5 exos de FOLIE sur les racines n-ièmes complexes

[@CassouMathPrepa]

⚠⚠ERRATUM ⚠⚠ 1/ Double coquille d'énoncé sur le résultat de l'exo3 quesiton 2) : le produit des sinus vaut n/(2^{n-1}) (tout va bien dans la solution) 2/ Erreur stupide sur l'exo 4 : apparition du "i" au dénominateur à 49:47 Au final on trouve que le produit des tangentes vaut (-1)^{n-1}/2 (merci à Maxence qui veille ! et désolé pour la bourde)

[@NUCLEICUS]

Je ne pense pas que l'intelligence artificielle pourra produire une telle explication comme la votre. Il y a une grande difference entre TRANSMETTRE et accompagner. Chapeau bas !

[@CassouMathPrepa]

Merci ! 🙏

[@myriamelmouchnino4882]

Top vos vidéos !!merci beaucoup ❤

[@CassouMathPrepa]

@@myriamelmouchnino4882 👍🙏

[@UnNimois]

Un chapitre de plus en plus mal aimé, puisse le visionnage de tes vidéos réconcillier les élèves avec toutes ces jolies notions ! ❤

[@CassouMathPrepa]

Merci !

[@m9l0m6nmelkior7]

Je trouve que t’exprimes pas mal de doutes par rapport à ta chaîne youtube à travers la vidéo, sache que je bois toutes les vidéos que tu fais et que les exos me semblent toujours super intéressants, avec une correction qui m’aide à me familiariser avec des outils que j’ai souvent pas encore alors que je suis en 5/2 ! Les exos de topologie ou bien les involutions de R sont des sujets super intéressants, il y aura un public pour ! Merci beaucoup de prendre le temps de faire toutes ces vidéos, elles sont vraiment utiles, ta chaîne est une des seules qui me motive vraiment à regarder les vidéos papier à la main pour griffonner et essayer en même temps 😊 Bref, merci beaucoup et bon courage !

[@CassouMathPrepa]

@@m9l0m6nmelkior7 punaise merci Melkior. 🙏 Ce commentaire me va droit au cœur. 😄 C'est super d'avoir de bons retours. Ça motive. Ces vidéo me prennent bcp de temps, mais en fait j'aime bien les faire. Je maffine sur les oraux de concours et j'apprends pas mal de choses dans vos commentaires ! J'essaie d'être en video comme en cours. Y compris pour les coquilles 🤣... Meilleurs encouragements pour ton année de 5/2. Fonce ! 💪

[@m9l0m6nmelkior7]

@ merci beaucoup !! 😊

[@bertrandbrodeau2372]

Vraiment, pas mal de choses intéressantes, dans cet exo, qui sont devant nos yeux.

[@lyrian9263]

Super boulot comme d'hab, merci !

[@guillaumehuguet3243]

Pour le dernier exercice, super sympa et élégant le coup de la dérivée logarithmique. Heureusement qu'il existe une brave méthode calculatoire pour s'en sortir sans cette astuce. A propos de cette dernière méthode, on peut démontrer assez facilement que le terme (*) est nul a condition de faire une disjonction de cas: * si n est pair, le terme k = n/2 de la somme donne une contribution nulle cos(n/2*π/n)=cos(π/2) = 0 et il reste un nombre pair de terme que l'on peut grouper par paire cos(k*π/n)/sin(k*π/n)+cos((n-k)*π/n)/sin((n-k)*π/n) soit cos(k*π/n)/sin(k*π/n)+cos(π-k*π/n)/sin(π-k*π/n). Avec cos(π-x)=-cos(x) et sin(π-x)=sin(x) on en déduit que chaque paire apporte une contribution nulle et donc que la somme est nulle. * si n est impair, idem en groupant directement les n-1 termes par paire. Plus laborieux que l'argument d'invariance par conjugaison, mais trouvable en "regardant ce qui se passe" pour les premiers indices: * n = 3: cos(π/3)/sin(π/3)+cos(2π/3)/sin(2π/3)=0 * n = 4: cos(π/4)/sin(π/4)+cos(π/2)/sin(π/2)+cos(3π/4)/sin(3π/4)=0

