#207

Доказываем теорему об окружности 9 точек двумя способами! Лемма о трезубце, внешняя лемма о трезубце, ортоцентрический треугольник, прямая Эйлера - все эти факты, переплетаясь, позволяют увидеть настоящую красоту школьной геометрии!
Мои курсы: market-135395111
VK: wildmathing
Задачник: topic-135395111_35874038
Донат: www.donationalerts.ru/r/wildma...
0:00 - Окружность девяти точек
6:34 - Лемма о трезубце
10:06 - Внешняя лемма о трезубце
14:42 - Ортотреугольник
17:10 - Окружность девяти точек (второе доказательство)
19:48 - Прямая Эйлера
UPD. В момент 17:58 должно быть «на биссектрисе угла HbHaE». Спасибо Дмитрию Ушакову, что обратил на это внимание!
НЕВЕРОЯТНО красивые теоремы элементарной геометрии, которые мы здесь доказали.
1. Теорема об окружности 9 точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности.
2. Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Обобщенная лемма о трезубце.. В треугольнике ABC точка I - центр вписанной окружности, точка Ib - центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, отрезок IIb пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L, тогда отрезки LA, LC, LI, LIb равны.
3. Внешняя лемма о трезубце. Докажите, что точка пересечения биссектрисы внешнего угла B треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек A, C, Ia, Ic, где Ia и Ic - центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающиеся сторон BC и AB соответственно.
4. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
5. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
6. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой.
При этом мы опирались на стандартные факты школьного курса
7. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник - параллелограмм.
8. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
9. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
10. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
11. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
12. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
13. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
14. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
15. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
16. Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,вписанной в треугольник.
17. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
18. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
19. Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
20. Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность.
21. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла
22. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°
23. Центр описанной окружности многоугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
24. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.
25. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны, то его можно вписать в окружность.
Доказательство 25-го факта. Предположим обратное: выпуклый четырехугольник ABCD имеет равные углы ABD и ACD, но при этом не является вписанным. Опишем окружность около треугольника ABD. 1 случай. Точка C оказалась внутри окружности. Продлим луч DC (за точку C) до пересечения с окружностью, и точку пересечения назовем C'. Тогда ∠ABD=∠AC'D как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, но в то же время ∠ABD=∠ACD по дано. А это противоречие: ведь из равенства ∠ACD=∠AC'D прямые AC' и AC совпадают, то есть C=C'. 2 случай, когда точка C лежит вне окружности - аналогичен.
ДРУГИЕ РОЛИКИ с крутыми рисунками и построениями:
1. Математика мироздания (feat. Борис Трушин): • #205. Формула Эйлера д...
2. 10-часовое занятие по стереометрии: • 10-часовое ЗАНЯТИЕ по ...
3. Прокачиваем стереометрию: • #153. ПРОКАЧАЙ СТЕРЕОМ...
#Математика #Геометрия #Научпоп

[@WildMathing]

Друзья, как вам видео в новом формате? Стоит ли делать продолжение? Если да, напишите, какие теоремы вы хотели бы увидеть, напишите, что можно улучшить в ролике и как вам оформление и содержание в целом. Дайте конструктивную критику и выразите ваше мнение! Было ли что-нибудь непонятно? А было ли что-нибудь понятно? Смело задавайте вопросы - я подскажу! Призываю всех-всех нажать лайк/дизлайк, поделитесь роликом со всеми любителями (и нелюбителями) геометрии, олимпиадниками, учителями математики. Надеюсь, вы посмотрели сей добрый урок до конца: ведь теоремы были выбраны не случайно, поражает в первую очередь именно их переплетение. Спасибо вам! 0:11 - окружность девяти точек 6:34 - лемма о трезубце 10:06 - внешняя лемма о трезубце 14:42 - ортотреугольник 17:10 - окружность девяти точек (второе доказательство) 19:48 - прямая Эйлера

[@K0sinus]

Хотелось бы видеть содержание в начале и таймтеги в описании.

