17. Posição relativa entre Reta e Plano. | Geometria Analítica.

[@eduardosilva351]

Trabalho muito bem feito. Aulas muito boas! Parabéns!! :)

[@LCMAquino]

Valeu Eduardo Silva!

[@filipinho1394]

Muito bom... Valeu mesmo por montar esses vídeos de ótima qualidade, ajuda muito!

[@LCMAquino]

Atenção! Note que eu falei que "r1 e π1 são paralelos" e não que "dr1 e nπ1" são paralelos. Ou seja, a reta e o plano são paralelos, mas o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano não são. Por favor, veja novamente a explicação do roteiro que foi exibido na videoaula.

[@LCMAquino]

Sim, eu utilizo a classe Beamer no LaTeX. Inclusive, eu falei sobre isso no vídeo "Geometria Analítica - Apresentação do Curso".

[@edsonluizdourado5866]

Adorando as aulas, obrigado por compartilhar.

[@LCMAquino]

Olá Caroline, obrigado por sua sugestão. Mas acredito que neste caso foi apenas um mal entendido, pois o problema foi que você não conseguiu ouvir direito quando eu disse: "Eu deixo como exercício para você o cálculo desse determinante e o cálculo desse produto interno". Eu creio que se tivesse ficado claro que falei "produto interno", então facilmente você encontraria esta videoaula, já que o curso está organizado em uma lista de reprodução (e você pode acessá-la em youtube . com / LCMAquino).

[@LCMAquino]

Atenção! Note que eu falei que "r2 e π2 são perpendiculares" e não que "dr2 e nπ2" são perpendiculares. Ou seja, a reta e o plano são perpendiculares, mas o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano não são. Por favor, veja novamente a explicação do roteiro que foi exibido na videoaula.

[@mariaclarasantana2369]

Mt obrigada, finalmente consegui entender o conteúdo!!

[@LCMAquino]

Que ótimo!

[@LCMAquino]

Olá Caroline, primeiro eu recomendo que você revise o Roteiro que foi exibido na videoaula. Neste roteiro, vimos que se d*n = 0 (aqui o "*" representa o produto interno), então a reta e o plano são paralelos. Em outras palavras, você precisa calcular o produto interno entre d e n. Se este produto interno for igual a zero, então a reta e o plano são paralelos. Calculando então o produto interno (mas sem já igualar a zero como você fez), temos (1,-10,7)*(6,-5,-8) = 1*6 + (-10)*(-5) + 7*(-8) = 0.

[@ederaldo0]

Claro que eu estou gostando eu estava voando nesse assunto e você me salvou.

[@LCMAquino]

Caroline, para entender melhor esta parte da videoaula, seria interessante que você fizesse uma revisão sobre Sistema de Equações. No canal do meu parceiro Nerckie (no endereço "youtube . com / nerckie") você encontra videoaulas desse assunto. Basicamente, a ideia nesse caso é escolher duas equações entre as três (por exemplo, as duas primeiras) e resolver o sistema para encontrar a e b. Em seguida, substituir estes valores na terceira equação, verificando assim se eles a atendem.

[@ronaldobarionieluf8531]

Professor, voltei a essa aula, pois nas retas concorrentes há as oblíquas e as perpendiculares. Mas ha também o caso especial das reversas. A diferença é que, nas concorrentes, haverá o ponto de intersecção, o qual pode ser determinado fazendo-se o sistema entre a equação da reta e do plano, correto? Porém, quando for reversa, não haverá esse ponto de intersecção (e essa é a única diferença), mas como demonstrar que não há esse ponto? Pensei nisso, assistindo à aula 26 (ângulo entre reta e plano), quando fui demonstrar que a reta e o plano são concorrentes (mas não reversas)...

[@LCMAquino]

Olá Ronaldo, note que não existe reta "reversa" a um plano. Se a reta não tem interseção com o plano, então ela será paralela a este plano. Montando um sistema de equações usando as equações da reta e do plano, teremos três situações: (i) o sistema tem uma única solução (nesse caso, a reta e o plano serão concorrentes); (ii) o sistema tem infinitas soluções (nesse caso, a reta está contida no plano); (iii) o sistema não tem solução (nesse caso, a reta e o plano são paralelos).

[@ronaldobarionieluf8531]

entendi. Grato mais uma vez!

[@raphaelsalles4526]

no item (b) do exercicio porque que r tem que passar por esse ponto (-2,1,1)?

[@leticiagarciagoncalves8095]

Professor, no exemplo 2 (8:33) é pedido que r passe pelo ponto (3,1,4) e seja oblíqua a pi. Portanto, ser oblíqua ao plano pi significa que tem pelo menos um ponto de interseção, certo? Através dos dados, como eu faria para encontrar esse ponto de interseção entre a reta e o plano?

