A Very Nice Geometry Problem | You should be able to solve this! | 2 Methods

A Nice Geometry Problem From China | You should be able to solve this! | 2 Methods
MY OTHER CHANNELS
••••••••••••••••••••••••••••••••
Calculus Booster : / @calculusbooster
Math Hunter : / @mathshunter
--------------------------------------------------------------------------------
Join the channel to become a member
/ @mathbooster

[@user-ll5wl9gq4x]

...= > √(36 + (x+5)(^2)) = (30/ x), With positive values of x , the left part increases, the right part decreases. Therefore, this equation has a single root x = 3, which is a selection!

[@Irtsak]

*@Math Booster* ........... at 7:53 you analyze the equation of the 4th degree in such a way that it can become a product of factors. How do you do that ? Do you use any theory or your intuition?

[@Irtsak]

*Same solution as Math Booster’s but a different aproach solving the equation* : x⁴+10x³+61x²-900=0 The possible integral solutions of the equation are the divisors of the constant term of the equation (-900) ±1,±2,±3,±5 are the integral divisors of -900. However x>0 , so negative ones are rejected. Apply Horner’s sheme for the polynomial P(x)= x⁴+10x³+61x²-900 for p=1,2 the remainder of the division is different from zero. But for p=3 …. 1 10 61 0 -900 p=3 # 3 39 300 900 1 13 100 300 0 So P(x)=(x-3)(x³+13x²+100x+300) P(x)=0 => (x-3)(x³+13x²+100x+300)=0 x-3=0 or x³+13x²+100x+300=0 => x=3 (the second equation has no positive solutions, as Math booster explained )

[@michaeldoerr5810]

I have noticed that BOTH methods involve factor by grouping for the quartic equation and I have noticed that the quadratic equation is shown to NOT have a positive answer that results in zero just from I think guessing. And the factor by grouping for the quartic equation much more difficult than the geometry part. I think that is what you need to know from this video right?

[@michaeldoerr5810]

Or more specifically you would have to guess the zero in the quartic equation before doing the factor by grouping.

[@michaeldoerr5810]

This reminds me of synthetic division!

[@Irtsak]

correct

[@devondevon4366]

x =3 Draw a perpendicular from line AC to D to form two right triangles ADP and CDP triangle ABD is similar to triangle ADP, line AP = 6 and line DP = x triangle CDP is similar to triangle ABC Let line PC = ? then ?/x = (x+5)/6 since CDC is similar to ABC cross multiply 6? = x^2 + 5x ? = ( x^2 + 5x)/6 Hence, PC = ?= (x^2 + 5x)/6 Hence, line AC = 6 + (x^2 + 5x) /6 (recall that line AP=6 and PC = (x^2 + 5x)/6) Let's solve for x 6 + (x^2 + 5x)/6 = (36 + x^2 + 5x)/6 Since triangle CDP is similar to triangle ABC, I am using the hypotenuse and the small base to get the value. the hypotenuse for triangle ABC is (36 + x^2 + 5x) /6 the hypotenuse for triangle CDP is 5 the smallest leg for triangle ABC = 6 and the smallest leg for triangle CDP =x Hence 5/x = [(36 + x^2 + 5x)/6 ]/6 5/x= (36 + x^2 + 5x)/36 180 = 36x + x^3 + 5x^2 (cross multiply) x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 this a cubic equation, and solving for x will give the value for x So, this is a 3-4-5 right triangle ... x =3

[@ludmilaivanova1603]

sorry, can you please explain why you use 2 at 5:21? Sorry, I personally, think these replacements of x with other numbers are not a valid solution to the problem. We might as well have guessed the value of x from the start.

[@sergeyvinns931]

У меня за это решение благодарность от ведущего этого канала, так как я привёл два способа решения, первый через геометрические построения, второй через теорему Пифагора!

[@mariopopesco]

Looking at the triangle, x is less than 5. He tried 2, seen that is small, than tried 3.

