Calcul tensoriel : 2. La convention d'Einstein + PDF

Maths+1 (chaîne KZbin de mathématiques)
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Second épisode d'une série destinée à introduire le calcul tensoriel. Les tenseurs sont utilisés par exemple en relativité générale une théorie proposée en 1915 par Albert Einstein.
Cet épisode expose les bases relatives aux matrices, à la notion de double indice, aux notions d'indice libre et d'indice muet, au symbole de Kronecker et à la convention de sommation d'Albert Einstein.
Pour télécharger le PDF (tenseurs2.pdf) :
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© 2020, Maths+1 • Éric Pruvost • [e-mail]
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[@evangelospapadopoulos8157]

Mr Pruvost, je vous remercie pour la qualité exceptionnelle de vos vidéos.

[@theotimeregimbeau6805]

Un travail très clair qui permet d'appréhender mathématiquement un concept aussi complexe que la la relativité d'Einstein. Merci beaucoup 👍

[@mathsplusun]

Bonjour, merci beaucoup j'espère que la suite qui va être plus ardue vous plaira :)

[@EricBrunoTV]

Très bon cours. J'aurais suggéré de faire de petits exemples avec des nombres réels pour que ce soit un peu plus concret, et surtout pour bien comprendre les limites et les avantages de l'utilisation de cette notation qui semble pas facile du tout à comprendre. 😋🤪😝

[@kelticlago]

Quelle clarté! Merci pour ce travail!

[@FatimDosso-c1y]

Très bien fait 👌

[@adfr1806]

Super vidéo : très clair.

[@fabiencosi1368]

C'est très progressif et donc très accessible. Merci!

[@arthurchaniot7461]

Merci beaucoup !

[@mathieukrisztian6022]

Merci pour ce cours

[@gaelbertinetti5358]

Sur un téléphone portable, on a du mal à voir les indices... Merci quand même pour cette vidéo

[@mohammeddrioua2880]

Merci . merci ..... c'est formidable

[@mustaphasadok3172]

Merci pour la vidéo.... Be safe... Stay at home

[@mathsplusun]

MUSTAPHA SADOK bonjour, oui c’est l’occasion de publier des vidéos ;)

[@enjilelasam]

Perfect

[@sylvainarth6454]

Bonjour. Une simple question technique. Où ou comment se procurer le PDF ? Merci d'avance. Car, comme certains l'ont déjà fait remarquer, plus ça se complique et plus ça va vite. Du coup, n'étant plus tout jeune et en l'absence de possible interaction, je fais de plus en plus de pauses pour comprendre les implicites.

[@mathsplusun]

Bonjour, le lien du PDF est sous la vidéo.

[@sylvainarth6454]

@@mathsplusun Merci. Je n'avais développé votre texte d'introduction et c'est pourquoi je ne trouvais aucun lien. Les tenseurs, j'en avais eu l'intuition en découvrant les matrices au collège. Ma professeur m'avait juste fais comprendre qu'au delà de deux indices, les "matrices" c'était une autre histoire. Et comme je n'ai jamais atteint le second cycle, je suis resté sur ma faim , jusqu'à ce jour.

[@abdellahelidrissi8840]

Thanks

[@riface28]

Bonjour merci pour cette vidéo, pouvez-vous mettre en commentaire la coquille sur les indices ai ai = a1 a1 + ... j'ai eu du mal à comprendre avant d'avoir vu le pdf

[@AurelLeMoye]

Bien expliqué ! Cependant j'ai une question : à 19:55 pourquoi les indices i et j sont tous les deux remplacer par le MEME indice m ? Pourquoi ne pas avoir par exemple remplacé i par m et j par n ? Car à la base i différent de j donc pourquoi choisir le même indice m en remplacement ?

[@pmolitorisz]

Bonjour, je me suis posé la même question. Je ne crois pas avoir la réponse complète, seulement une piste. Si on ne fait rien ou on remplace les indices en question i et j par m et n par exemple, cela nous laisse avec 2 indices muets, donc deux sommations. Or, nous avons besoin de 3 sommations, la première pour avoir la ligne de la matrice P, la deuxième pour la colonne de Q, et la troisième pour avoir rij en combinant cette ligne et colonne.

