＃509

体の準同型は単射であることより、積の等式に-1を代入してf(‐1)＝‐1を得ます．これより（負を含めた）全有理数qに対して, f(q)＝qが言えます．体の準同型写像が単射であることは，体のイデアルは０か全体になり，後者だとすると0-mapです．Kerｆ＝(0) より（線形代数の定理より）単射あることが従います．
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[@ぬぬき]

有理数→実数は連続性を仮定しないと無理かと思ったら、順序を保存する ⇒ 順序位相における連続関数である・・・ということが効いているのかな

[@a.m.8310]

f(a+b)=f(a)+f(b)からf(x)=cx(一次式)、f(ab)=f(a)f(b)からc=1と出せる気がするのですが...説明として弱いのでしょうか...?

[@Ms31415]

多項式とは限らないよ

[@ftatsuya8236]

@@Ms31415 (f(a+b)-f(b))/a=f(a)/aでlima→0の極限取ったんじゃない？

[@マルティナ-o5o]

@@ftatsuya8236 まず一次式と仮定すること自体が間違いと言っていて、その後の議論などどうでも良いのです。

[@ftatsuya8236]

@@マルティナ-o5o 何か誤解があるみたいだから詳しく書いとく f(0)=0よりf'(b)=f'(0) よってf(x)=cx そもそもコーシーの関数方程式と言って有名だし

[@月見野]

@@ftatsuya8236 まぁでも連続関数とは言ってないわけで。