[@LCMAquino]

Olá Letícia, sim, como a reta deve ser oblíqua ao plano teremos um ponto de interseção entre eles. Aos 9:33 nós demos uma resposta possível para o Exemplo 2 a). No caso, a reta r de equações paramétricas x = 3 + t, y = 1 + t, z = 4 + t. Se você deseja determinar a interseção desta reta com o plano 2x - 5y + 7z + 2 = 0, basta seguir os passos: 1) substitua x, y e z na equação do plano por, respectivamente, 3 + t, 1 + t e 4 + t; 2) resolva a equação em t que você obteve no passo 1); 3) substitua o valor de t encontrado no passo 2) nas equações paramétricas da reta e você terá o ponto de interseção desejado.

[@leticiagarciagoncalves8095]

Muito obrigada, professor! Suas aulas estão me ajudando bastante. Parabéns pelo trabalho!

[@merckv4948]

professor, no instante 6:14 desse video o senhor fala que os vetores são paralelos pois o produtor interno foi zero. Os vetores não seriam ortogonais?

[@LCMAquino]

Sem problema!

[@LCMAquino]

No momento, o curso de G. A. ainda não chegou nas cônicas. O vídeo que você viu não é meu.

[@robsondaniel7635]

excelente aula muito boa

[@pedrobrito1749]

Muito bom, gostei.

[@vitoriav.650]

Olá, suas aula têm me ajudado bastante, mas estou com uma duvida; para definir se dois vetores possuem a mesma direção, deve-se encontrar k tal que (a,b)=k(c,d), mas como resolvo isso? Para mim não ficou claro, no exercicio 2, como chegou ao resultado k=1. agradeceria se pudesse me explicar o passo a passo de como fez. Muito obrigada!

[@LCMAquino]

Olá +vics vics, você pode resolver da seguinte forma: 1) monte a equação a = kc, de onde você obtém k = a/c (supondo c não nulo); 2) monte a equação b = kd, de onde você obtém k = b/d (supondo d não nulo); 3) compare os valores encontrados para k. Se eles forem iguais, então os vetores possuem a mesma direção. Caso contrário, não possuem. Exemplo: v = (1; 4) e u = (2; 6). Note que de (1; 4) = k(2; 6) obtemos 1 = 2k e 4 = 6k. Isolando k em cada equação, obtemos k = 1/2 e k = 2/3. Como esses valores são diferentes, temos que os vetores v e u não possuem a mesma direção.

[@vitoriav.650]

+LCMAquino Muito obrigada pela explicação ! Agora está mais claro.

[@merckv4948]

e também no momento 8:22 o senhor diz que os vetores são perpendiculares, não seriam paralelos?

[@AchillesBastosJunior]

Bom professor, já quebrei a cabeça com uma questão. Determine o valor de m e n para que a reta r: (x,y,z)= (n,2,0) + t(2,m,m) esteja contida no plano pi: x - 3y + z = 1. Vc saberia responder?

[@LCMAquino]

Olá Achilles, para tirar dúvidas sobre exercícios que estão fora das minhas videoaulas, por favor visite um fórum mais geral como o www.ajudamatematica.com. De qualquer modo, aqui vai uma dica: para r está contida em pi, deveremos ter (2, m, m)•(1, -3, 1) = 0 e n - 3(2) + 0 = 1.

[@AchillesBastosJunior]

LCMAquino obrigado, deu pra resolver aqui.

[@CyberneticEagle]

professor em 6:42, como descobriu os pontos 2, -1, -3?

[@LCMAquino]

Olá +RizukeGoldslein, precisamos escolher algum ponto da reta r1 (pode ser qualquer ponto!). No exercício foi dada a equação simétrica de r1, que é (x - 2)/1 = (y + 1)/(-10) = (z + 3)/7. Se escolhermos x = 2, a primeira parte da equação ficará igual a 0. Agora pense no seguinte: quais valores devemos escolher para y e z de modo que as outras partes também fiquem iguais a 0? Ora, precisamos escolher y = -1 e z = -3. Portanto, um ponto de r1 pode ser (2; -1; -3). Se você quisesse escolher outro ponto, bastava seguir o mesmo raciocínio. Por exemplo, se escolhermos x = 3, a primeira parte da equação ficará igual a 1. Agora quais valores devemos escolher para y e z de modo que as outras partes também fiquem iguais a 1? Seria y = -11 e z = 4. Ou seja, outro ponto de r1 pode ser (3; -11; 4). Eu espero que isso tenha ajudado. Se a dúvida continuar, por favor comente aqui.

