engineering里面百分之五以内的误差都能接受，有时候标准答案如果是一的话，算出来是0.95到1.05都可以给分

[@stephensu4371]

可是我做的engineering的題目我個人都嚴格必須誤差必須小於1%

[@wangruochuan]

@@zekunlang 地质生来了。误差无所谓了。我们计算公式从高数微积分都简化成一元二次方程了。哦这个大象化石要做氩同位素鉴定哦。误差两万到200万年?无所谓

[@pullrequest1296]

所以说，这其实是一个关于公理体系的问题。他们可以相等，也可以不相等。全网中文youtuber应该数叔讲的最好了。

[@chestmangimi]

0.999循環與1的關係，講得太好了！真是鞭辟入裡、擲地有聲、震聾發聵、發人深省啊！沉思良久，才知初中就知道的實數完備性，原來從未懂過！

[@tingyuenlau8699]

那麼，0.999999...98 等同 0.99999....99 嗎？

[@一颗红豆]

@@tingyuenlau8699 那就考虑9和8是在同一位上出现，但是你用了省略号就不知道了到底是第几位了，也就无法比较，如果你确定了8和9就是在同一位上，那就可以比较了

[@慕夏雨]

@@tingyuenlau8699 是的，但不会出现类比0.999...1=1这样的错误推理。因为...8和...9；...7和...8 这两组都是点对点的无限趋近；...7和...9就没有丝毫关系了。

[@miduck2941]

讲解0.999...=1的人很多，但分析得如此切中要害的只有妈咪叔一个。之前看过李永乐老师的同名视频，本着随便看看的心情点开这个，但讲的东西大多数都是李老师没讲的内容。近期的视频比早期吸引人很多！加油！已订阅

[@hubenbu]

柯西發明的極限定義更像是邏輯定義或線性定義，當然妙不可言，因為其文本陣述與人的直觀感知經驗完美符合。 edit: 學習積分進程過半，馬上就要進到序列和級數了，這個時候看這段片子，真是滿心歡喜。 edit: 學完了微積分2，隨時可以開始3，徜徉流連在這個區域美不勝收的風景中，在更寬闊的視野中細細觀察極限概念，感覺它很像是一根木樁，把牛拴在上面讓牛自己吃草好了。這個基石意義上的概念在有形的文字符號系統中幾乎可以說沒有更好的描述了，最重要的是，以這份圖紙設計為原形而發展起來的一系列工具確實管用經得起驗證，服氣。 極限概念堪稱科學的創世紀經文，把它講解得如此清晰明了達到了美感的高度，讓人聯想到喻可唯純淨的歌聲。 💐

[@kevin1995840425]

關鍵還是在這個無窮小的存在與否 如果認為無窮小存在 則兩數存在相差 如果認為無窮小不存在 則兩數不存在相差 真的就如同幽靈 有人信 有人不信

[@雨楓-u4q]

所以其實是討論無窮是否可以現實操作有時可以有時是不行的 類似於圓

[@我們這一家-j9o]

無窮小不是一個數，是一個等比無窮級數，你對這個數列取它的極限值就是為1，意思是這個數列收斂到1這個數。

[@gancheetak9385]

备胎说车+李永乐老师=妈咪说

[@haotao9532]

蒋郁文 他是車界的李永樂老師 可以把學科講的津津有味

[@sph1950]

比喻之神

[@陳俊佑-d3l]

三個都有追！

[@NotYourKeysNotYourCoins]

三厨狂喜

[@sungleong]

Infinity is a concept, it doesn't really exist in real life. So if we are calculating real life phenomenon, we can ignore it.

[@chq547]

理工男表達能力又那麼強，有點小帥還不禿頭，真得上天的厚愛。

[@YY-qx9jk]

主要的原因就是1/3并不等于0.3333...那只是因为我们找不到的一个正确的数，只能用0.333来替代

[@Ryoma_lawang]

我还以为是把李永乐老师的视频又推送了一遍呢...

[@jimzhong967]

Mashimaro spc 我觉得他真的厉害

[@edison9581]

他估计看李老师视频，才能找到灵感。

[@refugeist]

好学生不是又听一遍，而是能自己讲清楚，听懂不代表你真懂了。。。

[@成都·紙老虎-q4g]

比李永乐说得好多了。

[@qiangguo8808]

@@成都·紙老虎-q4g 证明方式不同。

[@---ol9yy]

沒有證據指控凶手 就等於清白的理論

[@黄文彦-v1e]

者在各国法律上也是如此规定 无罪推定嘛

[@tongchunpong9049]

所以是叫“疑犯“而不是“ 兇手“請不要自己腦補，未審先判😂👍

[@黄文彦-v1e]

@@tongchunpong9049 www.aclu.org/lynch-v-state-amici-brief 只不过在这个case里面确实有点无语 弗罗里达的appeal court太轻信辩护律师的言论了

[@notrich]

如果是凶手就不是清白，只是證據未被發現罷了

[@許智賢-b4l]

所以才說真正恐怖的壞人犯罪是不留證據 因為無證據=無罪

[@54088WWW]

