Cálculo II - Limites para funções de duas variáveis (2/2)

[@mfSilvaSoares]

Não entendo como ainda não tive aula disso na faculdade, algo tão óbvio e extremamente poderoso. Isso deveria ser parte da ementa, e não apenas ensinar a regra dos dois caminhos. É aí que descobrimos que não podemos deixar o conhecimento dependente, temos que buscar outras fontes e mostrar que pode haver um meio mais fácil. Muito obrigado Danilo.

[@awillian1]

Obrigado, me tirou do fundo do poço. Me mostrou a luz no fim do túnel. A esperança renasceu em mim. Abraço.

[@tjsantana10]

Meu Deus, melhor aula de limites em coordenada polar do KZbin

[@tuliorochaoliveira2334]

Excelente explicação! De maneira simples, eficiente e clara conseguiu passar a teoria com exemplos tirando dúvidas que são frequentes! Parabéns e muito obrigado professor!

[@dayhannelangkammer194]

Valeu professor.. Tens me ajudado muito compreender a disciplina de forma mais simples e didática.

[@DaniloPereiraEng]

poxa, Dayhanne, é exatamente este o objetivo... Muito Obrigado.

[@joaoelias3933]

Danilo Pereira, ótima explicação, meus parabéns!

[@LucasFurioFranco]

Cara!! Mto obrigado! acho que dessa vez eu passo em cálculo2! Depois de assistir o seu vídeo os exercícios da lista tão indo fácil fácil! Parabéns pela sua didática!

[@DaniloPereiraEng]

pô, Lucas! Muito obrigado. Este seu comentário foi o meu salário!

[@DaniloPereiraEng]

Thalles Vinicios, lembre-se que eu não estou derivando um quociente, mas sim aplicando a Regra de L'Hopital, deste modo devo realizar a operação separamente, no denominador e no numerador. (Por algum motivo não aparece a opção "Responder" abaixo do seu comentário... Isso acontece também com alguns outros colegas do canal, e eu acabo não conseguindo respondê-los. Se tiver alguma dica sobre isso deixe aqui.)

[@THALLESV]

Eu entendi amigo obrigado ;).... (aqui esta normal no navegador Google Chrome)

[@fredluiscabral]

Excelente aula Danilo, mas vale deixar claro em quais casos essa técnica (coordenadas polares) NÃO vai dar certo. Talvez valesse a pena dar pelo menos um exemplo onde ela falha: tente resolver: lim (x,y) -> (0,0) (2xy^2)/(x^2 + y^4). Usando coordenadas polares você terá a impressão de que o limite existe, pois o resultado não vai depender de theta, mas esse limite NÃO existe. Se você usar o caminho (0, x) dará 0 e se usar o caminho (x^2 , x) dará 1. O fato é que o uso das coordenadas polares define um "tipo" de caminho e para provar que o limite existe deveríamos poder testar TODOS os caminhos possíveis, mas isso é impossível. Neste exemplo que lhe mostrei, procurar as curvas de nível fica mais fácil, porque elas tendem a passar pela origem, mas cada uma terá um valor distinto da imagem, provando assim que o limite não existe.

[@binaoak]

Muito bom Danilo, parabéns pela aula!

[@engenharianassau2552]

ENFIM Aprendi !!!!! que massa, parabéns!!

[@Aylla_Game2024]

Filé.. . muito bom... meus parabéns

[@carlosvascaino1]

Me ajudou bastante em Calculo C,muito obrigado,abraços

[@uncharted_me]

Não estava conseguindo provar se os limites existiam pela definição formal (com Epsilon e delta) e esse vídeo me ajudou muito a aprender outra forma de provar... Muito obrigada!!

[@luispaulondeassumpcao7937]

Infelizmente a coordenada polar ainda não é suficiente p/provar q o limite existe. Ela só te diz sobre a probabilidade do limite existir. Já vi um exemplo em q o limite por coordenada polar deu um valor e por um caminho específico deu outro. Infelizmente não se aplica a todos os casos, vc ainda terá q usar a definição p/ter certeza absoluta se o limite é o valor q vc encontrou

[@rafalaves7851]

Nossa, como explica bem. Parabéns, já estou inscrito.

