４次元球の体積を計算してみた

[@tetsuyainada8013]

視覚化できなくても求まるのは数学の魅力

[@00ATOZ001]

4次元以上はイメージがしにくいが 円や球の 「式の作り」における変数の数を増やすことで n次元の球というものを「定義」している 4次元の球などがそもそも存在していてそれを紐解くというよりも 4次元の球をどう定義しようかという風に理解しなければいけないよ

[@お茶漬玄師]

俺文系だから4次元球の心情でも考えようっと

[@user-fc1xm9zh5f]

俺理系だから四次元球の心情考えてる人の積分でもしよっと

[@tin9558]

@@user-fc1xm9zh5f ∫人 は草

[@廃れたダイヤモンド]

だったら書き忘れられる積分定数でも考えなさい

[@user-gg3bv6jn9q]

「こんなのも出来るようになるんだよ」ってことを教えるってめちゃ重要よね。

[@takahirokobayashi1385]

今月の科学雑誌「ニュートン」で4次元の特集していましたよ。

[@モツ2個]

理解できた！式の立て方が丁寧でわかりやすかったです！ こういう結果から4次元空間ってのがどんなのか予想ついてたりするんですかね

[@コホ-h6f]

とても分かりやすいです。ありがとうございます。

[@アドルフヒトラー-i1l]

ウォリス積分はヨビノリでやってたな

[@ログモグ]

多分、皆さんが理解に苦しむのは、空間と言われると、どうしても現実の（空間）を連想してしまうからでしょう。どちらも空間って言ってるけど、数学における空間は、別に我々がイメージする空間ってわけではないんですよ。3次元空間（基底ベクトル3本で表せるような点の集合）が、たまたま私たちがイメージする空間に（適用）できただけであって、4次元空間、5次元空間、、、というのは、基底が4,5,...本になるだけであって、別にその基底が我々がイメージする空間軸である必要はないんだよ。だから、4次元空間ってのは、別に我々がイメージする現実の空間のさらに1つ上ではないのですよ。現実は間違いなく3次元であり、4次元空間が我々に想像できないのではなくて、現実にはないのですよ。物理学の空間と数学の空間を同じと思ってしまうことによる誤解ですね。実際に、超ひも理論の11次元なんかは、多くの人は自分たちの見えない、得体の知れない空間が、どこかに広がっていると思っていらっしゃるのでしょうが、全然そんなロマンのある話ではありません。まあ、たしかに物理学者も騙すためにわざと盛って言っているだけかもしれませんがね。

[@okim8807]

@@user-xl4cv4ml7u 横からだが、現実の空間っていうのは物理学で研究し理解されているモノだろう。 古くはガリレオのピサの斜塔や振り子で示された一定重力の空間、 時代を経て、ケプラーやニュートンが示したのは無重力空間に質量点が点在する空間、 近代になればアインシュタインやシュレディンガーが更に複雑な空間を示した。 現実の空間と、数学の世界と、この２つは全く別個のモノ。 混ぜたら危険。

[@okim8807]

現実の空間の近似を記述・計測・理解・予測するのに数学という道具が便利というだけの話。 数学は、現実の空間に縛られていなく独立している。 たとえば、宇宙や素粒子の領域で新発見があった事で、数学の理論体系が「今までの数学は間違ってしました」と修正されるだろうか？ これは無いと考えるのが妥当。 数学は「現実の空間の観測や実験」無しに、公理から組み立てられる。 記述または概念のみが必要。 観測や実験は不要。 物理学は「ここまでは絶対に正しい」というのが存在しない。 ガリレオがピサの斜塔から球を落とす事で、物理学が根底から変わった。 ニュートンがリンゴが落ちるのを見た事で、物理学が根底から変わった。 アインシュタインが電磁気の方程式を睨んだ事で、物理学が根底から変わった。 あらゆる法則に「証明」がなく、 「観測結果と同じだから多分正しいんだろうね」 「予想通りの結果が得られたから、あっちの法則よりもこっちの法則が正しいんだろうね」 という事に過ぎない。 物理学と数学は、新しい事項の「発見」、それが正しい事の「確認」、それらをまとめて分野が「発展」していく。 そのアナロジーから同じようなモノと見る事もできるけれど、、、 本質は全く別個のモノ。 数学は公理からの組み立て。現実の世界とは独立している。観測不要。 物理学は現実の世界の観測結果の理屈付け。観測必要。（数学を道具として使う事で理屈付けが容易になり、観測前の予測すら可能になったという実績はある) これ以外にも、数学と現実の世界で全然違うなと思うのは、、 数学では、半径1cmの球というのが存在するけれど、 現実の世界では、半径1cmの球というのは存在しないという、差。 現実の世界というのは、数学で記述できる世界の、厚みの無い切断面の、極々小さな切片を、少し歪めたモノでしかないと感じる。 逆に、ベアリング工場から取り寄せた「半径1cmの鋼球」の重さや熱容量や「実際の半径」の正確な観測・記述が不可能というのも、数学と現実の世界の差と思う。 つきつめると、全く別のモノかな。