至於0.999999,,,,,,,,.無限循環的問題，只能用分數來處理，無限循環數本身只是一種概念，並不能用來運算，其實，無限循環本來是為了做一種表示，例如，78/99 , = 0.78787878，= 26/33 , 我相信沒有哪個人有辦法直接拿0.787878,,,,,,來做運算，而且，0.9999不等於0.99999,,,,,無限循環，而且也不是在討論0.999990999,,,,,,的最後位置在數線上的哪裡，如果真的要問0.99999,,,,,無限循環的最後一點的位置，其實也很簡單，就是在1的左側的那一點，而這一點同樣是一個概念，無法直接做運算，而且不等於1 , 因為不是同一點，所以不相等，這是在討論數線上的位置，跟討論0.9999,,,,,,,有多大的情況又不盡相同，你如果真的要計算0.9999,,,,,,有多大，其實也不難，就是 : 1-(1/無窮大) , 就是了

[@オウシボク]

证明一下0.99999循环到底等不等于1 首先我们把有理数进行分割 假设有理数Q，将Q进行分割两个集合A、B Q→A|B。它对应的是0.9999循环 再把有理数Q进行分割两个集合C、D Q→C|D。她对应的是1 所以可定义 A=｛x|x€Q x=0.99999循环｝ C=｛x|x€Q x=1｝ 证明0.9999循环=1 就要证明以上两种分割一样 证明以上两种分割一样就要证明以上两个集合一样。 证明A集合=C集合 在集合A中取一个元素t t€A，所以t

[@enjoynetsl]

关键就是这个“=”是怎么定义的，最直观的理解，a-b是0，a=b 但是实数论里，只要找不到比0大比a-b小的实数，a=b

[@richardxie6641]

无穷数就是一个超数轴的数，取决于人们对它的观察。当给予一个干预，则有数轴上的意义，否则它存在但不知道确定状态。无穷则无定，有用则有数。一切皆有可能，此为备态。

[@MFW5]

1-0.999...=? 無窮小不存在？或等於零？等於的定義是什麽？

[@limyu7383]

@@MFW5 根据妈咪叔的结论来说呢会有两个答案 答案1)在标准实数域里1-0.999...=0 答案2)在超实数域里1-0.999...=dx (dx→0，也就是无穷小)

[@izzynorway]

一边跟着理论听一边总想忽略左下角动来动去的标志是个挑战

[@user-jm5xw3wg6g]

就譬如你把一個圓分1/3，每一個面積都是無限計算的。 其實很難算出每一個面積都一樣。

[@伟王-r8w]

为啥分不尽，二分之一就能分尽？这个问题和分筷子不一样么？两根筷子能分两份，三根筷子就能分3份

[@PixelDinosaur]

0.9……是一个实数，还是一个有理数，因为整数、限小数和无限循环小数都属于有理数，所以它可以参与计算，还能化为分数，就是9/9。

[@江政諺-b7m]

一份蛋糕切三份，每份為0.33333....份，若將三份又相加，則等於0.99999.....份，試問中間消失的蛋糕在哪? Ans:你的刀子上

[@chenwilliam5176]

每份為 1/3， 不是 0.333333......😊 0.333333......沒有意義🙂

[@CharileNan]

0.9循环可以写成0.9+0.09+0.009，这是一个等比数列，直接用等比数列求和公式就能证明相等

[@daizhao4874]

南望 你这样已经用到 0.1的无穷次方＝0这个结论了。 实质上还是0.0000....1＝0

[@llz1330]

这个问题可以简单地转化为求一个首项为0.9而比值为0.1的无穷等比数列的和

[@vooon5510]

你得接受神是存在的这个事实，因为只有你承认了这一点，才算是承认了神学是完备的，这就是根基，否则神学就没有意义了。

[@wen-706]

為什麼我越聽越有精神

[@wrb6663]

上小学的时候的不相等，上了大学就相等了

[@陳卿-z9e]

王磊 國中就可以簡單證明了不是嗎

[@弓长小水寿]

上大学的时候，老师给的证明是首项为0.9，公比0.1，项数为∞的等比数列求和，取极限就是1。

[@鱼二-z5r]

我来推翻现有的定义吧，先说结论：0.9循环不等于1,这个是本宇宙内的真理，超出本宇宙的理论在本宇宙无效。原理本质上就是用哲学来解释数学问题，即用哲学上的穷极概念来等效于数学的无穷概念。例如：假定能给宇宙的所有粒子编号，则必定存在一个终极的最大数MAX，此时1就是终极最小数MIN。而在日常中我们规定单个常用单位1即D，则此时规定D=10e100,同理规定常用单位最大值为Z，且Z=10e10e10次方。因此我们认定D到Z的数值就是我们所有能适用到的数值，以外的都是非常用数值。由此还可以衍生出一个较大值JD，较大值是不定的，以JD=5为例，则日常所用的数值极限就是5位。也就是说0.9循环本质上严格等同于0.99999，即有5位个9，那么在a=0.99999的时候，10a必然等于9.9999，此时10a-a=9.00009,得a=1.00001，前后两个a数值不等就证明在本宇宙尺度内0.9循环不等于1。前后a之差0.00002就是10a-a减法带来的缩放效应，再除以2，可得在较大数JD=5的尺度下，较小数JX=0.00001.从这里大家可以得出其他推论结论：在最广大的尺度内，较小数JX必然等于MIN(较大数JD=MAX)；由于数位的关系，只要发生位数变化就必定带来缩放效应，则0.9循环不等于1,这个是本宇宙内的真理，跟人为建立的任何体系无关。所谓的相等其实就是错觉。

[@Michael2008]

事实上你并没有推翻现有的数学定义。因为KZbin现在运行良好，而KZbin就是建立在数学的基础上的。你还要继续努力哟！

[@鱼二-z5r]