[@touchscreenish]

Que didática em, parça! Não nos abandone! kkkkkkk

[@sabanai121]

Danilo sua aula é muito boa e me ajudou muito parabéns pelo trabalho

[@DaniloPereiraEng]

Obrigado, Sabanai!! Espero que continue servindo na construção de vitórias para outros colegas.

[@juliosena2133]

Muito bom, parabéns pelo trabalho...

[@dmitrijordao7777]

Ótima aula! Muito obrigado!

[@alicefranca6214]

Melhor professor! Me ajudando mt!!!

[@mateussossego]

Parabéns!!! Muito bom.

[@guilhermegavioli3189]

Parabéns!!! Vc ajudou pra Caralh!!!

[@DaniloPereiraEng]

Obrigado, Guilherme!

[@arnaldobraga7671]

Muito boa a explicação.Obrigado!

[@DaniloPereiraEng]

Arnaldo Braga ! Obrigado por deixar seu registro!

[@eukarensantana]

Excelente didática, tirou todas as minhas dúvidas. Muito obrigada =D

[@DaniloPereiraEng]

Obrigado pelo elogio, Karen!

[@italorezende1929]

no 7:00 você esqueceu de colocar o 1+cos³teta ? não vai fazer diferença no resultado, mas eu não entendi pq o ³ sumiu

[@arianegomes8830]

exato , tbm nao entendi o sumiço do ³

[@diegocarvalho9346]

Muito obrigado pelos seus vídeos! Vc é 10!

[@DaniloPereiraEng]

Diego!! Obrigado, cara!

[@karlak6380]

Ótima explicação!!! Adorei

[@DaniloPereiraEng]

Obrigado, Karla!

[@LONGINO4]

Muito bom Danilo, meus parabéns pelo trabalho. Vamos ver se vai dar pra salvar a prova de hoje huehuehue

[@carloseduardolima7443]

muito bom!!! ótimo professor está de parabéns!!! :) me salvou!

[@sedanfiliphgusmao9751]

+Danilo Pereira conhece algum livro que usa coordenadas polares pra calcular ? Muito boa aula

[@leaolln]

SENSACIONAL!

[@Iluizfern]

Em 10:56, já que sen@cos@ são constantes, e a derivada de uma constante é 0, não deveria ter ficado só 2R?

[@reydson]

+Luiz Fernando não, pois está multiplicando a variável derivada :)

[@darwinnimoy304]

Ajudou muito mesmo , obgggg!!! c:

[@Luan-fj8nt]

Brilhante

[@XavierBrazilian]

TOP .. meu professor não ensinou polar mas sim pela definição o que torna tudo muito mais dificil!!

[@saulosilva1236]

+Bruno Silvério Logo mais ele deve abordar o assunto ou talvez tu veja isso em cálculo 4, já que algumas universidades tem o costume de organizar a matéria para determinada turma em uma ordem incomum para conciliar com o estudo de outras matérias.

[@RenanPereirarps]

Show!!!!!!

[@carolmarques6987]

Não poderia cortar o r² de cima com o debaixo?

[@valdirsouza1180]

otima explicação,esse método serve para todos os limites de duas variáveis?

[@DaniloPereiraEng]

Valdir Souza , olá! A estratégia não se aplica a todas as funções. Dê uma olhada na descrição do vídeo. Abraço.

[@lucashelio3633]

5:13 se você separar os limites em (x²+y²)/(x²+y²) e x*[x²/(x²+y²)] o primeiro dá 1 e o segundo dá zero e a soma 1

[@guilherme7973]

Professor, no caso de eu ter uma situação onde a função chegue em algo semelhante a: LIM R --> 0^+ (R Tendendo a 0 pelo lado positivo) R²*sen³θ*cosθ (Qualquer situação onde os "θ" estejam sendo multiplicados por um R --> 0) nesse caso o resultado iria dar 0 né? isso apareceu diversas vezes aqui espero não estar errando pois se não errei a lista inteira.

[@josimar3107]

Vc ja nao tirou o R^2 em evidencia uma vez como vc tira ele dinovo (7:07 min)?