[@fabDouze]

J'ai eu la même réaction et il m'a fallu analyser un peu plus pour comprendre. En fait lors de la 2ème étape on écrit r(i,j)=p(i,k)q(k,j) et on remplace "bêtement" chaque facteur par l'égalité (par ex. p(i,j)=a(i,k)b(k,j)) qui précède ce qui revient à écrire: p(i,k)=a(i,k)b(k,j) peut être que c'est la méthode usuelle mais ça ne me semble pas très naturel car les k à droite et à gauche de l'expression n'ont rien à voir Et le j on ne sait pas trop à quoi il correspond (en fait c'est le k de la partie gauche) J'aurai trouvé plus logique d'écire p(i,k)=a(i,l)b(l,k) en remplaçant l'indice muet k par un autre indice muet l parce que k est utilisé comme indice libre. De même q(k,j)=c(k,l)d(l,j) en faisant cela on obtient r(i,j)=a(i,l)*b(l,k)*c(k,l)*d(l,j) Ensuite on substitue le l de la deuxième partie parce que ce n'est pas l même indice muet que le premier en fait. on aurait pu d'ailleurs le faire avant en écrivant q(k,j)=c(k,l')d(l',j) car cette expression est indépendante du p(i,k) On obtient ainsi la même formule que dans la video r(i,j)=a(i,l)*b(l,k)*c(k,l')*d(l',j) Une autre façon de dire tout cela c'est que le i et j en rouge sur l'avant dernière ligne correspondent tous les 2 au k de la partie à gauche r(i,j)=p(i,k)q(k,j). Ce sont les substitions brutes (sans renommage des indices) des formules précédentes qui induisent en erreur. Mais j'imagine que se sont des recettes qu'on donne pour aller plus vite. Après le risque c'est qu'on ne comprend plus trop ce qu'on fait au bout d'un moment je trouve. J'espère ne pas avoir écrit de bêtise car j'ai toujours eu un peu de mal avec les calculs matriciels :-)

[@charly8535]

Je découvre ta chaine, et c'est franchement de la tres bonne qualitée! J'ai une petite question : que signifie l'indice superieur, par exemple dans l'exemple de la convention d'Einstein? Est la même chose que d'écrire une matrice A=a_ij ? Merci!

[@mathsplusun]

Bonjour, à ce stade les indices supérieurs et inférieurs sont de pures conventions. Leur sens véritable va apparaître dans les épisodes 5 et 5bis. Certains auteurs utilisent la convention d'Einstein seulement s'il y a des indices supérieurs et inférieurs et d'autres non.

[@mujomuric446]

Cool colores

[@ayoubhatira6588]

Merci beaucoup Mr PlusUn pour la pédagogie....sauf qu'à la 21 mn (me semble) il y a une faute(vous avez sommez aij et non pas aiaj)

[@farizadahes4710]

Même remarque, où est passé le produit ?? pourquoi ai.ai devient aii ??

[@karlitouformancemendy1355]

pour le symbole de kronikeur, il est egal a 1 si i=j et 0 dans le cas contraire donc aiaj=aiai puisque i=j.

[@oumaimaooo661]

mérci !!

[@evradadaye5614]

Merci.

[@adcasa6111]

Merci beaucoup Monsieur nous appreçions vos efforts, stp j'ai pas bien compris le passage 18:56

[@sergeschaff4508]

très pédagogique

[@bernardjacob3118]

Comme un enfant,je dis: encore !

[@mathsplusun]

bernard jacob Et ça tombe bien il y a d’autres épisodes !

[@quentin62232]

Attention à 21 min il y a une coquille : aiai = Somme sur i (aiai) = a1a1+a2a2+...+anan Et non a11+a22+..+ann

[@mathsplusun]

Quentin Feron Oups ! Oui je viens de mettre à jour le PDF merci, bonne journée :)

[@chanel71biUp]

@@mathsplusun Peut-on alors écrire (a1)²+(a2)²+ ...(an)² ?

[@mathsplusun]

Bonjour @@chanel71biUp, Non ce ne sont pas des carrés.

[@chanel71biUp]

@@mathsplusun mais en utilisant l'opérateur sigma, réaliser la somme sur i des aiai équivaut a réaliser la somme sur i des (ai)² non ? C'est bien ce qu'on fait ici ?

[@mathsplusun]

gaetan p Pardon oui j’étais resté à la coquille initiale ! Et et du coup effectivement l’exemple n’est pas très intéressant.

[@jeanbrunel2794]

bonjour 2 réglages à faire : 1. c'était lent quand c'était très simple et c'est devenu rapide quand c'était délicat et très abstrait vers la fin. 2. les indices multiples sont trop rapprochés pour être lisibles, et les couleurs (malgré un zoom de 300) les discernent assez mal. Ecartez et grossissez le tout quand il y a une longue suite de lettres et chiffres.

[@limitedbeast5884]

22:28 il devrait être présent simplement une fois et non 2 fois

[@YASBEN1510]

Merci.

[@mathsplusun]

Cosmologie JANUS bonjour, adepte du modèle de JPP ?