16. Posição relativa entre Planos. | Geometria Analítica.

[@goldenshaka7516]

Agora sim ! Vc explicou bem tranquilo. Sem correr nas falas. Em outros videos a explicação é muito rápida, mas nesse ficou show de bola ! Parabéns !

[@MateusAlves12]

Aula perfeita, está me ajudando muito na universidade, valeu professor :)

[@LCMAquino]

Valeu! :)

[@ValdsonSilvaSantos]

se formou man?

[@dav1wm]

Estudo Matemática pela UFAM e sempre que preciso revisar algum assunto relativo ao conteúdo posso contar com tua ajuda através de suas aulas de boa qualidade. Parabéns!

[@cyroshelder2803]

Uma das melhores vídeo Aulas do KZbin, parabéns muito bom mesmo.

[@LCMAquino]

Valeu Cyros! :)

[@LCMAquino]

Obrigado pelos parabéns. Eu fico feliz que as videoaulas estejam lhe ajudando! :)

[@feliperodrigues6736]

Professor, suas aulas estão me ajudando MUITO na universidade, MUITO OBRIGADO!!!

[@LCMAquino]

Felipe, eu fico muito feliz em saber disso!

[@prof_allanIFBA]

Boa aula.

[@LCMAquino]

Fico feliz que as videoaulas de G. A. estejam lhe ajudando. Quanto ao Cálculo II, a minha ideia é iniciar esse curso após o término de G. A..

[@guilhermepacheco7337]

Professor parabéns pela sua iniciativa, o senhor está me ajudando muito, como eu queria o senhor como professor de G.A, seria sensacional!

[@LCMAquino]

Olá Guilherme, fico muito contente que minhas videoaulas estejam lhe ajudando. E fico lisonjeado por você querer que eu fosse seu professor. Se bem que já estou sendo um pouco, pelo menos virtualmente. ;)

[@LCMAquino]

De fato, eu procuro montar os conteúdos de cada videoaula de modo que essa limitação de tempo não seja prejudicial. Eu tento ser bem conciso na explicação, destacando o ponto principal de cada conteúdo.

[@LCMAquino]

Fico contente que tenha gostado. Quanto a falar mais pausado, eu gostaria de destacar que cada videoaula tem no máximo (propositalmente) 15 minutos. Por outro lado, uma aula presencial com os conteúdos abordados teria no mínimo 50 minutos. De certo em 15 minutos não podemos falar tão pausadamente quanto em 50. Mas como temos videoaulas, já que são *vídeos*, temos o total controle da *aula*. Podemos pausar, retroceder, avançar e repetir quantas vezes for preciso. Esses recursos são bem úteis!

[@LCMAquino]

Prezado Edinaldo, Aqui no KZbin, uma pessoa pode fazer uma lista de reprodução usando os vídeos de outra. Foi o caso desta lista que você está assistindo, que *não* é a lista completa e oficial do meu canal. O curso oficial de G. A. do meu canal já está completo e aborda todos os conteúdos tradicionais para esta disciplina (inclusive Distância, obviamente). Para acessar esta lista oficial, entre no endereço "youtube . com / LCMAquino" (obs.: remova os espaços em branco no endereço).

[@LCMAquino]

Fico feliz que tenha gostado das videoaulas. Eu espero que elas possam lhe ajudar.

[@romildo927]

Vai me ajudar bastante em meu TCC!!!! Valeu!!!!

[@LCMAquino]

Obrigado pelos parabéns. Quanto as duas perguntas, a resposta é sim. Experimente fazer deste outro jeito e analise o que vai acontecer com o resultado.

[@matematicowaldeirjunior8521]

Muito legal, isso me ensinou a dar uma cantada pra minha professora de matemática: "Se o meu normal é proporcional ao seu normal e temos algum ponto em comum, isso significa dizer que temos planos coincidentes!"