[@DaniloPereiraEng]

Olá, Josimar! Tínhamos a soma de três termos no meu numerador: (R²cos²θ + R²sen²θ + R³cos³θ). A primeira vez que coloquei o R² em evidência, o fiz apenas para os dois primeiros termos; de modo que minha expressão se reduziu à forma R²(sen²θ+cos²θ) + R³cos³θ, e pela relação fundamental da trigonometria (sen²θ+cos²θ = 1), reescrevo: R² + R³cos³θ. Agora, ao invés de 3 termos, tenho apenas 2, e posso novamente colocar o R² em evidência, já que ele aparece nos dois termos: R²(1 + Rcos³θ).

[@josimar3107]

Danilo Pereira A entendi a sua explicaçao foi muito boa me ajudou muito Obg. Ja assinei o canal.Bom dia e Obg pela atençao.

[@orlandomundoco4830]

Quando eu transformou pra coordenadas polares o valor do limite em coordenadas polares de R tendendo a zero pela direita é igual ao valor do limite da função original com (x,z) tendendo a (x0,y0)???? Ou seja, o valor do limite que eu encontrei com coordenadas polares é a resposta de um exercício que pede o valo de um limite de duas variáveis?

[@DaniloPereiraEng]

Orlando Mundoco, beleza?! Sim, é a resposta do limite. Apenas a título de exemplo, imagine que um exercício te pedisse para marcar um ponto (x,y) em um plano cartesiano, e ao invés disso você transformasse este ponto para a notação polar e em seguida o marcasse no plano. A sua resposta estaria correta? De mesmo modo, uma função escrita na forma polar descreve o mesmo gráfico que esta escrita na forma cartesiana, de modo que todas as informações da função estão preservadas.

[@orlandomundoco4830]

Danilo Pereira Obrigado. Valeu mesmo!

[@gracinhamartins.]

A carinha de feliz porque vou ser aprovada em calculo 2 :)

[@DaniloPereiraEng]

huhull !! E ai?? Calculo 2 já é passado, sim ou claro? :D

[@luispaulondeassumpcao7937]

Prof, eu não entendi pq vc considerou q a diferença de cubos de cos e sen de theta é uma função limitada, se isso nem está em função de r? Não deveria estar?

[@guilhermeferrarib]

O R esta tendendo a 0 porque w e y tendem a zero ou o R sempre tende a 0?

[@10murlock]

Grande professor, muito obrigado, os seus vídeos tiraram todas as minhas dúvidas referentes a alguns exercícios...porem tem um ex que eu ainda nao consegui fazer, limite de (x,y)-->(0,0) de arct(x/y), se puder me ajudar ainda mais agradeço!!

[@luispaulondeassumpcao7937]

Esse é mto fácil. Vc substituindo chegará a arctg(cotg "theta"), pois cos/sen = cotg. Como sua resposta ficou em função de "theta", o limite não existe. Não tem segredo

[@pedroeveling3774]

quando o ponto a ser analisado não está na origem, aplica-se da mesma forma r->0+ , x=rcos e y=rsen ?

[@luispaulondeassumpcao7937]

a substituição será x=x0+r*cost e y=y0+r*sent onde x0 e y0 são as coordenadas do ponto. Logo, se for o ponto (1,6), vc substituirá x=1+r*cost e y=6+r*sent

[@larissareis6917]

Só um sentimento: Danilo

[@DaniloPereiraEng]

[@leogiuberti]

Danilo Pereira, você é o cara !! Me tire duas dúvidas: esse método vale apenas para (x,y)-->(0,0) ou pode ser aplicada (x,y)-->(1,1), (x,y)-->(1,0) e assim por diante... ? E quando for um caso em que meu x^2 estivesse com uma constante multiplicando ? ou seja, fosse 2x^2 + y^2 ( coloquei como exemplo uma constante 2 multiplicando o x). Creio que já falharia este método ( pois já não teríamos como fazer a substituição trigonométrica) Até pensei em fazer essa substituição (2cos^2θ) por 1 + cos(2θ) mas agarrei. Se tiver como continua-la, me dê um help. Espero que dê para entender a minha dúvida kkkkkkkk. Muito obrigado e sucesso !