@@Michael2008 我其实也不是真的推翻了数学体系，只不过是有人拿一个逻辑上的漏洞来证明0.9循环就等于1这个谬论罢了。只不过这个漏洞并没有什么意义，除了诡辩。

[@maxpruitt3653]

妈咪叔什么时候介绍下序列啊，最近研究ZC序列，感觉好难啊，还有什么伪随机序列啊，golden序列啊，什么的，好像很厉害的样子。。

[@Wind_of_Night]

在無限小的定義下，我們認定不存在，我覺得很有問題。 如同量子力學，微小到我們無法測量的地步，變成機率概念的存在形式。 還有無限小的尺度下，如果說不存在，那麼就無法從〝量子〞疊到〝宏觀〞。 其實之間的差距我也不知道如何定義。(量子與宏觀世界的連結)

[@CongSu]

数学不是物理，数学可以有物理上不可能存在的东西。比如有个问题是如果你往一个平面上投掷一个点大小的飞镖，让这个飞镖随机落在平面的一个点上，那么飞镖落在X点上的概率是多少？因为平面上有无穷多个点，所以答案是1除以无穷大，概率等于零。但是这个飞镖肯定是落在了某一个点上，同时这个飞镖落在这个点上的概率又是零，相互矛盾了，于是只能发明了一个”几乎从不“的概念。这就只能是个纯粹的数学问题，你可以脑洞出无穷多个奇奇怪怪的数学场景而不可能每一个都在现实物理里找到对应的实例。

[@座山雕-r4c]

夹逼法。。。😂😂😂

[@user-EasonLiu]

夹逼

[@张先生-m3r]

真的夹逼。

[@李宠-i7n]

我就知道评论里面肯定有人说这个 果然被我找到了

[@歐陽橘子]

我学的时候翻译是夹挤😂

[@user-rh3pf3dc9n]

@@歐陽橘子 我們學也教"夾擠"這詞

[@yifeipeng389]

原来如此！我一直就不能理解微积分的内容，现在再回来看终于解释了我对于无穷小的疑惑

[@shanexie1822]

连数字都不用表示，直接全靠字幕解释，的确是非常厉害的了。

[@許宇昌-b3o]

如果有辦法在0.999999...跟1之間找到一個無理數 就可以証明他倆不相等 反之則相等

[@yuhongsong2465]

我的理解是。。1/3根本不等于0.333的循环 只是找不到更合适的方法 强行用浮点数表示1/3而已 所以从这一步 就不合理。。。

[@chihchen131]

Yuhong Song 這樣就否定無窮小的存在 只是找不到這些數的最終答案 但到底該怎麼表示找不到的東西呢 只能用認知表示 然後出現一個「無窮小」詞彙代表這些未知數字 但這樣又打臉否定無窮小這件事 數學一直都是矛盾的綜合體。。

[@蓝涩记忆]

想法和我一致，最多勉强用≈0.333…

[@wubbalubbadubdub9733]

Yuhong Song 你們有聽過limit??

[@iam_noodles]

關於0.999循環=1的算法如下 (以下將0.999簡稱為0.999,方便閱讀) 設0.999=a, 則10a=9.999 10a-a=9a 此時9a=9 兩邊約分 a=1 將a以0.999帶入 則0.999=1 不知道有沒有幫到不了解的人

[@der5067]

國中數學

[@jianwenjiang100]

初看你的推理正确，细心一想，存在谬误，0.999无限循环这个数可以说存在，也可以说不存在。如果选择它不存在的这种情况，又何来去乘以10，因为它不存在，我们又如何设它为a? 因为这些推导存在了谬误，以这个谬误为基础继续往下推导，所以才会推出1=0.999无限循环。

[@wij6048]

循環小數(0.999...)爲無理數 以下命題P1,P2,P3證明循環小數爲無理數. 爲簡潔起見,循環小數以"0.333..."表示. [P1] 由長除法可有正確的等式: 1/3 = 0.333... + 非零餘數 長除法應爲基本的循環小數問題來源. 在長除法將有理數轉換成小數 產生循環小數的過程中, 餘數必不爲零,且重複, 否則 0.333...無法無限循環. 由上式可導出 1/3 ≠ 0.333... 即, p/q 與其產生的循環小數不相 等. [P2] 設區間 A=[0,1/3), B=[1/3,1]. (q=1/3可設爲任意實數) 首先 數的稠密性質要求此數"0.333..."必存在, 此數位於A區間的右端, 因此 0.333...∈A 爲真. 其它可能的狀況如 "0.333...∉A" or "0.333...=1/3 ∈B" 都會導致矛盾 因此 若設q爲有理數, 則q∈B, 循環小數(q)∈A. 兩者位於不同區間. [P3] 設 x∈ℝ, x>0, 及函數A: A(0)=0, A(n)=(A(n-1)+x)/2 當n遞增時, "A(n)< A(n+1) < x" 恆爲真,即使n爲無限大, 因爲數的稠密性質恆爲真. 稠密性質要求 A(n)與x間 總有ㄧ相異數存在. 當設x=1/3 (有理數), A(n)最終大概只能以0.333...表示. A(n)所表達的'趨近數',包含循環小數皆不等於x,即使n爲無限大. 註: sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/NumberView-zh.txt/download 含更多這些證明的基礎資料 註: groups.google.com/g/wyniijj/c/1uocOYmHk20 有同樣討論

[@蒋炜-h1y]