[@user-wi4vs6xc3z]

Wild Mathing верни тот чёрный фон

[@nargan1129]

*Как продвинуть ролик:* *В первые 3 часа, после выхода ролика:* *Смотреть ролик до конца* *Лайк (или дизлайк, помойму вообще нет разницы)* *Написать 2 комментария, каждый из них длиннее 3-ёх слов* *Подписка* *(Ну и репост там можно...)*

[@WildMathing]

​@@K0sinus, принято! Тайминг добавил в закрепленный комментарий. А в описании собрал два десятка фактов, которые служат опорой для этого видео. В начале ролика в некотором смысле отражено содержание, но, уверен, тайминг вполне заменяет явные слова.

[@WildMathing]

@@user-wi4vs6xc3z, какой именно?

[@zakhproxxy]

Какая динамика! Режиссура! А эти мурашки от сюжетного поворота в конце! Жаль, что этот фильм вышел уже после номинации на оскар

[@WastedPotential666]

"В треугольнике Али есть ба ба" - это шедевр) Upd: По-моему, на данный момент это самый красивый, да и в принципе лучший ролик на канале

[@pavelpavel3773]

Да? А мне кажется, что юбилейный выпуск про смысл математики выше всех прочих на голову. Это будто какой-то отдельный вид искусства, что-то заходящее за рамки просто образовательных видео

[@still_waiting_]

@@pavelpavel3773 , согласен

[@user-nq7qk6ds3u]

@@pavelpavel3773 ролик про смысл математики - "попса" для гуманитариев. Сравнивать их просто некорректно.

[@pavelpavel3773]

Стефан Орловский Спасибо, что из всех трёх комментаторов Вы выбрали именно меня для своего замечания). Не знаю, какой Вы там критерий сравнимости установили для роликов и как провели ранжирование по «попсовости», но я с этим всем не согласный)

[@ovoxo6946]

Гуманитарии, увидев такую божественную геометрию, предпочли остаться атеистами.

[@user-bq1vr3fp7q]

Гуманитарии вышли из чата

[@pleodan]

Неплохая шутка.

[@sergejmulaev2548]

То не гуманитарии, то тупицы. Любой истинный гуманитарий должен уметь оценить красоту геометрии, ведь любая красота влияет на людей и меняет их, а значит имеет для гуманитариев значение.

[@user-br4bi2og8l]

математика - это не ислам

[@vorobey_toha4776]

Очевидно? Нефига не очевидно,пока сам не потратишь 6 часов на доказательства . Однозначно пересмотрю ещё не один раз... Спасибо, блин, за бесонную ночь🙂👍

[@WildMathing]

Спасибо за интерес!

[@ittosaii]

Вот идейка. Также есть очень интересные окружности восьми точек, которые на Вики не доказываются, и оттуда идёт очень интересная задача: в ортодиагольном четырехугольнике (выпуклый с перпендикулярными диагоналями), если провести к каждой стороне перпендикуляр через точку пересечения диагоналей, то точки отложенные на этими перпендикулярами на противоположных сторонах образуют прямоугольник. И тут как раз оказывается чудесным образом, что и основания перпендикуляров и эти вершины прямоугольника лежат на одной окружности(как раз восьми точек). Формат однозарядно очень классный, прям груз с плеч после тяжёлого дня. Спасибо Вам.

[@WildMathing]

Спасибо за обратную связь и пожелания!

[@TrishkaBum]

Вот вы стараетесь над монтажом))

[@animaaad]

Ты серьезно смотришь его? Я думал ты так, 1 раз по приколу, лол.

[@user-cu4hx7yf2y]

Я вами восхищаюсь! Такие люди, как вы, позволяют людям из регионов прикоснуться к настоящим науке и образованию! В душе лелею мечту, что-когда нибудь автор сего замечательного канала отважится на видео о многомерных пространствах (потому как тема для нормальных 3х- мерных людей неестественная и непонятная). Ну а пока обещаю разобраться во всех геометрических выкладках из сегодняшнего шедевра.

[@pleodan]

Согласен

[@aristotle1337]

Видео, естественно, хорошее, но оно явно для тех, кто уже во всём разобрался и может наслаждаться просмотром. Никаким образом не упрекаю, просто оставил комментарий

[@bb_Jam]

Загляните на канал Павла Шестопалова kzbin.info/www/bejne/d3WqnqGvrJ5jqZo

[@WildMathing]

До четырехмерной геометрии (как минимум) обязательно доберемся!