[@DaniloPereiraEng]

Leonardo Giuberti beleza!? O método funciona para esses casos também, tenha em mente que uma função f(x,y) será reescrita sob a forma f(x0+ Rcosθ, y0 + Rsenθ), sendo (x0,y0) o ponto no qual se quer investigar o limite, que pode ser (0,0),(1,0), (0,1), ou outros como queira... E, se por acaso a função f(x,y) também tiver em sua lei de formação algum coeficiente que multiplica x (ou y), isso também não muda nada, as operações aplicadas ao x agora vão ser aplicadas em (x0 + Rcosθ), e isso independente de ser uma raiz, potência, ou um coeficiente multiplicando. Valeu!!!

[@THALLESV]

Em 11m:33s você derivou usando apenas a regra da cadeia no caso vc não deveria usar a regra de divisão que seria a derivada da primeira vezes a segunda menos a primeira vezes a segunda dividido pela segunda ao quadrado?

[@luispaulondeassumpcao7937]

Regra de L'Hopital é a razão das derivadas e não a derivada da razão

[@rubensbelem2324]

prq vc so faz exemplos com (x, y) tendendo a (0,0), e nao tendendo a um outro ponto? como por exemplo (1,6)

[@DaniloPereiraEng]

+Rubens Belem , o Leonardo Giuberti levantou a mesma questão; dê uma olhada lá na resposta para jogar uma luz sobre este assunto. (y)

[@luispaulondeassumpcao7937]

Prof, eu gostei mto das coordenadas polares p/testar a probabilidade da existência do limite. Mas eu li na descrição do vídeo q isso não se aplica a todos os casos. E vc tem razão, pois eu já vi em uma vídeo aula q o limite quando (x,y) -> (0,0) de (x²y)/(x^4+y²) dá 0 por coordenadas polares, mas por cima da parábola y = x² dá 1/2. Mas então, se eu chegar a um resultado numérico de limite por coordenadas polares isso ainda não é garantia 100% de q o limite existe, o q eu faço? Tenho q usar aquela definição formal com "epsilon" e "delta" p/tentar provar q o limite é o valor encontrado na coordenada polar? Eu tenho bastante dificuldade c/essa parte

[@RafaelPereira-yr6yv]

Professor, seus videos são excelentes, mas tem algo que pra mim é uma dificuldade. Estabelecer quando a função é limitada. Será que teria como o senhor fazer um vídeo referente a isso? Desde já obrigado !

[@DaniloPereiraEng]

Raphael!!! Beleza? Eu já abordei este tópico dentro do "Limite para funções de duas variáveis (1/2)", lá conversamos sobre a definição, os principais exemplos e uma análise gráfica. Sucesso!

[@luispaulondeassumpcao7937]

Geralmente qdo uma função é limitada vc tem sen e cos e/ou uma fração cujo denominador é obviamente maior q o numerador. O seno e o cosseno, por exemplo, estão sempre entre -1 e 1 e x²/(x²+y²) está sempre entre 0 e 1. Mas pq? Qualquer coisa ao quadrado é sempre positivo e se eu somar x² com y², q obviamente é positivo, a soma será maior do q ele. Assim, a divisão x²/(x²+y²) será uma divisão positiva de um número menor por um número maior. Assim, seu resultado c/certeza está entre 0 e 1 Não sei se deu p/entender, mas é mais ou menos assim q funciona. Só não entendi por q cosseno de theta ao cubo menos seno de theta ao cubo é limitado

[@raphaelbica849]

Posso utilizar esse metodo sempre?!

[@MRVicyoda]

Danilo Pereira o resultado do limite na forma polar é o resultado do limite no cartesiano?

