MQD 5 : Tenseur ?

Voici le 5e MQD, niveau master : on s'attaque aux tenseurs ! Vous avez été nombreux à nous le demander :)
0:00 Introduction
0:23 I- Produit tensoriel
7:29 II- Tenseurs de type (p,q)
10:10 III- Opérations
13:13 IV- Le jeu des indices
21:18 V- Loi de transformation
24:00 VI- Tenseurs en géométrie différentielle
Réferences / Pour aller plus loin :
- R. Sharipov "Quick Introduction to tensor analysis", arxiv.org/pdf/math/0403252.pdf
- livre de Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, "Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique", Dunod, 2007
- chapitre 3 du livre de N. Jeevanjee, "An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists", Birkhäuser, 2011
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Les images proviennent de Wikimedia Commons ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.

[@jean-francoisbiragnet7304]

J'avoue n'avoir jamais rien compris aux tenseurs et là j'ai l'impression d'avoir commencé à comprendre leur intérêt : merci pour cette vidéo !

[@jcfos6294]

.... Enfin une vidéo francophone de qualité sur les Tenseurs!!! Enfin... Depuis le temps que j'attendais ça. Eh bien c'est vous qui vous y coller ! Bravo et merci.

[@jmjhno5165]

Il y a tellement de façon d'introduire les tenseurs! Je crois que celle-ci est la plus formaliste et complète que j'ai vue. Difficile de se représenter mentalement un tenseur après toutes ces définitions et propriétés mais super synthèse sur la notion.

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Pour moi, mentalement un tenseur est soit un tas de nombres (les coordonnées) qui se transforment d'une certaine manière (point de vue concret), ou bien un élément d'un produit tensoriel (point de vue abstrait). Je suis d'accord que les deux ne donnent pas forcément des images mentales claires. C'est peut-être pourquoi les tenseurs sont considérés comme difficiles (même si on reste assez proche des notions traitées en classe préparatoire ou en L1/L2). - Alex

[@Sclun]

Bon va falloir plusieurs visonnages et quelques années d'etudes pour envisager tout ça, mais ça semble tout bonnement passionnant (c'est vraiment beau de voir que les objets plus simples du niveau prepa sont des cas particuliers des tenseurs). Excellente video franchement comme d'habitude, continuez comme ça

[@sega4you]

J'aime bien ce genre de notion fourre-tout qui unifie des choses qu'on croyait différentes. Ça me fait penser aux nombres surréels qui généralisent à la fois les réels, les infinitésimaux et les ordinaux, ou aux schémas en géométrie algébrique qui englobent aussi la théorie des nombres. Le problème c'est que la notion unificatrice est plus complexe à comprendre, mais c'est le prix à payer.

[@manwork6545]

Le calcul tensoriel est un champ important et relativement complexe que ce soit en mathématique ou en physique et il demande un entrainement de longue durée. Très bonne présentation quoiqu'il en soit...

[@Thomaths]

En effet, comprendre le calcul tensoriel nécessite du temps et de la réflexion. La vidéo n'est qu'un aperçu qui, j'espère, donne envie d'en savoir plus :)

[@leporcquirit]

Merci Alex, ce sujet était très attendu ! C'est chaud quand même, je vais la regarder plusieurs fois 😁

[@ivangauvin7986]

On voit un livre sur Feynman en bas à gauche de votre vidéo... Et si vous essayiez d expliquer les tenseurs à un enfant de 8 ans, comme Richard, ne serait ce pas un beau défi "une tomate". Merci pour cette vidéo, elle facilite grandement la compréhension du formalisme des tenseurs. Ça me donne envie de revoir vos vidéos sur la topologie et le lien entre variétés, fibrés et tenseurs

[@condoralpha87]

Mon expérience avec les tenseurs, c'est de cueillir d'infimes notions par ci par là, tellement le concept est '' présenté '' par beaucoup de monde sans pouvoir l'expliquer ou le cerner. Votre vidéo arrange beaucoup de notions éparpillées. Grand merci. Il reste que la majorité des cours tenseurs n'illustrent pas le concept par des exemples concrets : pour, par exemple, ne pas appliquer ces notions sur un tenseur que tout le monde connaît, le tenseur d'inertie. Comment est t il construit. Comment est il décomposé...

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Vous avez raison : le tenseur d'inertie est un très bon exemple concret, ainsi que le tenseur de courbure. Peut-être je ferai une vidéo un jour avec ces exemples. - Alex

[@condoralpha87]

​ Merci de repondre En attendant la video sur des tenseurs concrets...

[@gilldeguill]

Comme je suis en ce moment un cours de relativité générale cette vidéo est la bienvenue. Il va me falloir plusieurs visionnages mais ça clarifie certains concepts. J’avoue quand même que les montées et descentes d’indices ainsi que la contraction (par exemple le passage du tenseur de Riemann à celui de Ricci) restent un peu obscures.

[@didieroger4803]

Merci pour cette vidéo. J'ai eu des cours sur le produit tensorielle.Et c'est complexe.

[@IlyesBenahmed-vf6gi]

Leeeeeet's go. Je l'attendais tellement cette vidéo, mille merci !! En revanche, pourrez vous publier en parallèle les vidéos de Dr Thomaths en français sur cette chaine ? Et à quand la prochaine vidéo sur cette chaine ? Ca fait 3 ans, avez vous abandonné ?

[@nicolaslhomme2117]

Merci beaucoup

[@numv2]

Merci !