[@WildMathing]

@@aristotle1337, вовсе нет. Просто сначала нужно заглянуть в описание: там четко указал два десятка фактов, которые нужно знать (желательно с доказательством), чтобы хорошо воспринимать этот ролик. Продумал как следует вопросы и доп.задачи, которые помогут разобраться в материале: было бы желание. Притом все доказательства дал в рамках 8 класса самой обычной школы, без использования гомотетии.

[@JuraSheingart]

Чтобы сделать 100к нужно не только как ты рассказывать, но и рисовать )

[@Howidog]

Самый лучший ролик за последние 1000 лет

[@WildMathing]

Ух! Рад, что понравилось!

[@vaultboy779]

боже, как же это круто

[@user-bl4sc2my1x]

Браво, никак иначе. Видно, что видео сделано с недюжинной усидчивостью, старанием и полным пониманием, где что должно быть. Вот это, по по моему мнению, и есть самая настоящая научно-популярная деятельность.

[@WildMathing]

Спасибо, что посмотрел и оценил!

[@user-iv9zr6xw4r]

Божественный видос!

[@user-uk7xi5tp8c]

Вот он, качественный контент!

[@andreyvyazovtsev2973]

Очень годное видео, надеюсь, что ютуб его будет рекомендовать

[@alien13th61]

Спасибо большое! Новый формат очень хороший, мне нравится!

[@user-re7je3nj4w]

Почему так годно?! Спасибо!

[@kuchma19]

Подготовка к сессии может и подождать ради такого крутого видоса.

[@user-xc5bh3hx3h]

Действительно божественный ролик о божественной геометрии! Жду продолжения!

[@user-iv9zr6xw4r]

Лучший подарок на мое завтрашнее День Рождения!

[@rashvel7085]

Ооочень крутое видео, несколько раз пересматривал некоторые моменты

[@user-eg2zu4ut5h]

Круто, надеюсь будет продолжение)

[@WildMathing]

Думаю, будет!

[@andreyvyazovtsev2973]

Оооо да, wild снова вошёл в режим)))

[@WildMathing]

По-моему, праздники - это лучшее время для любимой работы!

[@user-dy9il5qw3n]

Как всегда на высоте!

[@WildMathing]

Спасибо!

[@valterscot9206]

Опоздал с апом статистики, но как видео по геометрии, однозначно самое лучшее. Спасибо

[@WildMathing]

Поделиться своим мнением никогда не поздно, так что благодарю!

[@Topa_qw]

Спасибо за новое видео

[@glebins]

Это просто шедеврально. Спасибо за такие старания! Вот такой контент заслуживает трендов!

[@user-tb5gj7si8s]

Думаю, что еще не один раз буду пересматривать это видео. Спасибо большое!

[@user-tu9np5mg2b]

Гениально как всегда!)))

[@user-th1om4td7p]

Божественно💪

[@user-gg1sg1uf4b]

Восхищаюсь и пишу комментарий чтобы вытащить видео в топ

[@WildMathing]

Спасибо!

[@fakerhythm]

Это просто шикарно. Лучший контент на ютубе, спасибо вам большое!

[@rdrukh8948]

Отличный ролик. Крайне понравилось внимание к деталям на чертежах, очень достойный уровень.

[@WildMathing]

Приятно слышать!

[@still_waiting_]

Спасибо за видео, мне очень нравится монтаж, видно что вложено много труда

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@user-dq2mt3zy6b]

Спасибо за отснятый материал, получилось великолепно

[@WildMathing]

Спасибо за добрый комментарий!

[@user-fk5iq3xt4m]

Ура! Новое видео😍 Сейчас будем решать)

[@dmitry149]

Отличное видео и очень красивое. Спасибо за старания!

[@WildMathing]

Спасибо за добрый комментарий!

[@BadDrama]

Самое крутое видео по геометрии, которое я только видел! Очень красиво.

