＃512

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[@勲-h4p]

α、β、γは三角形の3つの角。 外接円の半径を1とすると、面積公式と正弦定理により 三角形の面積Sとおくと、 S^3=1/8×(abc)^2×sinαsinβsinγ =8×(sinαsinβsinγ)^3 よってsinαsinβsinγ=S/2 求める値は半径1の円に内接する三角形の面積の半分 あとは図形的にやっても微分使っても出せる。 面倒な変形とか変な不等式とかは不要

[@からくり-j2m]

天才です

[@かみ-x8x]

からくり@さん、求める値の説明まではよく理解できたのですが、具体的な値はどうやって出すのですか？

[@あくあなめこ]

abc=4はどこから？

[@浜雀]

@@かみ-x8x ①求める最大値sinαsinβsinγの図形的意味がないか考えます α,β,γがそれぞれ正、α+β+γ=π →内角がα,β,γの三角形に相当すると考えられます。 対辺をそれぞれa,b,cと置きます。外接円の半径をRとします。 求める最大値はsinなので正弦定理を使います。 a=2Rsinα b =2Rsinβ c = 2Rsinγ よってsinαsinβsinγ=absinγ/(4R^2) ここで三角形の面積S=absinγ/2を用いて sinαsinβsinγ=S/(2R^2) つまり、求める値は外接円の半径が固定したときの三角形ABCの面積に正比例します。 即ち求める値が最大となるのは、ある外接円で三角形ABCの面積が最大となる場合です。 ②三角形ABCの面積を考えます 単位円を外接円とする三角形ABCで考えます。 辺BCを固定しAを動かすと、三角形ABCの面積が最大となるのは AからBCに下ろした垂線の足Hを引いた際のAHが最大となるときです。円の対称性からAHが最大となるのときAB=ACの二等辺三角形の場合です。 0

[@pq2646]

赤チャート例題では式評価ゴリ押し　解法の突破口では三角形の面積に帰着　どちらも再現出来て欲しい解法ですね

[@kazusaka4063]

sinα, sinβ, sinγ　いずれも正なので 相加相乗平均とって和の方の関数 sinα+ sinβ+ sinγ　を考えました γ=π-α-β　でαとβだけにして αの関数として微分　α=(π-β)/2を導くのがちょっと難しいと感じました どうせπ/3のときだろうと　たかをくくるのも大事かも（笑）

[@kazusaka4063]

補足しておきます 相加相乗平均の等号成立条件とsinα+sinβ+sinγが最大となるときがどちらもsinα=sinβ=sinγのときである　というのと用いています

[@user-tu3iz9vc2h]

凸不等式は何度聞いても面白いです

[@fhchannel5718]

これは大学入試を度外視するならラグランジュ未定係数法の出番ですね。

[@イチロウスタンドSr]

この問題はどこかで解いた記憶がある。 どこか忘れてしまったけど。

[@荻野憲一-p7o]

α=β を導くところで、「γを固定してα,βを動かすと」のヒトコトがあると良かった。

[@みずみず-k4e]

f(x,y)=sinx siny sin(x+y) の2変数関数とみるとx偏微分とy偏微分が共に0と置いて解けば極値を取る点が求まる。 定義域に境界は含まないので極大値と最大値は等しい。 この極値は明らかに極小値ではないので最大値が求まる。

[@perimetros314]

凸不等式使うならlog(sin(x))の凸性使う手もありますね

[@qwqw9367]

対数をとってラグランジェの未定係数法を使ったらだめでしょうかね。入試だとだめですかね。

[@snowfairies-te3zg]

現役のとき赤本で諦めた問題だぁ・・・

[@user-KanikamaXavier]

解法1で、α=βが出たら、対称性からα=β=γってわかるので、α=β=γ=π/3

[@6J9i]

@@aoyamasige1992 (α,β,γ)が(60°,60°,60°)でない、すなわち等しくない2つの角の組が存在するとき、その2つの角について考えるとsinαsinβsinγが最大とならないことがわかるので、2つの角だけが等しいときに最大となる可能性は排除されます。 例えば(α,β,γ)=(45°,45°,90°)であればβ,γについて考えるとsin45°sin45°sin90°

[@aoyamasige1992]

@@6J9i それはそうですが、「対称性から」という理由だけでは不十分だという指摘です。

[@user-KanikamaXavier]

@@aoyamasige1992 同値変形って言わないとあかんかー

[@6J9i]

@@aoyamasige1992 例えば「対称性からα≦β≦γとしても一般性は失われず、このときα=βである」というのであれば、対称性を崩しているのでα=β=γとは言えない(α=β, β=γ, γ=αの少なくとも1つが成り立つことしか言えない)ですが、今回の場合はα,β,γの条件を指定しなくてもα=βが成り立つ(γを任意に取れる)ので、α=βを認めた上で対称性からβとγについて同様に考えてβ=γが言えます。よって、「対称性から」という理由で十分であると考えます。

