'르장드르 변환' 이해하기 (Legendre transformation)

[@bosstudyroom]

[보충 설명] 초반에 제가 화학실험의 예를 들었는데, 르장드르 변환의 일반적인 예는 아닙니다 보통은 '사용하기에 보다 편리한 변수'로 바꿔서 system을 해석할 때 변환을 사용하게 되어요 추후의 영상에서는 '위치(x)와 속도(dx/dt)의 함수인 L(라그랑지안)'을 르장드르 변환해서 '위치와 운동량(p)의 함수인 H(해밀토니안)'을 얻게 되는데 p=(m)(dx/dt)로서, (m을 안다면 속도와 운동량을 둘 다 명확히 아는 경우이므로 특정 변수를 명확히 알 수 없는 상황이 아니지만) 이 경우에서는 'm dx/dt 보다 p로 기술하는 것이 더 편리할 때' 르장드르 변환을 하는 것입니다 :) 즉, dx/dt로서 x의 미분 형태의 변수임을 명시적으로 나타내는 것 보다 변수 p로 바꿔서 해석함으로써 새로운 방식의 분석이 가능하게끔 하는 의미가 있어요 (해밀턴 운동방정식과 비선형동역학 관련 교재에서 자세한 설명이 있습니다) 다른 종류의 변환인 '라플라스 변환'의 경우에서 독립 변수 t에 대한 미분방정식이 풀기 어려운 형태일 때, 물론 그를 t로 풀어도 되지만 더 편리하게 풀 수 있도록 변환하여 s-domain으로 바꾸어 푸는 것과 같은 맥락입니다

[@권혁준-c6y]

친절하고 명쾌한 설명 감사드립니다. 라그랑지안-해밀토니안 공부하다 이해안되어서 왔는데 바로 이해되었네요 ㅜㅜ

[@bosstudyroom]

:) 좋은 댓글 남겨주셔서 감사드립니다 ㅎㅎ

[@북북-e1d]

정말 도움 많이 됬습니다

[@bosstudyroom]

친절하게 댓글 남겨주셔서 감사드립니다

[@DIABORY-g1e]

언제나 좋은 퀄리티의 영상 감사드립니다! 내신에 도움이 될진 모르겠지만(ㅋㅋ) 흥미로운 내용이 많아서 라그랑지언 시리즈를 쭉 보고 있는데, 위키에 설명되어있는 것만 보다가 보스님 영상을 보니 너무 좋네요. 한 가지 궁금한 점이 있는데요, 르장드르 변환의 목적은 알겠으나, 그럼 κ를 df(X)/dx로 정의한 목적은 무엇인가요? 저렇게 정의했을 때 얻을 수 있는 특별한 이점 같은 것이 있을까요?르장드르 변환을 만들어낸 학자가 어떤 의도로 κ를 그렇게 정의했을지가 궁금하네요.

[@bosstudyroom]

좋은 피드백을 댓글로 남겨주셔서 감사합니다. 제가 생각하기에는, 물리학에서 다루는 함수들이 실제로 (서로의) 르장드르 변환 관계에 있는 경우가 있어서 그런 것 같아요 : ) 고전역학이 아니더라도, 통계물리학에서의 열역학적 변수가, 열역학 퍼텐셜의 df(X)/dx 관계에 있는 경우가 있죠. 그 예를 들면 내부에너지 U를 엔트로피 S로 편미분한 결과는 T입니다. (원래 S를 U로 편미분한 것이 1/T이므로, 편미분의 관계에 따르면 그렇습니다.) 이때 헬름홀츠 자유에너지 F는 F=U-TS로 정의되고, F는 T의 함수에요. 그리고 T= (∂U/∂S) 이기에, 르장드르 변환입니다.

[@DIABORY-g1e]

@@bosstudyroom 아.,실제로 물리에서 르장드르 변환을 이용할 수 있는 사례가 존재해서 그렇게 정했다고 생각할 수 있겠네요. 답변 감사합니다!

[@hangillee3902]

고맙습니다.

[@bosstudyroom]

저도요 : )

[@이승우-h2j1i]

변곡점이 있어 f의 기울기가 같은데 접선의 y 절편이 다른 경우에는 어떻게 하나요?