[@JuraSheingart]

Beksultan Kurmanbek аж всплакнул

[@rynkevichdaniil6333]

Как раз в школе эту тему проходим. Спасибо за видео, так стало всё понятней :)

[@Live-up8vs]

Классное видео, хороший автор

[@WildMathing]

Замечательные зрители!

[@pleodan]

Ага

[@fragilebones967]

Лучший

[@froniaise3515]

Очень классный контент! Я - человек далёкий от геометрии, смотрел этот ролик на одном дыхании от начала и до конца. Продолжай в том же духе! Очень интересно!

[@WildMathing]

Рад, что понравилось!

[@user-bq1vr3fp7q]

Шикарно, как раз недавно окружность Эйлера проходили. Браво!

[@user-vw4xy8qs4i]

Это новый уровень контента.

[@chesskot380]

Очень классное видео!

[@howtorng]

божественный ролик

[@user-re7je3nj4w]

Очень полезный ролик, спасибо!

[@WildMathing]

Спасибо и вам!

[@f1rew0rk14]

Очень полезный ролик для олимпиад, спасибо!

[@user-dq6iw4sm4k]

Такое должно быть увидено как можно большим количеством людей

[@f1rew0rk14]

Ждем ролик с сочной задачей про инверсию!

[@negin1812]

Согласен! Пора уже внедрять задачи на поворотную гомотетию и инверсию!

[@pavelpavel3773]

+! Как говорится, тема гомотетии и преобразований плоскости не раскрыта

[@user-xx2yq6jf8b]

Спасибо за видео!!!

[@sweatyhands9830]

Спасибо! Как всегда на высоте

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@notorious9568]

это самая красивая иллюстрация задачи по геометрии, что я когда либо видел

[@WildMathing]

Все для вас!

[@ifcodev2267]

Очень качественный видос, поднимем статистику!

[@Sergey-or8rp]

Очень информативно, однозначно буду пересматривать!

[@WildMathing]

Рад, что понравилось!

[@anatolyklepikov4544]

Слишком качественный контент

[@sanpavlovich9726]

Wild Mathing, поздравляю с отличным перфомансом в форд боярде!

[@Kharlamka]

Здравствуйте, мне понравилось перемещение прямых и изменение фигур. Объясняешь довольно хорошо. Канал у тебя самый лучший по моему мнению про математику

[@WildMathing]

День добрый! Спасибо!

[@user-fk5iq3xt4m]

Всё это так красиво, похоже на звёздное небо✨

[@ilyakosmos4375]

Это просто праздник какой-то!))

[@WildMathing]

Все для вас!

[@GENprokurorful]

Видео отличного качества)

[@WildMathing]

Какой зритель - такое качество!

[@zoom__mooz2119]

👍👍👍👍Супер,спасибо за твои старания

[@WildMathing]

Вам спасибо!

[@fia3384]

Ролик потрясающе красивый, голос потрясающе красивый, мало что понятно, но это проблемы меня самой) Спасибо большое за ваши старания!

[@fia3384]

И музыка тоже очень красивая)

[@WildMathing]

Спасибо за обратную связь!

[@user-ml1uu5js4r]

Крутое видео)

[@SirLotal]

Спасибо за такое старание и продвижение математики чуть более сложного уровня в массы! Просто 23 минуты наслаждения для глаз и ушей. На некоторые старые для меня теоремы взглянул под другим углом! Желаю вам делать побольше таких видео (особенно по геометрии)! Успехов!

[@pleodan]

Согласен

[@WildMathing]

Спасибо за интерес! Спасибо за добрые слова!

[@user-vy8mq2fh6j]

Это. Просто. Шедеврально.

[@sergejmulaev2548]

Я учусь в гуманитарном ВУЗе и жажду математики. Ваш канал для меня - источник чистой воды в пустыне. Спасибо за ваш труд!

[@FORWARD_shorts]

как сказка на ночь✨

[@seeemee8279]

Красивые доказательства,больше геометрия!

[@anlevv]

Отличное видео. Спасибо!

[@WildMathing]

Вам спасибо!

[@User_288_]

Лайк поставил, коментарий написал, ссылку отправил, колокольчик поставил)

[@WildMathing]

Большое спасибо!