[@maxenceboyer8565]

Je crois qu'il y a une petite erreur sauf erreur de ma part sur l'apparition du "i" au dénominateur à 49:47 . Ainsi on obtiendrait (-1)^((n-1)/2) * n comme résultat si je ne me suis pas trompés

[@guillaumehuguet3243]

Oui je trouve la même chose, Pn = Kn*Π(tan(k*π/n), k=1..n-1), où Kn = 1 lorsque n ≡ 1 [4] et Kn = -1 lorsque n ≡ 3 [4]

[@CassouMathPrepa]

Ah oui mince, bien vu Maxence, ca donne effectivement ce que tu dis. Raah, décidément je fatigue sur cette video 😬

[@m9l0m6nmelkior7]

J’ai trouvé la même chose !! J’allais écrire le commentaire

[@m9l0m6nmelkior7]

2:00 bon comme d’hab je m’essaye aux exo Perso quand je vois ça j’ai envie de faire le dessin dans le plan complexe, on dessine le cercle trigono et on décale l’origine en 1, à partir de là on place e^iθ -1 pour un θ quelconque, on trace le trait qui le relie à 0 ainsi qu’au centre du cercle décalé, et on remarque (début de la démo géométrique pour l’angle moitié) qu’on a |e^ iθ -1| = 2|sin(θ/2)| À partir de là par symétrie du problème, on a pour k dans N* : S2k = 2 + 4Σsin(jπ/2k), i de 1 à k-1 S(2k+1) = 4Σsin(jπ/(2k+1)), i de 1 à k Pour finir on utilise le fait que sin(x) c’est Im(e^ix), on utilise les formules de sommes de série géométrique, on repasse en réels en gardant la partie imaginaire, et on doit retomber sur le résultat (méthode standard) Curieux de voir si tu fais pareil ! Édit : rédaction un peu plus algébrique que géométrique de ton côté mais méthode identique, content de savoir que j’ai toujours les bons réflexes ! (Sauf pour la partie où je sépare k/n

[@UnNimois]

Concernant les formats de vidéos, les deux formats sont très bien, peut-être qu'alterner entre les deux est idéal.

[@CassouMathPrepa]

Oui, en effet, et puis ca va me reposer un peu de refaire des videos courtes, car apres le montage des longues dure des heures, j'avoue !

[@mrglassoun1154]

premiere fois je vois un exo de TSI je suis content

[@CassouMathPrepa]

Je vais tacher d'en faire plus !

[@FABVINCE78]

si j'avais eu ce genre de chaine à mon époque en prépa .... j'aurais surement mieux réussi :)

[@guillaumehuguet3243]

Typo croisée pour l'exo 3, question 2): Il est demandé de montrer que le produit des sinus considérés vaut 2/2^(n-1) dans la version "poly" et n/2^n dans la version "à la main", alors qu'au final la démonstration montre qu'il vaut n/2^(n-1), valeur facilement vérifiable pour n=2, 3, 4 et 6. Bon la version "à la main" est corrigée pour la partie 3) ^^

[@CassouMathPrepa]

ah oui, mince, je me suis embrouillé en recopiant les énoncés au tableau et sur l'énoncé tapé 🙃🙃🙃. Merci pour la remarque 🙏🙏🙏 je vais mettre un erratum en commentaire épinglé

[@marsupilable]

Bonjour, Il y a ça aussi : sin(x) * sin(x + pi /2) = sin(2x) / 2 sin(x) * sin(x + pi /3) * sin(x + 2pi/3) = sin(3x) / 4 sin(x) * sin(x + pi /4) * sin(x + 2pi/4) * sin(x + 3 pi/4) = sin(4x) / 8 produit des sin(x + k pi / n) k = 0:n-1 = sin(nx) / 2^{n-1} Mais c'est pas hyper facile ! C'est la factorisation de X^{2n} - 1 et de l'angle moitié et du 0 + 1 + 2 + 3 + .... + n-1 = n(n-1)/2. Une fois qu'on a cette formule, on dérive logarithmiquement, on passe à la limite n-> + infty etc et on débloque le secret du nombre pi etc. C'est en fait la version finie du produit des (1 - x^2 / n^2) qui est un sinus cardinal.