我一直在想个问题，两杯水一杯我烧开和室温的放在一起，一天， 2天，一个月，一年。。。。后还能不能检测出温差

[@weiryan5413]

能测出温差，又不能测出温差，测不准定理，叠加态。 0.999既等于1又不等于也是叠加态，数学自以为超越物理，最后又被物理锁住了。

[@allenma3469]

您这数学功底非常扎实佩服

[@zhenji1635]

非标准实数的无穷小是一个数学特性，各种特性的集合来描述出完整的实数全集。应该是这个意思吧。

[@好欸-i5x]

想了一個破解無窮小的想法1／3=0.333..差一個無窮小 式子乘以三 3／3=0.999999...也是差一個無窮小 但是乘法乘上倍率 差值也乘上倍率 設無窮小為X Xx3=X X不存在

[@leozhang4470]

太较真的数学家会不会被骂成抬杠呢

[@wujason3973]

不较真的话还是数学家吗。 连一丝一毫的不确定性都不能有。 就像黎曼猜想 至今没有被证明

[@sebrick5675]

你说对了，数学家的工作就是整天抬杠，不抬杠就不叫数学家了。如果世界上没有杠精，科学就不会发展。

[@leizhang203]

我们宇宙就是由于 0.999...=1 那一部份失落的质量 创造出来的

[@yagyu-onesword]

黑客帝國中的造物主也有類似的說法，不過他指的是Neo。

[@沈明德-f5i]

lei zhang 失落的部份是10進位裡最小的數0.000……1。小數點位數是無窮減1。最後一位值是10位數最小的非0數值1。這是10進位最小的數沒比他更小的，它加上0.9999……正好是1

[@jiangy7434]

如果0.3333...=1/3那么0.999...=1，我的直觉是这样的，觉得差了一点的人，应该觉得前面也差了一点吧，只不过1/3给了你无限补3的机会

[@蓝涩记忆]

我感觉就不能用等号1/3约约等于0.333…

[@thomastse6977]

@@蓝涩记忆 我在初中也有過這樣的問題,這是我老師時教我的方法,請指教哈。 設x =0.9999999... x* 10 = 9.9999999... 10x - x =9.99... - 0.99... 9x = 9 所以x = 1

[@user-en3nk8lj8v]

我覺得它兩是不太一樣的就跟分數和小數要做運算需要化為同樣的模式而1和0.9999...根本是不一樣的模式這要怎麼算就和跟號一樣如果跟號裡的數不一樣無法做加減是一樣的

[@mundobest9363]

突然之間有個疑問 1/3為什麼等於0.333... 1/3的定義應該是把1分成3等份 為什麼一開始人類把0.333...定義做1/3

[@beotsk4219]

因為分不盡呀

[@伟王-r8w]

谁说分不尽的，

[@user-qs3ih3ll5f]

1除以3不就除不盡嗎？

[@JOEMDMD]

9:21 那0.9循環跟它前面的數是不是也能相等，然後繼續向前推是不是變成0=1了

[@noodles372]

那首先要說明"向前推"的做法

[@JasonVinci]

这是数学表示方法的问题，如果使用9进制，1/3=0.3，两边乘3，1=0.9=1，10进制的无穷=9进制的有穷

[@JasonVinci]

也就是说1/3的3是超进制的3，而0.333...的3是10进制的3，同标不同意

[@平安-d5q]

想起那段学习数分的岁月。。

[@muchu1983]

無窮小就像是量子，有不確定性，同時存在又不存在，處於疊加態 XD

[@mikesunny1291]

想给十个赞，平时看视频懒得点赞，自己学CS的，对物理数学都感兴趣。真的知识很有魅力，狂看视频，狂点赞。叔，加油！

[@guocheng4602]

mike sunny 建议看李永乐老师的，干货很多，这个都没有理论证明，没有干货。

[@54088WWW]

講那麼多，卻沒給出正確指示，無窮大，無窮小，這個問題可以用很簡單且明確的方法來處理，就是分成 "計算中" 與"計算結果" 這兩部份來處理，例如，計算中，A= (無窮大/3) 與B=(無窮大/9) , A跟B 哪個大 ? 當A與B發生計算關係的時候，當然A比較大，但是如果你問結果，(無窮大/9)有多大 ? 很明顯，還是無窮大，"無窮大"這概念在計算中的時候，它可以用數線密度(density)來解釋，你想像一支尺，這支尺可以像孫悟空的金箍棒一樣自由伸縮，當尺伸縮的時候，尺上的刻度也跟著伸縮，但是刻度上的數字不變，那麼A跟B就像兩支金箍棒，分別伸到不同的長度，例如A伸到9 米長，B伸到3米長，所以A是B的3倍，

[@travelerlifedhw]

那在x实数轴上比实数A 0.999...小（自然也不等于1且比1小了）的最接近0.999...的一个实数B怎么表示呢？两者差多少呢？如果也和A与1一样之间找不到任何一个实数，无穷小量也没有，那是不是B也等于A且等于1么，那以此类推还有相邻的C、D、E...，他们之间都找不到任何实数的数，那他们都相等了，而他们又都是真实存在的独立一个个实数，一直推导下去不就能把任何实数推导出来么？那任何实数都相等了啊

[@GrandTA1]

我觉得可以这么解释，0.999...无限循环和1是否有差值，问题不是出在无穷小上，而是出在无限上。 如果你能给一个无限，那么可以说是相等的。如果你不能给一个无限，那么他们肯定不想等。 引申出一个问题： 一块蛋糕平均分给三个人。那么三个人在宇宙终结之前能不能分完蛋糕呢？ 也就是1是不是在有限的时间无法被三等分呢？