[@okim8807]

@@user-xl4cv4ml7u 「oki m は現実世界を３次元だか４次元だと思ってる。」 と勝手な決めつけて、長々と妄想ポエムを展開している様子だが、 oki m は現実世界を３次元空間とも４次元空間とも思っていない。 あるとすれば、 ３次元としてモデル化すると現実世界を上手く計算できる、 ４次元としてモデル化すると現実世界を上手く計算できる、 １０次元としてモデル化すると現実世界を上手く計算できる、 １１次元としてモデル化すると現実世界を上手く計算できる、 というだけの話だ。 とりあえず、現実のoki m を無視して、攻撃しやすい愚かな oki m を妄想してそれに対してポエムするのはやめてくれ。 それとコメントにわざわざ低評価を押してるのがいるようだが？

[@h.s.1143]

ロマンを切り離せない人と切り離せる人の溝よ

[@Knot-s7x]

うぽつです！

[@algo__6429]

21:06のところ、Inはcos^nですが上のVn+1ではcos^n+1です。 ずれていませんか？ I3なのでは？

[@ybk7540]

cos^4なのでI_4で合ってますよ V_(n+1)の式もI_(n+1)です

[@aquagraph]

数学って想像力を超えますね！ この動画を見て、本当に夢のある学問だと感じました。

[@user-nl8ei4xe4t]

たのしいなー動画これからも応援してますです

[@yamaneko_0523]

リクエストなんですが、受験とかで出てくる1/6公式の一般化された式をベータ関数を使って解説してほしいです！

[@user-dt8kz4fn4k]

Masaya Y なんか違和感ある言い回しやなヮラ

[@user-ki2jg5gu8s]

どんだけ数学好きやねん

[@nari-hira9676]

善の イデア 秋月先生ですか？笑

[@michidayo_1729]

岡潔の映画ですね！

[@cpord-xg7dh]

たくみ氏の動画でウオリス積分の公式が紹介されているのを見たけれど、これだとｒの指数は次元と同じ、パイの指数は偶数次元で変化[n]、数値は2,1,2^2/3,1/2,2^4/(3*5)。なんか一般項も導出できそうな雰囲気かな（笑？

[@h.s.1143]

じゃあ、「n次元球」の体積は？ (自分で求めりゃ良いかもしれんけど())

[@あああ-h2f8p]

そら円、球ってきたらアナロジー的にn次元で考えられそうだけど、三次元以上だと数式ではわかってもイメージが追いついてこないから擬似的にスクエア氏になったような気になる。

[@tyoim]

4次元球にも表面積や三次元の体積があるのかしら

[@user-kj7xo4ei1b]

4次元体の表面は3次元なのですよ

[@toohuudoo]

n 次元の一般化した極座標で球を表したら何かおもろい結果でもでるかな。

[@RUputin]

四次元だとベクトルは４つで一次独立ですかね？

[@kawasemi1027]

ｎ次元にも"体積"という表現を用いて大丈夫なのでしょうか

[@gale_straits2695]

そこを追及すると「体積」の哲学的探究になってしまうので、ここは踏み止まって置いた方がいいと思いますね。 まぁ、その昔拙者が解析学を習った教授は「ｎ次元求積」と言ってました。１次元：直線，２次元：面積というのは原初段階からの概念ですが、これに３次元：体積が加わると、人間の生活する物理空間の解釈がほぼ足りてしまう。よって、０次元，４次元，５次元・・・　ｎ次元・・・　∞次元と拡張する事に興味を持つのは少数の奇特な方々に限られるので、面積，体積という一般的な呼称に拘るのはあまり意味がない様に思えます。

[@nnnnameko2091]

4次元の球の体積を求めたって 3次元の円の面積を求めたっていうのと同じニュアンスですよね？ よく分からなくなってくる、、、

[@RYO-wd2cp]

並盛ナメコ丼 違います． 1次元球の体積=線分 2次元球の体積=面積 3次元球の体積=体積 4次元球の体積=名無し 以下略です．

[@mankintan3982]

声が将棋の佐藤康光九段似。

[@_lulu753A87]

mankintan もうちょっと低くない？

[@ぽるて-s6m]

幼稚園児にもわかりやすい

[@festibal_TYT]

2次元:2πr 3次元:∫2πrdr=4πr^3/3だから 4次元球の体積＝∫4πr^3/3 dr=πr^4/3 になるんかと思ったら 意味わからんπ^2とか出てくるんか...