[@LCMAquino]

🤭

[@angelicaclaus]

Muito obrigada prof, seu vídeo tirou minha dúvida de como achar o vetor normal...com certeza eu teria quebrado muito a cabeça não fosse por você ^^

[@LCMAquino]

Fico feliz que as videoaulas possam lhe ajudar!

[@LCMAquino]

Obrigado. Fico contente que tenha gostado! :)

[@LCMAquino]

Sejam os planos concorrentes ax + by + cz + d = 0 e ex + fy + gz + h = 0 que possuem como interseção a reta r. O feixe de planos que contém a reta r é dado por ax + by + cz + d + k(ex + fy + gz + h) = 0, onde k é um número real qualquer. Você usará esse feixe quando precisar representar o conjunto de todos os planos que contém a reta r.

[@edsonluizdourado5866]

Obrigado por compartilhar.

[@Segundo02100]

Amigo, o assunto de Distância e o restante dos assuntos não é abordado nesse curso ? Você ainda irá postar ou estes vídeos estão em outra lista ? Desde já, muito grato pelo seu trabalho.

[@LCMAquino]

Sim, você está quase correto. Eu digo "quase" pois não esqueça que uma reta possui infinitos vetores diretores. Sendo assim, o correto seria dizer que *algum* vetor diretor da reta será "o resultado do produto vetorial entre as normais" e não dizer que *o* vetor diretor da reta será esse resultado. Obs.: Eu fico contente que as videoaulas estejam lhe ajudando!

[@osvaldobaptista4250]

Salvou demais!!!

[@LCMAquino]

Que legal Osvaldo Baptista!

[@larissadealencarsilva9292]

12:05 Professor, fiz o produto vetorial na ordem vetor AB X vetor diretor alfa, dessa forma meu vetor normal de pi ficou (0, 18, 4) e minha equação geral: 0x + 18y + 4z -48 = 0 --> 18y + 4z -48 = 0. Será que minha solução também está correta?

[@LCMAquino]

Oi Larissa, a sua solução está incorreta. Se você fizer AB × nα deve encontrar (-6, 12, -6). Reveja suas contas e comente aqui se encontrou o erro.

[@larissadealencarsilva9292]

@@LCMAquino Entendi o erro professor. Troquei a ordem dos vetores na multiplicação vetorial e acabei obtendo um vetor errado. Obrigada por responder!

[@lucasthiagodamasceno1549]

Professor parabéns pela aula. Notei que vc escolheu tempo 6:12 do vídeo, o ponto (1,2,3) como pertencente ao plano pi1. Pq vc escolheu especificamente esse ponto para poder verificar se existe ponto em comum com o plano pi2 e como eu posso saber que o ponto (1,2,3) pertence ao plano(pi1)????

[@LCMAquino]

Olá Lucas, eu escolhi esse ponto pois é bem fácil obtê-lo a partir da equação de π1. Note que basta escolher a e b iguais a 0.

[@nataliacenachi4657]

É, eu imaginava que era por isso. Mas isso não prejudica a aula não, fica mais dinâmico =)

[@petebest8682]

Professor, vamos que eu tenho dois planos que são concorrentes. Sei que a interseção desses planos é uma reta. Por que o resultado do pruduto vetorial de suas normais estará no vetor diretor da reta que é a interseção dos planos? Eu sei qual o sentido do produto vetorial mas não consigo visualizar isso... agradeço muito se vc puder me explicar.... muito grato!

[@eng.eletrica3859]

muito bom,parabens.

[@LCMAquino]

Obrigado. ;)

[@eduardosilva351]

Professor, antes de ver a resolução do item b, eu tentei fazer aqui chutando valores para o vetor normal de pi, para que o produto interno com o vetor normal do plano alfa fosse zero. Eu poderia fazer isso sem problemas não é?

[@LCMAquino]

Olá Eduardo Silva, mas se você fizer isso como vai garantir depois que o plano pi passa pelos pontos A e B? A menos que você acerte (e que baita chute seria!) um vetor normal de pi que fosse paralelo ao produto vetorial entre na ("n de alfa") e AB. Caso contrário, o plano pi que você encontraria poderia apenas passar por A, apenas por B ou por nenhum, mas não por A e B ao mesmo tempo.