[@aoyamasige1992]

@@6J9i α-βを認めた上で、(cos(β-γ)+cosα)sinαがβ=γのとき最大になる、は同じ議論ではできないと思います。β=γにしようとするとαの値が変わってしまうので。

[@デルタマン-c3r]

α＝β以降はα，β、γの対称性から同様に・・では根拠に乏しいですかね

[@4tnow280]

最大値が存在するならα=β=γ=π/3 以外あり得ない、は簡単にいえますが、最大値の存在を別途示す必要がありますね。 γ固定のときα=βのとき最大、だけじゃなくて |α-β| が小さいほど式の値は大きい、ことも利用すれば、 「α, β, γ のうち一つを固定して残り２つの差を小さくする（もしくは等しくする）」操作を２回行うことで α=β=γ にできるので 　「任意のα、β、γに対する値」≦「α=β=γ=π/3 に対する値」 が示せます。

[@ftatsuya8236]

logとって計算しました

[@てんさいひろりん]

外接円の正弦定理で溶けないかなーと 思ったが　解けますかね?

[@ねこくろ-t1c]

解けますよ〜正弦定理の各式の積をとって式変形すると、abc/8R^3という式が得られてこの式と三角形の面積を関連させられるんですね。そこから四次関数の最大に持ち込むって流れです

[@てんさいひろりん]

@@ねこくろ-t1c 「この式と三角形の面積を関連させられるんですね」を詳しくお願いしたいです。 一晩寝て考えたところ、自分は半径１の円に外接する三角形を考えて　abcの最大値になるには条件か？を考えた後、 まず１辺（２頂点）を円に固定し、残りの点を移動した場合のabcが最大になるには二等辺三角形の時であるというのをベクトル計算で求め、そこから　どのような二等辺三角形がabcを最大にするかを考え　答えを導きました。

[@ねこくろ-t1c]

@@てんさいひろりん 円に外接する三角形の面積Sはabc/4R（なんかちょっと違うかも、正弦定理とサインが入った面積公式から）で与えられるので、それを用いて変形しましたね。あと、外接円の半径の条件は与えられていないので、ひろりんさんの解放だとその値によって最大が変わらないことを示す必要がある気がしますね。僕は外接円の半径を固定した時、三角形の面積は2点を決めると面積最大となる点が決まることから、その2点を結ぶ線と円の中心からの距離をパラメータにして解答を作ったって感じです。

[@李佩-c7s]

琴生不等式(凹凸不等式)可以很快解决。老师讲得很好。我是中国数学老师。

[@yyonemathupsmc]

大学入試の解答でJensenの不等式は使って良いのでしょうか？

[@llon_0]

イェンゼンの不等式より〜って書くんじゃなくて、関数の凸性よりとか書けば使っていい気がする

[@utasuko]

合成では解けない仕様？(sin2α+sin2β−sin2(α+β))/4 で詰まる、、

[@ねこくろ-t1c]

γを消さないのがコツです。αβγがめんどいんでabcで書くと sin 2a + sin 2b - sin (2c - pi) = sin 2a + sin 2b + sin 2c で2a+2b+2c=piより適当な三角形の外接円の中心角の和に相当することがわかります。加えて、三角形の面積がsin関係で表せることを思い出すと、その外接円の半径を1とした時の三角形の面積と一致する（正確には二倍か半分か）ことがわかるので、円に外接する三角形の面積の最大を求める問題に切り替わるって感じです。

[@utasuko]

@@ねこくろ-t1c 返信ありがとうございます！ただ2a+2b+2cは2πになるような？ 問題見た瞬間に脳死で一文字消去だろって考えてγとバイバイしてしまったので、そこは反省です(´-ω-`)

[@ねこくろ-t1c]

@@utasuko そうですね w抜けてしまってました w2piなのでちょうど一周分になって中心角の和と一致するというわけなのです

[@スス-g9i]

足し算条件ある掛け算の最大値だから どうせ相加相乗平均だと思ったら案の定だった

[@ジミー店長]

相加相乗平均のところ解説求む

[@ジミー店長]

なぜ4つの場合の相加相乗平均を使っているのですか？また、わざわざ分数の形にしているのはなぜですか？

[@Yaoundéミキア]

ラグランジュ使ったら秒で終わりそう

[@lengo6981]

πの二乗。

[@МИРАНО]

直感的に明らか

[@sw-oy6eu]

イェンゼンの不等式すね

[@hurricane3458]

もうちょい詳しく教えて😅

[@在原孫一朗]

全般的に説明不足。説明はいいんだけど、採点者には飛躍して見える。

[@kennel1952]

こんな問題は解けなくて良ろしい🐩😁🤡ある意味、邪道だろうな🐩😁🤡