[@holyshit922]

I used method with tangents

[@Mediterranean81]

you can just let x^2=t and use quadratic formula

[@Irtsak]

the transformation *x²=t* is done *only* in compound quadratic equations. (there should not be odd powers of x)

[@jimlocke9320]

There are 2 double angle cases that appear frequently in problems, so it is good to know them and check if either produces a solution. Let's label the angle to be bisected as 2Θ. Then, the 2 cases are: if tan(2Θ) = 3/4, tan(Θ) = 1/3 and, if tan(2Θ) = 4/3, tan(Θ) = 1/2. So, we first try tan(Θ) = 1/3, so x/6 = 1/3, x = 2 and BC = 2 + 5 = 7, so tan(2Θ) = 7/6. This is not the correct answer. So, we try tan(Θ) = 1/2, so x/6 = 1/2, x = 3 and BC = 3 + 5 = 8, so tan(2Θ) = 8/6 = 4/3. This is the correct answer, x = 3. Math Booster also checked to see if x = 3 is the only solution. tan(2Θ)/tan(Θ) will always be greater than (4/3)/(1/2) = 8/3 for x > 3 (Θ = arctan(x/6) and ((x + 5)/6)/(x/6) = (x + 5)/x = 1 + 5/x will always be less than 8/3 for x > 3. Similarly, tan(2Θ)/tan(Θ) will always be less than (4/3)/(1/2) = 8/3 for x > 0 and x < 3 (Θ = arctan(x/6) and ((x + 5)/6)/(x/6) = (x + 5)/x = 1 + 5/x will always be greater than 8/3 for x > 0 and x < 3. In both Math Booster's solutions to the third and fourth equations, he used trial and error and found x = 3. We tried our 2 double angle cases and found that one solved the problem. We solve the problem "open book", so include two 3-4-5 right triangles in our notes and bisect the angle opposite the 4 side in one of them. The tangent before bisecting is 4/3 and after bisecting is 1/2. Bisect the angle opposite the 3 side in the other triangle. The tangent before bisecting is 3/4 and after bisecting is 1/3.

[@robertloveless4938]

Your answer is correct, BUT the original problem implies GEOMETRY to be used to find answer, not Trig.

[@ludmilaivanova1603]

why do not you solve the equation? @ 14:50.

[@sergeyvinns931]

Я гляжу, ты заходишь на этот канал критиковать, сама не можешь решить, учись у других!

[@ludmilaivanova1603]

@@sergeyvinns931 запредельное свинство!

[@devondevon4366]

x=3

[@Irtsak]

Another solution . DE⊥AC consruction. Let D=x, AC=y Tringles ABD=ADE => AE=AB=6 and DE=x . So EC=AC-AE => *EC=y-6* Bisector theorem in ΔABC => BD/DC=AB/AC=>x/5=6/y => *y=30/x* (1) Rigth triangles DEC,ABC are similar (common angle DCE) => DE/AB=EC/BC => x/6=(y-6)/(x+5) => x³+5x=6⋅y-36 => x³+5x=6 (30/x)-36 cause (1) =>x³+5x²+36x-180=0 Notice that I end up with a cubic equation . (Math Booster’s solution ended up in quadratic equation). If you are familiar with Horner’s sheme (method) ……. It’s a piece of cake ! You will find x=3

[@sergeyvinns931]

В моём решении, самое сложное уравнение, это формула Пифагора, где присутствуют только квадратные величины!

[@Irtsak]

@@sergeyvinns931 Whenever you can, post your solution .

[@sergeyvinns931]

@@Irtsak Я решаю не для публикации, а для того, чтобы показать более простое геометрическое решение. Как известно. всё гениальное просто, а краткость,- сестра таланта. Это к тому. что длинные решения с уравнениями четвёртой и третьей степени, нужно применять там. где геометрия бессильна. Возьмите таблицы тригонометрических функций, там даны приблизительные данные, когда удобнее, иметь значение в виде простой дроби, которым легче оперировать при вычислениях со степенями.

[@Irtsak]

@@sergeyvinns931 Η απλότητα είναι το παν στη Γεωμετρία. Δυστυχώς η Γεωμετρία υποβαθμίστηκε , μετά απο την ανάπτυξη της Αλγεβρας . Καλή συνέχεια.