[@DaniloPereiraEng]

Victor Rios Sim, o resultado do limite será o mesmo. A título de exemplo, experimente fazer este exercício por polares: Lim [sen(x²+y²)]/[1-cos(raiz(x²+y²))] quando (x,y) -> (0,0). Depois de feito confira a sua resposta através de outros mecanismos (calculadoras, wolfram, etc...). E, se tiver dificuldades para executar o limite, escrevi as dicas abaixo: 1. Faça a mudança de coordenadas para polares; 2. Você irá notar que depois disso seu limite cai em uma indeterminação do tipo 0/0; de modo que você não poderá aplicar o limite (r -> 0) imediatamente, será preciso retirar a indeterminação; 3. Use a regra de L'Hopital, lembrando-se que você não precisará usar a regra do produto para derivadas, é muito mais simples do que isso: basta derivar em cima e derivar em baixo; 4. Ainda assim a indeterminação irá persistir! Não se preocupe, aplique novamente L'Hopital; 5. Agora, finalmente, estamos livres da indeterminação, e podemos aplicar o limite; 6. O resultado é 2.

[@MrKlose1000]

Pq na ultima questão o resultado é cos(0) e n 0? Não entendi isso .-.

[@Julioolimor1]

Por que foi calculado o limite do arco do cos, logo cos(0)= 1

[@dayhannelangkammer194]

Porque você sempre tende o R pela direita?

[@DaniloPereiraEng]

Você assistiu o primeiro vídeo sobre Coordenadas Polares? Então, os valores de R que estou trabalhando pertencem ao Conjunto Principal, logo são sempre valores > 0, portanto sempre o meu R irá se aproximar de 0 pela direita. Mas isso não irá influenciar nos seus cálculos... Pode assumir como uma definição para esta mudança de coordenadas, não se preocupe.

[@luispaulondeassumpcao7937]

Pq ele representa o raio de uma circunferência com centro no ponto em questão. E como o raio é uma distância, ele é sempre positivo. Por isso tende a 0 pela direita

[@luispaulondeassumpcao7937]

@@DaniloPereiraEng Sinto mto prof, mas vc está enganado quanto a isso não influenciar nos cálculos. Pode no meu cálculo, por exemplo aparecer a função 1/r, cujo limite em 0 não existe pois depende se r tende a 0 pela esquerda ou pela direita. Tendendo pela direita existe e vai pra infinito. Nesse caso, podemos sim chegar a uma conclusão errada sobre o limite

[@jessicanogueira9064]

Por que você usou a notação (x,0)->0 e não (x,y)->(0,0)? Não tem diferença?

[@DaniloPereiraEng]

Jéssica Nogueira Física na UFPA? Tive uma professora de Desenho Arquitetônico graduada em sua Universidade, muito competente e responsável. Deixou uma boa referência para nós de sua Escola. :) Sim, existe diferença. Para um limite aplicado a uma função de duas variáveis fazer (x,0) -> (0,0), significa que na verdade eu estou tomando uma dessas variáveis como sendo constante e igual a zero. Não me lembro de ter precisado fazer isto nesta segunda parte do vídeo... Onde foi?

[@michele2510]

Por que R-> 0? E se não for (x,y) -> (0,0), R tenderá a quanto?

[@luispaulondeassumpcao7937]

0 do mesmo jeito. As coordenadas do ponto só vão entrar na sua substituição, é só adicionar à substituição do x a coordenada em x do ponto, e na coordenada em y a mesma coisa

[@lizandracarolinevalentegai887]

e quando houver 3 variáveis tipo lim x.y.z^2/x^2+y^2+2.z^2 .............................................(x,y,z) --> (0,0,0)

[@DaniloPereiraEng]

Olá, Lizandra! Tudo bem? Este vídeo trata apenas do caso particular de funções que tenham duas variáveis. Mas você pode resolver este limite, em especial, sabendo que esta função é o produto de duas funções: uma limitada (z²/x²+y²+z²) por outra que o limite vai para zero (xy); então o limite dessa f(x,y,z) quando (x,y,z) -> (0,0,0) é zero.

[@heitor_lebre]

vc não aplicou a regra do produto em derivadas em uma das questões e esqueceu de mudar o sinal qnd derivou o cos para sen.