[@tronicway1]

Professor, alguma chance de ter conteúdo de álgebra linear também? :D obrigada, tá me salvando :D

[@LCMAquino]

Olá +Stéfanni Brasil, sim, há chance! Está na minha fila de "cursos por fazer". :)

[@etocda]

Professor, no segundo exemplo achei a equação do plano com os sinais trocados, pois fiz o produto vetorial AB x n , assim encontrando -x+2y-z-3-0, o que não altera a equação do plano, pois atribuindo valores para x, y e z ainda assim encontrarei 0 tal como na equação encontrada por vc no exercício, correto?

[@LCMAquino]

Olá +Ewerton Lopes, sim, tanto não altera que você poderia simplesmente multiplicar por (-1) ambos os lados da equação que você encontrou e teria a equação exibida na videoaula.

[@etocda]

+LCMAquino Obrigado! (:

[@wesleyliberato]

Muito bom!

[@LCMAquino]

Valeu, Wesley! :)

[@victorsacramento1803]

Em 6:35 minutos, como foi que achou o valor de 'c' e 'd' ? entendi que houve a substituição do ponto do plano pi1 no plano pi2, mas não sei como resolver esse sistema. Podem me ajudar? Obrigado.

[@LCMAquino]

Olá Victor, note que temos um sistema com 3 equações e duas incógnitas (no caso, c e d). Para resolver esse sistema, siga os passos: (1) escolha 2 das 3 equações e separe do sistema. Por exemplo, vamos escolher 2 = 1 - 2c - 4d e 3 = 8 + 4c + 12d; (2) com as duas equações do passo (1) monte um sistema. Nesse caso, após arrumações ficaremos com 2c + 4d = -1 e 4c + 12d = -5; (3) resolva o sistema montado no passo (2). Nesse caso, vamos obter c = 1 e d = -3/4; (4) substitua os valores encontrados no passo (3) na equação que ficou de fora no passo (1). Se esta equação ficar verdadeira, então os valores encontrados são solução do sistema original. Caso contrário, o sistema original não tem solução. Nesse caso, note que substituindo c = 1 e d = -3/4 em 1 = 2 + 2c + 4d, obtemos 2 + 2(1) + 4(-3/4) = 2 + 2 - 3 = 1. Portanto, a equação ficou verdadeira.

[@victorsacramento1803]

muito obrigado! me ajudou bastante.

[@brunaluizabeloni6355]

nPi1xnPi3 resulta em um vetor diretor da reta r que intercepta os planos, correto? Se a reta r pertence a Pi3, posso afirmar que a reta r tem equações x=3t, y=0 e z=1/3 -3t. Logo, posso afirmar que os planos são perpendiculares e se interceptam nessa reta?

[@LCMAquino]

Olá Bruna, sim, o vetor v = np1×npi3 é um vetor diretor da reta r que é a interseção de pi1 e pi3. Como a reta r está contida no plano pi3 (ou obviamente no plano pi1, já que ela é a interseção dos planos), uma equação para r pode ser x = 3t, y = -3t, z = 1/3 + 4t (veja que sua equação tem um vetor diretor errado). Desse modo, como np1·npi3 = (1)(-2) + (1)(2) + (0)(3) = 0, os planos são perpendiculares e se interceptam nesta reta r.

[@petebest8682]

Professor... eu pensei um pouquinho e acho que sanei minha dúvida. Como a reta pertence aos dois planos, logo as normais dos planos será perpendicular ao vetor diretor da reta... como o vetor diretor é perpendicular as duas normais, logo ele é o resultado do produto vetorial entre as normais... Tô certo??? Sem as suas aulas eu estaria FUUUUUU... muito obrigado mesmo!

[@hiranmaximiliano7398]

Professor, por que no exemplo 2, na letra b você usou A=(1,3,2) ?