[@sergeyvinns931]

@@Irtsak Алгебра возникла, как математическая наука у арабов, которые5. к стати. изобрели современные цифры. которые до сих пор. называются арабскими. Аль Джейбр аль Бируни, от его имени и получила название эта наука. Но он никогда не говорил о том. что алгебра заменяет геометрию. Она позволяет решать сложные геометрические задачи, которые невозможно решить с помощью дополнительных построений. Бируни шёл к этому, используя метод от простого к сложному. Тем он и велик. Но геометрия, как наука, никогда не исчезнет, так как она является основой и для тригонометрии и для алгебры!

[@murdock5537]

φ = 30°; ∆ ABC → AB = 6; BC = x + 5; AC = AE + CE = 6 + y; sin⁡(ABC) = sin⁡(DEA) = sin(3φ) = 1 DAB = CAD = θ → CAB = 2θ = EDC → BCA = δ → sin⁡(δ) = cos⁡(2θ) tan⁡(θ) = x/6 → tan⁡(2θ) = 2tan⁡(θ)/(1 - tan^2(θ)) = (x + 5)/6 = 12x/(36 - x^2 ) → x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 → x > 0 → x = 3; btw: x2, x3 = -4 ± 2i√11

[@rabotaakk-nw9nm]

φ=30° ??? p.E ??? y ??? δ ??? 🤔 tan2θ=2sinθ/(1-tan²θ) ??? 😡 👎

[@murdock5537]

@@rabotaakk-nw9nm thanks, did the correction: tan⁡(2θ) = 2tan⁡(θ)/(1 - tan^2(θ)); and: sin⁡(DEA) = sin(3φ) = 1 (φ makes it easier to write...) cos⁡(2θ) = sin⁡(δ) = 6/(6 + y) = x/5 → y = (6/x)(5 - x) sin⁡(θ) = x/√(36 + x^2) → cos⁡(θ) = 6/√(36 + x^2) → sin⁡(2θ) = 2sin⁡(θ)cos⁡(θ) = 12x/(36 + x^2) = y/5 = x(x + 5)/30 → x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 → x = 3

[@sergeyvinns931]

Проведём медиану ВF на АС, из точки F опустим перпендикуляр FG на ВС, это будет средняя линия треугольника АВС, которая равна 6/2=3, из точки D опустим перпендикуляр DK на АС, который равен х, получили два равных треугольника, c катетами (5+х)/2, Х, и гипотенузой равной 5. Составляем уравнение по теореме Пифагора: (5+х)^2/4+х^2=25. x^2+2x-15=0, x=3! Получился Египетский треугольник со сторонами 6, 8, 10!

[@ludmilaivanova1603]

извините, ваше объяснение непонятно, начиная с "опустить перпендикуляр из точки D"

[@rabotaakk-nw9nm]

Да, тёзка, перечисли по буквам "два равных треугольника" и обоснуй.

[@sergeyvinns931]

@@rabotaakk-nw9nm Для этого, нужно из прямого угла провести медиану на гипотенузу АС, и из этой точки опустить перпендикуляр на катет ВС, образовались два равных треугольника, а третий, образуется проведением перпендикуляра из точки D, на гипотенузу АС. Во всех трёх треугольниках стороны равны 3, 4, 5. У первых двух, катет 3, является средней линией треугольника АВС, а в третьем треугольнике, катет 3, равен искомому "х", так как два треугольника, образованных биссектрисой AD, катетом АВ, и катетом, отсечённым перпендикуляром из точки D на гипотенузу АС, являются равными! Понял? Я бы мог сразу сказать, что начерченный прямоугольный треугольник, является египетским, со сторонами 6, 8, и 10, и отрезок х=3. Но я привёл доказательство этому факту!

[@sergeyvinns931]

@@ludmilaivanova1603 Милочка, читайте чертёж, и запомните. что перпендикуляры опускают, не зависимо от того где находится цель перпендикуляра. А точка D, это место пересечения биссектрисы с основанием ВС, а цель перпендикуляра, это гипотенуза АС! Так понятно?

[@ludmilaivanova1603]

@@sergeyvinns931 Мне не нравится снисходительный тон вашего ответа. из вашего ответа я понимаю, что вы невежливы и не прочитали мой вопрос, заданный в вежливой форме. Нет необходимости отвечать, спасибо.