Analyse 1_Nombres réels_Cours et TD_partie 5_ Densité des nombres rationnels et irrationnels dans R

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Dans cette vidéo, nous allons présenter la propriété d'Archimède et en proposer une démonstration. Ensuite, nous prouverons la densité des nombres rationnels et irrationnels dans $ \mathbb{R} $, avant de définir ce qu'est une partie dense dans cet ensemble. Ces notions sont particulièrement importantes dans l'analyse 1, pour les étudiants des facultés MIP, SAM, SMI, SAMPC ou des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE).
D'accord, voici votre texte réécrit sans symboles mathématiques :
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Dans cette vidéo, vous souhaitez expliquer le principe d'Archimède, démontrer cette propriété, prouver la densité des nombres rationnels et irrationnels dans l'ensemble des réels, ainsi que définir ce qu'est une partie dense dans cet ensemble. Voici un aperçu de ces concepts :
1. *Propriété d'Archimède* :
La propriété d'Archimède affirme que pour tout réel positif, aussi petit soit-il, il est toujours possible de le dépasser en multipliant un entier naturel par un autre réel positif. En d'autres termes, cette propriété montre qu'il n'existe pas de plus grand nombre dans l'ensemble des réels, et que les entiers naturels peuvent "dépasser" tout nombre réel positif.
*Démonstration* : Par l'absurde, supposons qu'il n'existe aucun entier naturel assez grand pour que, lorsqu'il est multiplié par un certain nombre réel positif, il dépasse un autre réel positif donné. Cela impliquerait qu'aucun entier ne pourrait "dépasser" ce nombre, ce qui est absurde, car on peut toujours trouver un entier suffisamment grand pour cela. Cette démonstration valide donc la propriété d'Archimède.
2. *Densité des nombres rationnels et irrationnels dans l'ensemble des réels* :
*Densité des rationnels* : Les nombres rationnels, qui sont les fractions, sont dits "denses" dans l'ensemble des réels parce que, entre deux nombres réels distincts, il y a toujours au moins un rationnel. Cela signifie que, peu importe les deux réels que l'on choisit, il existera toujours une fraction entre eux.
*Densité des irrationnels* : De manière similaire, les nombres irrationnels, comme la racine carrée de deux ou le nombre pi, sont aussi denses dans l'ensemble des réels. Entre deux nombres réels différents, il existe toujours au moins un nombre irrationnel.
3. *Définition d'une partie dense dans l'ensemble des réels* :
Une partie d'un ensemble est dite *dense* dans l'ensemble des réels si, pour tout nombre réel et pour toute petite différence positive que l'on peut choisir, il existe toujours un élément de cette partie proche de ce nombre. En d'autres termes, cela signifie que, quel que soit l'endroit où vous vous trouvez sur la droite des réels, vous trouverez toujours un élément de la partie dense dans votre voisinage.
Ces notions sont essentielles en analyse et sont approfondies dans les cours de mathématiques, en particulier pour les étudiants des facultés MIP, SAM, SMI, SAMPC ou en classes préparatoires.
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