[@hiranmaximiliano7398]

Li novamente o enunciado. E obrigado pelas videoaulas, são ótimas !!!!

[@LCMAquino]

Olá Hiran, de nada. :)

[@thaisamorim5321]

Professor, o senhor poderia explicar como resolve esse sistema? 6:34

[@LCMAquino]

Há várias formas de fazer. Uma delas é começar multiplicando os membros da segunda equação por 2 e em seguida somar com os membros da terceira equação. Vejamos como fica: 4 = 2 - 4c - 8d 3 = 8 + 4c + 12d Somando os membros: 4 + 3 = (2 - 4c - 8d) + (8 + 4c + 12d) 7 = 10 + 4d -4d = 10 - 7 -4d = 3 d = -3/4 Agora que achamos d, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema para achar c. Por exemplo, substituindo na primeira equação do sistema: 1 = 2 + 2c + 4d 1 = 2 + 2c + 4(-3/4) 1 = 2 + 2c - 3 1 = -1 + 2c -2c = -1 - 1 -2c = -2 c = 1 Desse modo, obtemos c = 1 e d = -3/4. Você ficou com dúvida nessa resolução? Comente aqui!

[@joaovictorgomes3319]

Professor teria um erro no produto vetorial em 9:12? Lá está (-5,-1,3) e pelo meus cálculos o resultado do produto vetorial foi de (-5,1,3)

[@eduardolublanski8472]

Não entendi oq vc fez no Ex 2 (a). depois que vc descobriu o vetor normal ao plano pi, como criou a equação?

[@LCMAquino]

Olá Eduardo, se você tem que n = (a, b, c) é um vetor normal do plano e que P = (x0, y0, z0) é um ponto desse plano, então sua equação pode ser obtida por a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0. No caso do exemplo, temos (a, b, c) = (-5, -1, 3) e (x0, y0, z0) = (2, 0, -4).

[@LCMAquino]

Não há erro. Por favor, reveja suas contas.

[@danielferreira-zg5bj]

De onde surgiu -1/8?

[@LCMAquino]

Ele surgiu da comparação entre npi1 = (1, 1, 0) e npi2 = (-8, -8, 0). Veja que podemos escrever npi2 = (-8, -8, 0) = -8(1, 1, 0). Desse modo, temos npi2 = -8npi1. Ou seja, npi1 = (-1/8)npi2. Comente aqui se você ainda ficou com dúvida.

[@TheFlaviopira]

show de lindo

[@0010Bruno]

Professor,não to entendendo a equação paramétrica do plano. A importância dele é que ao invés dele me dar o normal do plano de direito, como é o caso da equação geral, ela me da dois vetores paralelos ao plano que me permite usar o produto vetorial e calcular o normal certo? Se eu substituir valores nos parâmetro eu acho ponto do planos? O que preciso saber de paramétrica do plano? Meu prof de gaal é uma bosta =/ Me ajuda

[@LCMAquino]

(1) "A importância dele é que ao invés dele me dar o normal do plano de direito, como é o caso da equação geral, ela me da dois vetores paralelos ao plano que me permite usar o produto vetorial e calcular o normal certo?". Resposta: Certo. (2) "Se eu substituir valores nos parâmetro eu acho ponto do planos?". Resposta: Sim. (3) "O que preciso saber de paramétrica do plano?". Resposta: basicamente isso que você perguntou em (1) e (2).

[@0010Bruno]

Obrigado, estou mais tranquilo agora em saber isso!

[@arthurdastapiocas]

esta certo

[@gagnoly]

nao entendi como npi1 * npi3 = 0 (13:18h)

[@LCMAquino]

Olá Eliete, note que npi1 = (1, 1, 0) e npi3 = (-2, 2, 3). Calculando o produto interno, teremos: npi1·npi3 = (1)*(-2) + (1)*(2) + (0)*(3) = -2 + 2 + 0= 0.

[@nataliacenachi4657]

Muito bom ! Só acho que você deveria falar um pouco mais pausado ..