Жадная нормальная форма - это нормальная форма Грёбнера-Ширшова

Докладчик: Виктор Лопаткин. Занятие 83.
В теории групп кос был удивительный случай, когда один школьный учитель из Шотландии (Гарсайд) предложил очень красивую идею о копредставлении групп кос. Позже эта идея была продолжена в работах Адяна и Тёрстона. В результате было показано, что группа кос является автоматной и, более того, была предъявлена нормальная форма (базис группового кольца), которая называется жадной нормальной формой (greedy normal form). Далее эту идею уже продолжил развивать Дэорнуа с коллегами, и в результате получалась теория Гарсайда, которая распространилась на малые категории, заданные копредставлением.
С другой стороны, в комбинаторной алгебре существует очень мощный и в то же время простой способ получения нормальных форм для переписывающих систем - теория базисов Грёбнера-Ширшова. Вообще говоря, эта техника есть прямое обобщение деления полиномов от одной переменных на случай некоммутативных (и даже лиевых) полиномов от нескольких переменных (а также и на ряды). Так называемая бриллиантовая лемма (the Composition-Diamond lemma) и позволяет, в частности, получать нормальные формы у алгебраических систем, которые заданы образующими и соотношениями (ассоциативность, как оказалось, можно заменить на более слабое свойство, например, на лиевость).
В этом докладе я расскажу, как Леонид Аркадьевич Бокуть легко и просто получил жадную форму как следствие того факта, что с помощью автомата Тёрстона находится базис Грёбнера-Ширшова для группового кольца группы кос. Если останется время, я расскажу о своём результате, который есть обобщение подхода Бокутя, и также то, что мы можем получить теорию Гарсайда, развитую Дэорнуа и коллегами, как простое следствие из теории базисов Грёбнера-Ширшова.
00:00 Двусторонне инвариантные порядки на моноидах
06:05 Кольцо (алгебра) полиномов от нескольких некоммутирующих переменных
09:04 Определение базиса Грёбнера-Ширшова идеала кольца полиномов
14:50 Модельный пример
20:09 Определение зацепленности (composition) слов и многочленов
23:30 Модельный переписывающий процесс
30:38 Большая картина: алгоритм Бухбергера-Ширшова поиска базиса Грёбнера-Ширшова
31:18 Ответы на вопросы
36:05 Лемма о диаманте (CD-lemma [composition-diamond], бриллиантовая лемма)
43:08 Приложение к группам, полугруппам и моноидам
45:01 Симметрическая группа степени три
55:53 Симметрическая группа степени четыре
59:47 Отступление: вычисление гомологий алгебр с помощью резольвенты Аника
01:03:03 Общий случай симметрических групп
01:05:31 От перестановок к косам
01:10:35 Перестановочные (простые, неповторяющиеся) косы и их преобразования
01:17:01 Жадная нормальная форма кос
01:27:09 Большая картина: нормальные формы и базисы группового кольца
01:31:06 От нормальной формы перестановок к нормальной форме кос
01:36:42 Нахождение базиса Грёбнера-Ширшова в идеале соотношений моноида положительных кос
01:53:42 Подведение итогов
01:57:46 Отступление: модельный пример использования резольвенты Аника
02:10:14 Вычисление гомологий групп кос с помощью резольвенты Аника
02:16:58 Ключевой технический результат
t точка me/ldtss
«Студенческий семинар по маломерной топологии», Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера: eimi.ru/low-dimentional-topol...