[@kinchungsham8914]

我不是什麼數學家，只是很奇怪為何這問題竟然能爭議多年。數綫上的每個點都是一個絕對值，而所謂的0.9999....跟本不是，這只是個狀況的形容詞，一個概念，並非一個真正數值，在數綫上跟本不存在，這如何能放進公式中運算呢？真的沒有人提出過這論點嗎？還是這個解釋已被否定？

[@b.y.3470]

看完这一期节目, 你就能理解为什么现在任何一个对科学有兴趣的P大的小P孩(绝对不是说妈咪叔)都能说起物理前沿知识(如引力波, 黑洞, 虫洞)头头是道, 但让他说清楚一个经典数学概念(如无穷小, 矩阵)就立马歇菜了. 原因太简单了: 数学相比任何其它科学都太抽象了, 普及它永远是那么吃力不讨好. 冲这点顶妈咪叔一下. 回到本期的问题, 只要你有本事看懂菲赫京哥尔茨微积分学教程的绪论(不长但不简单), 弄明白实数的两种经典构造之一(魏尔斯特拉斯分割)就够了, 然后其实你就能跳过三卷正文, 直接开始学实分析了. 😎

[@voicedouble_8238]

為什麼我們不是某方面的專家，因為我們被要求什麼方面都要會，沒有時間去鑽研自己喜歡培養的。

[@zmatu3643]

妈咪叔我有个问题。如果实数是稠密的，所有的实数都是相连的。而相邻的两个数又相等的话，岂不是所有的实数都相等了？

[@barofan]

差值不为无穷小就不相等咯

[@zmatu3643]

Jun Li 可这不是矛盾吗？ 第一个数和第二个数差了无限小，所以相等。 第二个数和第三个数差了无限小，所以也想等。 既然第一个数等于第二个数，第二个数由等于第三个数。 那第一个数和第三个数到底想不想等？ 如果想等，那所有的实数就都相等。 如果不想等，那就说明：a=b且b=c时、a可能不等于c。

[@MrJerry0813]

@@zmatu3643 能不能選一下字

[@太虛無盡]

@@zmatu3643 科學所有理論不等於真理，祂是人類用來方便描述、理解世界，與解決問題的工具，實數是虛構的概念，世界上找不到一個物質能對應實數，因為他是量，不是指稱，至於連續與否是定義問題，定義無法辨證，就像玩捉迷藏一樣，為何一定要有鬼、人，鬼抓到人就換人當鬼，這是無法辨證的，你認同就玩，不認同就不玩。

[@zmatu3643]

太虛無盡 可是你说的和我说的不是一回事啊？你这是偷换概念啊？ 一个数学体系是不允许矛盾的。你说这些能说明什么？

[@wweishi]

现实世界是量子的 实际并不存在此类数值 最朴素的人类思维也是量子的 一是一二是二 不理解很正常 这些无限循环或不循环的数 是比值也就是相互关系 自然是由人来定义如何表达 实数系统是相容而且完备的 不服从哥德尔不完备性定理 说明这个理想化的数学工具 与现实差距很大 名不符实 并不是实在的

[@jameschang3260]

1-0.9999⋯⋯=0.000⋯⋯， 後面那個一般人以為會出現的1， 事實上沒有機會出現， 因為0就寫不完了，所以1-0.9999⋯⋯=0。

[@zaupu]

我看到別樓寫的0.00...1我也想講這個 0.00000...當你以為他要出現1的時候！ 他還是會繼續000000.... 然後就這個時候你以為1要出現了 但是他還是繼續00000.... 就到了最後 1差不多該出現了 可他還是繼續000000.... 那個1是永遠不會出現的 因為他無窮

[@DevilJoker66]

用極限定義無窮小其實不算是「證明」，算是「公設」。

[@ln6004]

有些地方還是不太懂 可以稍微問一下為什麼2個數中間沒有任何其他數就代表2個數相等？ 這樣說可以比較好懂我的意思 假如我們現在只知道整數 不曉得分數小數那些 且也已經證明了整數和整數間一定沒有任何其他的數了 那麼在這種情況下 1和2之間也沒有其他數字 但不代表1就等於2吧 我就是這地方有點不懂這樣 希望有大佬可以幫忙解答下

[@yoyolin7062]

因該是先後順序的問題吧 是先有分數小樹的概念 才有之後2個數中間沒有任何其他數就代表2個數相等 順序不能搞反阿

[@ln6004]

不不不 我那只是想讓你們更好明白我的想法而已 我的問題是為什麼2數間沒有任何其他數就可以代表2數一樣

[@user-qs3ih3ll5f]

（雖然有點久了）問題應該出在“整數和整數中間沒有數”這個敘述本身就是錯的，不能被證明。但是任意兩個實數間一定還會有其他實數，因為實數完備性的關係（ex.給定兩實數a,b，這兩個數之間一定會存在一個數(a+b)/2）。所以如果兩個數之間沒有其他數就說明這兩個數相等（有錯可以糾正一下，我沒有修過高微）

[@慕夏雨]

简明扼要 懂了 赞。

[@白小兔-b6r]