[@CyberneticEagle]

+LCMAquino Muito obrigado pelo esclarecimento professor, vou aplicar esse novo conhecimento e refazer a questão

[@viktorjohannes1725]

vc teria ou conheceria algum tutorial nos mesmos moldes em outros conteúdos como cálculo ou física?

[@LCMAquino]

Para acessar meu curso de Cálculo, por favor entre na página do canal em kzbin.info. Quanto a Física, eu não criei videoaulas. Além disso, eu desconheço um material para Física nesses moldes.

[@rafaelbrasiliense7676]

professor, no último exercício minha resposta foi a seguinte: se r pertence a pi, então o vetor diretor de r é perpendicular ao vetor normal de pi, ou seja, o produto escalar entre eles é zero. Assim, um vetor diretor possível para r é (-1, 1, 1). Está correto? Posso fazer dessa forma?

[@LCMAquino]

Sim, você poderia seguir esse raciocínio para justificar que d = (-1, 1, 1) é um possível vetor diretor de r (lembrando que existem outras infinitas possibilidades). Agora basta você usar a informação que r passa pelo ponto (-2, 1, 1) e você pode montar uma equação para essa reta.

[@LCMAquino]

Ora, porque é solicitado assim no exercício! A ideia no exercício é exatamente que seja dada um exemplo de reta r que tenha duas características: (1) passa pelo ponto (-2, 1, 1); (2) pertence ao plano pi.

[@MateusAlves12]

Professor em que vídeo aula tem explicando sobre equações planar ?

[@LCMAquino]

Em nenhuma delas. Eu não abordei neste curso a equação da reta na forma planar.

[@samyblanco01]

Professor, boa noite, quando saberemos quantas possibilidades de escolha nós temos? No primeiro exemplo só escolhemos X, já no segundo exemplo letra B escolhemos x e y...

[@LCMAquino]

Olá Samantha, desculpe-me, mas eu não entendi sua dúvida. Poderia por favor explicar mais? Além disso, diga qual é o momento (minuto e segundo) da videoaula onde surgiu a dúvida.

[@primatalunar]

Professor não entendi pq o senhor escolheu o ponto (2,-1,-3) porque esse ponto pertence a reta r ? 6:54

[@LCMAquino]

Aos 6:40, você poderia escolher *qualquer ponto* da reta r1 para verificar se ele está no plano pi1. Como a equação da reta r1 é dada por (x - 2)/1 = (y + 1)/(-10) = (z + 3)/7, um ponto fácil de obter é (2; -1; -3) (ou seja, x = 2, y = -1 e z = -3). Note como esses valores deixam a equação da reta verdadeira: (2 - 2)/1 = (-1 + 1)/(-10) = (-3 + 3)/7 ==> 0/1 = 0/(-10) = 0/7 ==> 0 = 0 = 0. Apenas para dar outro exemplo, temos o ponto (3; -11; 4). Note como a equação também fica verdadeira: (3 - 2)/1 = (-11 + 1)/(-10) = (4 + 3)/7 ==> 1/1 = (-10)/(-10) = 7/7 ==> 1 = 1 = 1. Agora tente encontrar outros pontos.

[@robsondaniel7635]

+LCMAquino tb fiquei com a mesma duvida então fiz uma represntação grafica (desenho mesmo) então percebi que pode-se escolher aleatoriamente qualquer das duas coordenadas para se obter a terceira que esteja de acordo com a equação do plano

[@leticiadantas9079]

Muito bom, valeu mesmo! :]

[@dalvanirramos7791]

boa a aula

[@luigikempsonakiyamajapones5657]

Professor eu só queria saber como foi encontrado o -2 em: dr2=-2npi2? Abraço!!!

[@LCMAquino]

Foi encontrado através da observação de que pegando a primeira coordenada de dr2 e dividindo pela primeira coordenada de npi2 vamos obter -2. Em seguida, observa-se que se multiplicarmos cada uma das coordenadas de npi2 por -2 vamos obter as coordenadas de dr2.

[@luigikempsonakiyamajapones5657]

@@LCMAquino Professor, muito obrigado pela explicação e por ter tirado tempo p responder!!! Forte abraço!!!

[@pauloruaskate321]

melhor video

[@LCMAquino]

Valeu Paulo! :)

[@TheFlaviopira]

Showq

[@vitoriav.650]

me desculpe, essa questão é do vídeo anterior !

[@LCMAquino]

Olá Caroline, obrigado por sua sugestão. Mas acredito que neste caso foi apenas um mal entendido, pois você não conseguiu ouvir direito quando eu disse: "Eu deixo como exercício para você o cálculo desse determinante e o cálculo desse produto interno". Eu creio que se tivesse ficado claro que falei "produto interno", então facilmente você encontraria esta videoaula, já que o curso está organizado em uma lista de reprodução (e você pode acessá-la em "youtube . com / LCMAquino").