[@maths.for.homies]

Божественна геометрія)

[@yegor2323]

Ждём ролик с гомотетией)

[@jonik_s526]

Спасибо за новое видео! Мы вас любим🤗

[@WildMathing]

Спасибо и вам! Наши чувства взаимны!

[@neutraln9250]

Интересное доказательство, спасибо большое

[@WildMathing]

Вам спасибо!

[@whereismyw1fe]

Спасибо за видео.

[@user-rw5ey2ge2e]

Действительно, божественная

[@Serge_ozer]

Круто-немного сложно-интересно-познавательно.спксибо за контент! В тренды бы....

[@WildMathing]

Спасибо за добрый комментарий!

[@Shendr1k]

Это шедевр) Успехов тебе, геома топ

[@user-kr3ik6ms2s]

Лайк, коммент, поддержка) Прекрасное видео!

[@WildMathing]

Спасибо!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за обоснованное доказательство малоизвестных геометрических утверждений.

[@raffinad]

Относительно известная леммочка

[@user-rw8ew6ql5g]

Красотаааа!

[@user-gn8qy8mu8f]

Классное видео. И свойства красивые

[@dgurov]

Восхитительно

[@user-ez1ik1mb6m]

Спасибо за ваше огромное старание!

[@WildMathing]

Все для вас, друзья!

[@user-om4mx4hs1z]

Это просто нечто. Сколько времени затрачено на эту поразительную работу.Это действительно новый уровень качества. Я рад,что есть люди,которые видят красоту в планиметрии и делятся этой красотой с другими.

[@user-om4mx4hs1z]

Единственное замечание : красный цвет немного плохо видно на чёрном фоне.Может,конечно ,это специфика моего телефона.

[@WildMathing]

Спасибо за обратную связь! Пожелания насчет красного цвета учту: постараюсь в следующий раз заранее потестировать видео на телефоне!

[@user-uf4ys7vl2w]

Мне 46,сыну 12.Смотрим с телефона, поделившись наушниками. Сидим оба, как под гипнозом! Как же вы это всё красиво преподносите!Как же геометрия прекрасна! У меня такие эмоции только тогда, когда я слушаю шедевры классической музыки. Спасибо вам и вашим помощникам!

[@WildMathing]

Большое спасибо за добрые слова! Очень приятно!

[@user-wz3qp5cp7p]

Отличное видео! Спасибо вам

[@WildMathing]

Вам спасибо!

[@user-wk7ub1rv9w]

Это очень полезная информации. Очень, очень

[@user-wi4vs6xc3z]

Тун, тун, тун-тун-тун, тун тун.

[@cockney476]

Блин, я как фанат Никки Минаж, пропел эту фразу песней Chun Li🤡🤡🤡🤡

[@nastya_l2953]

спасибо за работу

[@WildMathing]

Вам спасибо, что смотрите!

[@user-wk7ub1rv9w]

Шедевр

[@user-sc3vn3sl6p]

Красава! ❤ Так держать!👍

[@shed5565]

Спасибо за видео! Лайк)

[@WildMathing]

Спасибо за комментарий!

[@user-pd4zk5kw6y]

Все очень понравилось! С нетерпением жду продолжения :)

[@angryman7844]

Спасибо за ваш труд и неравнодушние, все очень понятно и доступно Благодаря этому видео узнал о фактах, которые давненько хотел изучить

[@WildMathing]

Большое спасибо, что смотрите, что делитесь такими добрыми эмоциями в комментариях!

[@user-zy8yx6ur2x]

Здорово, спасибо за видео. Анимация очень качественная! 4к комп не прогрузил)))

[@WildMathing]

Спасибо за фидбек!

[@adilfromearth129]

Отличное видео, однозначно стоит сделать продолжение! Я в своём познании настолько преисполнился! Прямые только бы пожирней, а то с 360p не разобрать. Надеюсь в следующем выпуске увидеть 4мерную геометрию. Спасибо!

[@antonoreshkin]

Очень красиво

[@xrilicc1154]

Божественная геометрия

[@user-ij1lb3np1x]

Классно. И было здорово если были бы разборы методами вышмата(с помощью гомотетий, аффиных преобразований)