[@CassouMathPrepa]

@@marsupilable cool

[@Aglaé-u6n]

Bonjour et merci pour tous ces beaux exercices. Je trouve le format vraiment très agréable. Juste une petite remarque pour le produit des sinus dans l'exercice 3 je crois. N'était-il pas beaucoup plus rapide d'évaluer le polynôme en 1 (égal à n donc) puis de prendre le module de la forme factorisée (les sinus étant tous positifs ici) ? Ça se règle en trois petites lignes.

[@CassouMathPrepa]

je vais regarder ca, merci !

[@jardozouille1677]

Moi, ça fait 31 ans que je suis sorti de prépa, et c'est toujours rigolo de faire ces exos. Mais j'ai quand même hâte de voir les exos de proba stat : ça n'existait pas, à l'époque. En revanche on étudiait les formes quadratiques par exemple, et je ne sais pas si ça s'enseigne encore à ce niveau.

[@CassouMathPrepa]

@@jardozouille1677 merci pour le commentaire. Pas bcp de formes quadratiques en comparaison au temps jadis (je suis de 1975)... les probas ont pris la place !! Je vais me remettre à faire qq oraux de proba. J'en ai fait un ici : kzbin.info/www/bejne/jna0mICaedZ0i8Usi=lrKQ6ElUdBN74I24

[@ZENOHLAWA]

J'adore

[@m9l0m6nmelkior7]

26:04 aaah, je buggais parce que je trouvais pas la même chose… mais j’avais bon ! 😅 C’est le sujet qui se plante (Le produit c’est n/2^n-1, pas 2/2^n-1) (Et dcp pour le bonus l’intégrale c’est pas trop dur de l’intuiter, on passe au ln ça doit donner une somme de Riemann)

[@bertrandbrodeau2372]

À 9:54 : avec implicitement, somme géométrique multipliée par la raison (e^(i*π/n))^0 = 1

[@m9l0m6nmelkior7]

42:34 perso je m’en suis sorti en regardant que avec n impaire, (ω^k)^n = 1 signifie aussi (-ω^k)^n = -1 Donc si les ω^k sont les racines de X^n -1 = 0 à part 1, les -ω^k sont les racines de X^n +1 = 0 à part -1. Du coup le produit des (X - ω^k) c’est la somme des X^k, et le produit des (X + ω^k) c’est la somme des (-X)^k (ça marche bien parce que n est impaire) À partir de là tu peux définir ta fraction rationnelle Rn(X) = Π((X-ω^k)/(X+ω^k)) = ΣX^k /Σ(-X)^k, l’évaluer en 1 (sans problème au dénominateur toujours car n-1 est paire), et tu trouves Pn= Rn(1) = n. Edit : c’était bien plus rapide de poser un seul Q(X), je vais retenir 😅

[@z0ru4_]

À 1:37 les racines n-ièmes comme ça ?

[@CassouMathPrepa]

Je ne comprends la question 😅

[@undecorateur]

​@@z0ru4_la vidéo ne dure que 1h01min49

[@z0ru4_]

je voulais dire : "une vidéo sur les racines n-ièmes à 1h37 du matin comme ça ?"

[@CassouMathPrepa]

@@z0ru4_ ok, j'avoue, je dors pas assez 😅... ca prend un temps de fou à monter ces videos longues. Je vais me calmer un peu et refaire des formats plus courts, sinon je tiendrai pas 😂

[@bertrandbrodeau2372]

Je partage vos 5 exos sur ma page Facebook. Pour ramener des clients....

[@CassouMathPrepa]

Merci 😄

[@NC-hu6xd]

Sacrée intuition pour sortir le coup de la dérivée logarithmique, jamais vu ça avant

[@CassouMathPrepa]

pas de panique, on est aussi là pour apprendre 😉

[@NC-hu6xd]

Ah la haine, pour le premier exo j'ai essayé de voir s'il y avait pas une "ruse de sioux" avec z*zbarre ou bien intuiter un résultat graphiquement... au final il fallait juste calculer sauvagement avec l'arc moitié :(

[@CassouMathPrepa]

un bon vieux calcul et on s'en va ! (comme dirait l'autre)😅