其实，如果1=0.999循环，感觉会引起问题，如果这俩相等，那么还可以说： 0.999循环=0.999循环8 ，也就是0.999的循环最终尾数还是9，那么只要9循环不断，最后一位数是8，也应该相等吗？ 如果也相等，那么0.999循环8=0.999循环7，以此类推0.999循环7=0.999循环6，最终造成9=8, 8=7 ，7=6， 6=5 ，数学完全被颠覆，哈哈哈！

[@白小兔-b6r]

至于0.999循环，比1小多少，可以说，小0.000（循环）1，循环不一定加在最后一位啊。

[@df140]

加入蝴蝶效應思考就知道相不相等了，即便是實數。

[@q7917912004]

我記得高中時是這樣學的 S=0.99999999999..... 10S=9.9999999999...... 下式減上式→9S=9 ∴S=1

[@zxqin6374]

你好帥 大陆中国科大史济怀老师也是这么讲的

[@盛子扬-u6d]

这个证明方法是错的。因为它默认了S与10S小数点后面位数相等，也就是∞+1=∞，这又需要先默认一个无穷大的定义。用一个未证定理去证明另一个定理，是荒谬的。

[@林崇孝]

永遠少一位的算式

[@xingnairn0914]

序列是這樣吧?0.9+0.09+0.009.........

[@kaurin-tw]

你那個叫級數

[@xingnairn0914]

@@kaurin-tw 我是說0.9循環小數的序列

[@kaurin-tw]

@@xingnairn0914 對啊你哪個就叫級數阿

[@xingnairn0914]

@@kaurin-tw 嗯，我知道問題了

[@xingnairn0914]

@@kaurin-tw Sn=0.9+0.09+0.09....(0.9*（0.1^n）)

[@那個誰-y1j]

我認為0.999...循環它可以等於1, 但它不是1... 前者要看它的實用性來說, 後者是數學值... 我舉一個例子, 一隻手錶號稱百分之九十防水, 請問它防不防水?答案是不防水... 一隻手錶號稱99.%防水, 請問它防不防水? 答案是不防水... 一隻手錶號稱99.9%防水, 請問它防不防水?答案是不防水... 一隻手錶號稱99.99%防水, 請問它防不防水?答案是不防水... 我可以一直挑戰喔... 一隻手錶號稱99.999%防水, 請問它防不防水?答案是"防水"...因為使用十萬次, 只有一次不防水, 它就是算防水了, 你一隻手錶不可能用十萬次吧.... 也就是看你計算什麼東西要達到這個精確度, 沒有的話, 就在一定不可能發生的可能性的循環位數之前決定了它是否等於1... 品筫管制中有6σ 標準差之說, 也就是百萬中有3~4個問題產品, 那麼良率是多少? 99.996%, 等不等於100%?? 答案不是100%但等同100%... 最後一個語言邏輯, 1跟0.99999長的一樣嗎? 別騙自己了, 它就是不一樣...所以他們倆的問題出現在實用的意義...老師在說明時應注意這點, 不是全部說它等同, 要看情況...

[@那個誰-y1j]

@@epsilonover23 我也理解你, 不知所云...

[@那個誰-y1j]

epsilon over 2 換你不了解我了，我了解影片說的。

[@那個誰-y1j]

epsilon over 2 你說我哪裡不對？

[@那個誰-y1j]

epsilon over 2 所以你根本沒看懂我寫的嗎

[@那個誰-y1j]

epsilon over 2 我在舉例裡面已經講了我可以無限延伸

[@j550]

记得在初中数学课，学到了一种表示无限循环小数的方法，就是在循环部分的数字顶上加上个点，比如1.2323232323...就可以表示成1.23（23上各有一点）。我一个同学当时和我说最小的正数就可以用这种方法表示，并写作0.01（第二个0上加点）。尽管不知道这样表示是否合理，毕竟一般加点数字右侧不会出现不加点数字，但他的这个想法还是让我很惊叹，可谓神奇。那0.999...和1之间就差这个0.01（第二个0上加点）。

[@范荣-f4k]

不合理，不能这样写，这种构造做不出来，因为无限个0就没有终点，何来后面的1呢

[@肖朗-g6v]

學微積分的時候算過這道題…

[@Onio638]

用微積分的算法算 就 0.999…=1

[@tomhuang88888]

怎么老是和李永乐主题类似哈哈哈😄

[@yagyu-onesword]

同一個主題能多聽幾個不同的解說，有助於更深入了解問題的核心。例如：媽咪說帶入「超實數」的概念，對這個問題的理解就有更進一步詮釋的作用。

[@dumbow68]

其实世界看起来很复杂，但问题就是那么多，在新问题出现以前，大家能够从前人的思维宝库中汲取的就是非常有限的这些。即便是这么有限，但某些问题理解起来仍然是挺困难的，尤其是中国的环境下，很多事情不讲逻辑，造成大多数人的逻辑缺失。即使受过高等教育，但仍有很多人不具备数学的思维，科学的思维。所以有李永乐妈咪叔这种表达力极强的人做这种节目，只能嫌少不能嫌多。

[@摩托-s2p]

@@郭靖-v8x 李永乐老师的主题普适性更高，妈咪叔更适合受过高等教育的人

[@蒼之月日常]

為什麼不成插入東西就代表相等呢？是定義嗎 那我沒話說 假設排隊按照123排隊 在(排數) 下1跟2就不能插入其他東西了 因為沒有半個人 能說第一個人等於第二個人嗎？

[@jianwenjiang100]

插不入东西就代表两数无间隙相等，也是个谬误。插不入，是因为0.999无限循环，无限往1这个方向位移，它是个不定量，所以你无法插入。

[@蒼之月日常]

@@jianwenjiang100 我想問的意思是 不能插入憑什麼認定兩數為一樣

[@jackksc207]

@@蒼之月日常 因為實數可以用集合表示, 也就是戴德金分割. 你可以想像戴德金分割是把實數線從一個實數切開兩邊, 用切開的一段實數線集合定義了那個實數. "不能插入其他東西"的意思,就是在說你從0.9循環這個點切下去和從1這個點切下去, 所得到的實數線集合是一樣的, 證明你切的兩點都是同一點, 又因為實數是完備的, 所以0.9循環等於1.