[@bosstudyroom]

예리한 질문을 주셨네요! : ) 제가 영상 후반부에 언급드린 내용과 같이 함수 f의 르장드르 변환을 구하려면 f가 convex function으로 이계도함수의 부호가 항상 양수일 때, 즉 변곡점이 없는 경우에만 변환이 가능합니다. f에 변곡점이 있다면 말씀하신 문제 뿐 아니라, 기울기가 다른데 y절편이 같은 경우가 생겨서 대응시키는 과정에서 문제가 생겨요. 자세하게 설명드리지 않은 이유는, 물리학에서 르장드르 변환을 적용하는 열역학 퍼텐셜이나 라그랑지안을 (영상에서 X로 표시한 것과같은) 변수에 대해 두 번 미분할 시에 부호가 항상 일정하기 때문에 열역학, 라그랑주 역학에서는 이러한 부분을 이미 고려하지 않아도 되기 때문입니다 :)

[@이승우-h2j1i]

@@bosstudyroom 답변 감사합니다. 그런데 라그랑지안이 변곡점이 없다는 사실은 어떻게 알 수 있나요?

[@bosstudyroom]

@@이승우-h2j1i 라그랑지안 L에서 해밀토니안 H를 르장드르 변환으로 유도할 때, (일반화 좌표를 q라고 하면) 영상에서의 변수 X는 속도(dq/dt)인데요! 그 변수를 제가 q_dot으로 부르자면 q_dot으로 L을 두 번 미분했을 때의 결과가 (운동에너지의 표현식에 따라서) 질량 m이 나오는 것으로 이해가 가능합니다 ㅎ 질량은 양수이고, 그의 부호는 바뀌지 않죠 다만 특이한 상황에서 반중력 관련 이론의 '음의 질량' 논의는 제가 전혀 모르기도 하고 보통은 운동에너지 T의 식을 m이 아니라 일반적인 계수가 곱해진 형태로 나타내기 때문에, 이를 수식으로 설명드리지는 않았어요 :)

[@bosstudyroom]

@@이승우-h2j1i 아 L의 원래 변수를 q_dot으로 두는 이유는 L(q, q_dot ; t)에서 H(q, p ; t)로 변환하기 때문입니다. 이때 p는 운동량이에요!

[@이승우-h2j1i]

@@bosstudyroom 고전물리가 아닌 경우에서의 라그랑지안에서는 같은 방법으로 설명이 힘들것 같은데... 왜 물리학 교재에서는 알려주지 않는걸까요?

[@hyeonsseungsseungi]

오오 르장드르 변환이군요!

[@bosstudyroom]

그렇습니다 :)

[@drncud5816]

y절편을 g(κ)라고 두셨는데 그럼 g가 함수가 아니게 되지 않나요? κ가 하나의 값이어도 g는 여러개가 될 수가 있으니까요. 그러면 이것도 정보가 변형이 되어서 안되는 것 아닌가요...?

[@bosstudyroom]

좋은 질문입니다. 13:26에서 언급드린 것처럼, 르장드르 변환 되는 함수 f는 '볼록(convex)' 함수여야 합니다. 볼록 함수라면 이계도함수의 부호가 일정하므로, 도함수는 (x축의 값을 변화시켜보면) 단조증가 / 단조감소만을 해요. 따라서 y절편은 기울기의 '함수'입니다. 가령 x^2 꼴의 함수 f에 대해서 접선의 방정식을 얻고 그 접선의 y절편을 구해보면, 각 기울기에 y절편이 대응되어요.

[@drncud5816]

​​@@bosstudyroom그러면 7:17 에 나온 것과 같은 예시도 틀린 예시 아닌가요? 볼록함수라면 f(κ)라고 변환해도 정보를 잃지 않을 것 같은데...

[@bosstudyroom]

​@@drncud5816설명을 다시 들어보세요.. 해당 부분이 바로 f(κ)가 왜 정보를 잃는지 설명하는 부분입니다. 그리고 7:17에서는 볼록함수가 중요한게 아니라, 평행이동에서의 문제를 얘기하고 있습니다. 답변이 이해가 안되었으면 전공 교재나 다른 문헌을 참고하는 것도 방법입니다.

[@drncud5816]

​@@bosstudyroom아 이해했습니다. 제가 너무 무지했네요... 감사드립니다

[@누구고-p7n]

오목함수는 왜 안되는가요?