[@luispaulondeassumpcao7937]

Vc está confundindo as coisas. É pra derivar em relação a r apenas, tratando "theta" como uma constante, como nas derivadas parciais. Só imagine o "theta" como uma variável na sua resposta final

[@josuelsilva3351]

Gostei muito!!! Só não entendi até agora porque o limite só fica em função do danado desse R. Já vi em vários vídeos, e ninguém explica porque o limite só fica em função de R, e não de téta também kkkkkkkk

[@luispaulondeassumpcao7937]

Porq qdo vc usa coordenadas polares, vc está parametrizando uma circunferência com centro no ponto em questão, e fazendo seu raio diminuir cada vez mais, tendendo ao ponto. O "theta" representa o ângulo q o segmento q liga a origem a um ponto da circunferência faz com a horizontal. Não faz sentido ele tbm tender p/algum valor

[@fredluiscabral]

Excelente aula Danilo, mas vale deixar em quais casos essa técnica (coordenadas polares) NÃO vai dar certo. Talvez valesse a pena dar pelo menos um exemplo onde ela falha: tente resolver: lim (x,y) -> (0,0) (2xy^2)/(x^2 + y^4). Usando coordenadas polares você terá a impressão de que o limite existe, pois o resultado não vai depender de theta, mas esse limite NÃO existe. Se você usar o caminho (0, x) dará 0 e se usar o caminho (x^2 , x) dará 1.

[@DaniloPereiraEng]

+Fred Cabral tudo em paz?! Exatamente. A transformação de coordenadas contempla muitos casos, porque ela avalia todos os limites caminhando por várias retas definidas pelo ângulo teta. Entretanto, para o exemplo de algumas funções que apresentam em seus gráficos uma espécie de "degrau", o método induz a uma conclusão falsa. Não detalhei isto no vídeo, mas acrescentei o comentário na descrição. Valeu, Fred!! Sempre que possível esteja aqui trazendo suas contribuições. Abraço!

[@fredluiscabral]

+Danilo Pereira Prazer todo meu poder contribuir. Sou estudante de Física atualmente mas já sou matemático. Indiquei teu canal para meus colegas da faculdade de Física pois gostei bastante da sua didática. Parabéns pelo canal ;-)

[@DaniloPereiraEng]

Fred Cabral, muito obrigado! Como costumava dizer meu professor de Geometria Analítica: "você faz parte da pequena parcela da sociedade que não se omite". Sucesso!!

[@luispaulondeassumpcao7937]

Talvez os casos em q a coordenada polar falha são infinitos

[@taironesilvano3279]

SHOW ME DA UMA DICA NESSA AI ( X^2)(Y)(E^Y)/(X^4)+(4Y^2) FOI A ÚNICA QUE NÃO CONSEGUI, GOSTEI MUITO DO MÉTODO. ESTOU IGUAL AO" MISERÁVEL" "ACERTOU DE NOVO MISERÁVEL!! QUEM TE ENSINOU ? KKKKK COISAS DA NET. PARABÉNS PROFESSOR!!!! DESDE JÁ AGRADEÇO A ATENÇÃO!!!

[@DaniloPereiraEng]

+Tairone Silvano , beleza? Se tratando de um limite onde (x,y) -> (0,0), posso concluir que ele existe e vale Zero, porque este é o caso de uma função limitada: x^2 / (x^4 + 3y^2); multiplicada por outra que tende a zero: y*e^y. Abordei esta estratégia na primeira parte da vídeo aula. Sucesso!

[@jonatadossantos3419]

Se existem exceções para este método, em que ele afirma falsamente que o limite existe, então ele não vale de nada. Você nunca terá certeza que o limite existe somente por esse método, deve ser por isso que ninguém ensina ele.

[@luispaulondeassumpcao7937]

Mas pelo menos ele te diz sobre a probabilidade do limite existir e quanto ele vai valer caso exista. Nesse caso, a gente tem q tentar provar o limite pela definição com "epsilon" e "delta", acredito eu. Mas mesmo assim ele é um método mto bom, pois mesmo não tendo a garantia 100% de q o limite existe, pelo menos vc matou o limite por bilhões de caminhos numa tacada só

[@eliasrodriues6614]

Delete este vídeo você cometeu equívocos sérios em sua vídeo aula. Pelo bem da matemática!!!