[@jackksc207]

@@jianwenjiang100 0.9循環不是不定量.

[@chunxucui8997]

等等，我有个疑问。 如果不存在无穷小，也就意味着不存在任何“比X大，且小于任何实数的数”，也不存在任何“比X小，且大于任何实数的数”。对吧？ 同时，如果我们要是认定数轴表示出了所有的实数，那从结果来看，数轴上的每两个点之间应该是一个空窗啊。而且这个空窗既要存在实际意义又不是任何数才可以啊。 因为如果是没有空窗的，那么就变成了两个数之间没有任何数，结果这两个数就是一个数。但这个空窗又不能是一个数，因为如果是一个数的话，那么就会让空窗两边的实数被黏着在一起，整体成为一个数了。

[@jackksc207]

實數是連續的, 稠密的, 無窮小=0 數軸上有理數之間存在的空窗, 其實就是無理數

[@heedong2012]

不管听什么，都有新收获。。 原来实数是完备的了， 但是这是怎么被证明的呢，太神奇了。。

[@Monthlychore]

最后一段话是不是有点矛盾啊。视频通篇讲的是，实数体系是完备的，所以无穷小不存在，所以0.999跟1的差任意小，所以他们相等。然后最后一句话又说，我们要承认0.999等于1，因为这是实数体系的根基。

[@ethanchen2320]

這集的內容感覺跟歌德爾不完備定理的一些概念有些相關

[@林儿-w7g]

去买东西，商品价格一块，可只有0.999，你说老板会卖吗？

[@francescozhu6126]

你能掏出0,999无限循环肯定卖你

[@平安-d5q]

掏出支付宝给个0.9999999999，老板肯定不拦你

[@大師莊園]

然而他說的 不是0.999 是0.999無限循環

[@大師莊園]

所以你這個例子不成立

[@oa2131]

你是不知道什么叫无限小数吗？

[@shinyan2674]

x=0.999... （10x-x）/9=x=1

[@Diegoscomeback]

1/3 > 0.3, >0.33,>0.333,>0.333>,0.3333...所以1/3 *3=1>0.9,>0.99,>0.999,>0.9999...

[@yhtlxy]

无限表示法不能放到等式里

[@youngsir6211]

如果相等的话，那么极限里扣掉的那个点怎么说。。

[@jokercheng]

請教一下 8:53 - 9:18 說兩實數之間無其他實數則相等 假設 a b c d 四個實數之間相連, 並且之間無其他實數 則 a=b, b=c, c=d, 因此 a=b=c=d 如此類推, 不就變成整個實數列上所有數值都相等嗎? 是那一步理解錯了嗎?

[@zyu2820]

实数没有相连的概念，2个基本原则是: 1，任意两个不等的实数之间有无限个实数，这是实数的稠密性，2，如果2个实数之间没有其他实数，则这两个数相等，这是实数的连续性。第2个原则不是说实数是一个排一个排队的意思，因为这与第1个原则相悖，第2个原则意思是实数轴全是实数，没有别的数了。

[@jokercheng]

@@zyu2820 先謝謝你的解答, 可能是我表達不夠清晰, 像自然數 1 2 3 4 ...它們就是相連, 並且之間無法插入其他自然數 有理數 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 因為稠密性, 兩數之間必然能寫出無限個有理數, 實數則是把有理數之間的空隙用無理數填滿, 使之完備, 既然而已經 "填滿" 了, 那任何一個實數都應可找到一個與之相連的實數, 也許無法用一個簡單的數字來表示, 但應該還是能找到的吧? 假設 A 為 (1/2 + 1/4 + 1/8 + ......) A - [1 - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ......)] 稱之為 B B - [1 - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ......)] 稱之為 C 那麼 A B C 之間的值是相等嗎? 還是 A 與 B 和 B 與 C 之間還能寫出無限個實數? 你所說的原則2在我理解中更像是一個數值的不同寫法, 像 50%, 0.5, 1/2, 是英文翻譯的問題嗎?