[@tomskitchen4296]

一般式はできないんですか？

[@下人-m1l]

漸化式が一般式みたいなもの

[@Naitoritobe]

漸化式解いてウォリスの公式を得ればいい

[@user-hi7uc5nx9s]

ぼくちゅうがくせい いんてぐらるだいすき

[@user-xi7jm5qe5p]

無限等比級数 ちょっと好きだけどな

[@user-in3oe3rm4u]

ぼくしょうがくせい びぶん♪せきぶん♪わ〜い♪

[@algo__6429]

18:04からの(cos)'がなんで付いてくるのかわかりません。。。

[@shinnijiemo]

単純な合成関数の微分ではないですか？ f(x)=x^(n+1)と見れば f'(cosx)=(cosx)' (n+1) (cosx)^n となる気がします

[@maka8369]

今年から高２だし一応理系だけど数学めっちゃ得意って訳でもないけどタイトルが面白そうな感じですぎてて見ざるをえなかった

[@user-nl5fm9br8m]

0次元を考えた時答えが1になって違和感

[@absant2913]

V1=r*V0*I1 V0=2r/2r=1か。ほんまや

[@nacaichi]

余計なお世話かもしれませんが一応説明っぽいものを 初めの解説にもありましたが、3次元球の体積は通常の「体積」、2次元球の体積は「面積」、1次元球の体積は「長さ」というようにいうなれば「量の次元」も同時に小さくなっていることに注意しましょう。すると 0 次元に対しては「長さ」よりもさらに次元が落ちた量を測っていることになります。この量が何かというのは定義によるかと思いますが「含まれる点の個数」と考えれば1になるのも一応納得できるのではないでしょうか。

[@user-hq5ei9nx3u]

累乗や階乗と似たようなものだと思う

[@橋本理-b5s]

どうもありがとうございました。

[@草Zブルームシャインエクストラ]

開幕下ネタで草

[@しーまうんてん]

4次元は意味不

[@user-xj4dm6yp8o]

@コッシーではない 今の若者は意味不と言うんですよー

[@user-cl8po5wc2r]

１次元を２πｒと定義したい気がしたりしなかったり💛

[@takahirokobayashi1385]

超ひも理論は11次元らしい。

[@hiro009able]

天文学や宇宙物理学では4次元、5次元という言葉が出てきても、全く違和感はないですよね。

[@大新将サブ]

中3が見るんじゃなかった… (。v°)

[@wakame9209]

同じく中3です。 いつも高校入試問題を解説してくれているのでAKITOさんを見てます( ´ ▽ ` )ﾉ

[@mieumieu8417]

ど・どど・ど・童貞ちゃうわ！ｄｔや！

[@gecchira]

n=1は円周の線でしょ

[@薮根祐司]

次元の前提条件は　線長の累乗(冪数)ではありません 次元は空間の変化要因であり　点や線や面には体積量がありませんので何乗しても　無空間という　虚構になります！

[@user-tl9on8su1w]

4次元ベクトルって時間なのに求められんのか

[@KaronNO-ct9sh]

もぐらくん この場合は4次元空間を想定しているのではないでしょうか？

[@pigsouma544]

僕は小学生

[@とーき-l9e]

ℝ‌〜

[@10fujimaunn54]

4次元球の体積... なんかちょっと違和感がｗ

[@しゅん-o1y]

10fuji maunn 三次元でも面積求められる

[@10fujimaunn54]

んーそういうことではなく、 「体積」って3次元の大きさだから、4次元だとなんか違う気がして。 まぁ、そんな言葉ないから仕方ないとは思うけどね。

[@10fujimaunn54]

そゆこと

[@user-cz3dz9pd7s]

4次元体積にしちゃおう！

[@sanpenpao]

直観的思い込みだが、 ３次元球でπ、４次元球でπ＾２、５次元球でπ＾２ では、自然の美しさを失っている。

[@1つ星]

そうですかねー？ 0次元？では1？らしい つまりπの個数0個(なんか語弊がありそう 1次元で2r、つまりπの個数0個 2次元でπr^2 つまりπの個数1個 3次元で4／3πr^3 つまりπの個数1個 …………以下略 っていう感じで0,0,1,1,2,2…って感じで増えているから 失ってないと僕は思う すみません、反論みたいになって 二ヶ月前のコメントに何を返してんだ？w 僕

[@らむねりあん]

キャンセルw

[@のぎー-b5m]

大学生こんなん勉強すんのかよ なにがしたいねん

[@d_ewd_ms_mono]

そう怒らないでください。