[@zyu2820]

@@jokercheng 我明白你的意思，你是否想问，实数能否表示成等差数列集合，差值是最小实数单位，这样两个相邻实数不等却无法插入别的实数。这个性质跟稠密性相悖，不过我证明不了。

[@柘佴卅拉蒙特]

@@jokercheng 根据几何级数的性质可得A=1(错位相减法), B=1-(1-1)=1, C=1-(1-1)=1, 即A=B=C。另外，他说的性质2连续性不适用于自然数，比如1和2之间无其它自然数但1不等于2

[@mqhu2857]

@@jokercheng 简单而言，你的想法需要构造一个从自然数N到实数R形如f(1) = r1, f(2)=r2...的一一映射， 满足以下条件：1. 如果m

[@luoronnie1247]

妈咪叔，听你讲了葛立恒数，感受到了大数的奇妙。 在网上看见有人构造了这么一个大数： 有这么个数列： f(1)=2^2 f(2)=f(1)^f(1) f(n)=f(n-1)^f(n-1) 请问这个数列的第100项 f（100）和葛立恒数G（64）哪个大呢？和G(3)比呢？

[@kevinwang4344]

f(100)和G(1)比都等于0

[@luoronnie1247]

@@kevinwang4344 那g(1)是否能用f(n)表示出来？n=多少？

[@kevinwang4344]

luo ronnie f(n)小于2^2^2...这个指数塔的层数是2^n层。G(1)中指数塔层数已经不能用科学计数法表示了

[@kevinwang4344]

luo ronnie 这么说吧，G(1)等于3^3^3...,其中这个指数塔的层数的层数的层数...是3,其中共有7.63×10^12个层数。

[@柘佴卅拉蒙特]

@@kevinwang4344 f(100)层数为2^100=2^(4+96)=2^4x(2^4)^24=16x16^24>>7.63x10^12层，虽然后者的底为3>2, 但前者层数远大于后者，最终大小还不好判断吧

[@justinlee2514]

高阶无穷小 这概念真是有创意

[@noahnye9890]

0.9(无限)8 和0.9无限相比呢。以此类推。。。0.9(无限)7和0.9(无限)8相比，也都是在实数序列中找不到呀。。。

[@pottkerry9572]

必须有些不证自明的东西作为基础，才会有后面的一大堆推理。

[@leohu2011]

从不同的公理出发，得出不同的结论，而且都还自洽。如同非欧几何与欧氏几何的公理不同。个人认同0.999999不同于1。

[@jiaminzhu406]

怎麼定義完備呀？ 然後怎麼證明實數是完備的？

[@Q乙己]

實數就是有理數完備化得到的

[@funnyguy9591]

我把0.999...看做一个过程，这个过程的极限是1 如果把0.999...看成一个数，这个数就等于这个极限，那么这个数就是1

[@faico99]

建议配一些图片、图标、公式等等。。。不然真的没法看下去

[@丁家宝树]

一个人在那里干讲真的毫无吸引力，而且数学问题不用公式真的讲不下去

[@tongchunpong9049]

概念性問題如何寫公式？就像 美 醜 是否同一個面孔也能得出的結果

[@WeichenZong]

没错逻辑性不强的人很难去理解 不过看他视频的人逻辑性都应该还可以吧

[@faico99]

把“视频缺乏吸引力”理解成“看不懂”。。。是谁没逻辑了？

[@syou4880]

@@丁家宝树 老師也是一個樣

[@mapleleaf7537]

兄弟，北大、清华、中科大、人大，哪个学校毕业的？

[@Hi_howrudoin]

因为是先接受天文学 所以倾向于1。Planck length说小到某一个量无意义了。不从数学角度看0.99999....确实就是一

[@andywen7240]

和李永乐老师的视频 kzbin.info/www/bejne/qnjLiZt7mrF4sM0 一起服用效果更佳

[@正大光明-h2p]

你这个逼病了

[@zc2012]

妈咪叔讲的更有趣

[@yagyu-onesword]

同感！

[@eggeggnoddle]

李永樂老師講的比較像國高中課外讀物⋯⋯

[@柘佴卅拉蒙特]

希望多讲一点实分析啊啊啊啊啊

[@spacefreedom]

请教博主，这个问题一直困扰我，如果0.99循环=1, 那么无穷小就等于0？ 那么微积分就有问题，极限那套理论特意规避无穷小还有啥意义？ 我认为发展出极限的理论就说明无穷小不等于零，它小于任意一个正数，但就不等于零。类似的，0.99比小于1的数都大，但就不等于1。 戴的金分割逻辑上总觉得哪里不对，实数是稠密的，这两个数之间切不出别的数，那么就一定相等吗？ 也许0.99循环就这么nb，它就连续紧挨着1，你怎么也切不出它和1之间的数，这就是无限的魅力。

[@jackksc207]

無窮小在實數下就是等於0 柯西和魏爾施特拉斯已經先後迴避了無窮小在極限和微積分中的使用 戴德金分割邏輯上沒有不對, 如果兩個數之間切不出別的數而不相等, 那實數就不是稠密了

[@jklee5419]

无穷小不是一个数，它是一种趋势。而零是一个确定的数。所以两者不能划等号。

[@jklee5419]

开篇up主就讲了，0.9循环可以理解成为一个数列的极限。

[@spacefreedom]

@@jklee5419 0.9循环是极限，无穷小也可以是极限吧，而且极限是0。感觉规避问题并没解决问题。

[@jackksc207]

@@jklee5419 這樣說吧, 實數集的阿基米德性質說明實數不存在具有無窮大或無窮小性質的元素 那如果有人認為實數系統中1-0.9循環="無窮小"的話, 那這個"無窮小"就只能是0

[@chickenrice6606]

可能你覺得沒有差，但要記著，在太空航太測量上1等不等於0.999這件事情就會變得很重要，他甚至影響著幾光年後的軌道精確性，我個人認為實數系存在著很大的瑕疵，他不能表示無形或是難以言語的東西，這時候我們就會需要那些證明來解釋問題。

[@noncensen]

0.999 != 0.999循环

[@chickenrice6606]

@@noncensen 對啊，但是你在計算上不能計算循環符號

[@chickenrice6606]

@@epsilonover23 ……