[@23win]

Pouvez vous faires des videos sur : la physique statistique / quantique. Je suis particulierement interessé par les calculs mathématiques qui faut savaoir faire du type calcul de la fct de partition, calcul du produit scalaire etc

[@thomaslabbe6871]

Bonjour je suis en train de regarder la vidéo et je me demande si il n'y a pas un problème à 4 min 32 on est pas sensé avoir e1 *f1 +e1*f2 + e2*f1 + e2 *f2 ?

[@yannispetros409]

e1 *f1 +e1*f2 + e2*f1 + e2 *f2

[@Thomaths]

Oui, il y a une coquille : c'est e1*f1+e1*f2+e2*f1+e2*f2.

[@cherbiammar3527]

Bonjour Monsieur C'est avec grand intérêt que j'ai vu et revu votre cartouche sur les tenseurs et tant d'autres vidéos. A ce jour une question me taraude toujours l'esprit. s'agissant de la définition d'une application Multilinéaire d'un Espace Vectoriel E vers le Corps IK (Scalaire) quelle est la différence entre une forme linéaire et un tenseur d'ordre 1 et une forme bilinéaire et un tenseur d'ordre 2. Salutations distinguées

[@Thomaths]

Bonjour, L'ordre d'un tenseur a toujours deux indices : une forme linéaire est un tenseur de type (0,1). Un tenseur de type (1,0) est un vecteur. Une forme bilinéaire est un tenseur de type (0,2). En général, un tenseur de type (p,q) est un élément du produit tensoriel de p copies de V et de q copies de V*. C'est un objet qui prend q vecteurs et p formes linéaires et associe un scalaire. J'espère que cela clarifie vos questions.

[@rizgoureux2743]

4:42 On peut essayer d'écrire le tenseur demandé par un produit du style (a e1 + b e2) * (c f1 + c f2), ce qui voudrait dire, par identification des coefficients une fois développé, que ac = 1 et ad = 0 et bc = 0 et bf = 0, ce qui par l'intégrité du corps choisi est impossible. J'ai bon ?

[@renaudghesquiere5014]

Bonjour, Merci pour cette vidéo. A 6:27 je ne comprends pas pourquoi on peut dire que B est une application linéaire de V sur W* Pourriez-vous expliciter un peu plus svp? Merci d’avance

[@Thomaths]

Bonjour, C'est une bonne question. C'est une "gymnastique" typique pour l'algèbre linéaire : on peut par exemple prouver qu'une application linéaire A de L(V,W*) donne une application bilinéaire via B(v,w)=A(v)(w). Ici, A(v) est un élément de W* qu'on peut évaluer en w, un élément de W. Puis, il faut montrer que cela donne une injection de L(V,W*) dans Bilin(VxW,K). Comme ces deux espaces ont la même dimension, c'est alors un isomorphisme. J'espère que cela vous aide. - Alex

[@rochamatcomp]

Est-ce que vous pouvez expliquer l'image du tenseur des contraintes ? Merci pour la vidéo !

[@Thomaths]

Malheureusement je ne connais pas ce tenseur. Qu'entendez-vous par "image" ? L'image qu'on trouve sur wikipedia dans l'article "tenseur des contraintes", une sorte de cube ? C'est probablement une tentative de représenter un tenseur de type (p,q) avec p+q=3. Comme dit dans la vidéo, je crois que le plus simple est de ne pas le représenter et d'utiliser le calcul des coordonnées. Même si la représentation des matrices par des rectangles est très utile, cela devient encombrant en dimension plus grande. - Alex

[@fabienleguen]

@@Thomaths je pense qu’il parle de l’image que vous avez utilisé pour illustrer les tenseurs à chaque changement de chapitre dans la vidéo. Par exemple à 13:10. Le tenseur des contraintes est utilisé en mécanique (résistance des matériaux) et même s’il s’agit d’un tenseur d’ordre 2 de type (1,1) il a de chouettes représentations graphiques comme l’ellipsoïde de Cauchy ou les cercles de Mohr. Ce n’est peut-être pas généralisable pour les tenseurs d’ordre supérieur (en est-on vraiment sûr ?) mais ça aide à comprendre pour illustrer des exemples simples (comme dans le cas des hypercubes, hypersphères, hyperplans et autre hypertruc qui s’illustrent relativement bien en faible dimension mais pas en grande dimension. Ça aide quand même).

[@Thomaths]

@@fabienleguen Merci pour cette explication. Je ne connais pas du tout ces représentations graphiques. Il faut que je me plonge un peu dessus. - Alex

[@fredericmazoit1441]

Typo à 4:31 il est écrit e_1\otimes f_1 + e_1\otimes f_1 au lieu de e_1\otimes f_1 + e_1\otimes f_2.

[@Thomaths]

Merci !

[@jolanmoussier9267]

Alors juste le bidual (dual du dual) n'est un isomorophisme qu'en dimension finie c'est même un equivalent grâce au théorème d'erdos kaplansky

[@Thomaths]

Oui en effet. Je précise en début de vidéo qu'on se place en dimension finie dans toute la vidéo.

[@emmanueloverrated]

À qui s'adresse cette vidéo? Étant ingénieur j'ai un petit background en mathématiques, mais ici le formalisme étouffe complètement ma capacité à comprendre exactement ce qu'est un tenseur. J'aurais bien aimé comprendre. edit: Généralement, je préfère l'approche où l'on place le concept dans son contexte, qui l'a inventé, pour quelle raison, quel classe de problème il résoud, associer les explications et le formalisme avec un exemple qui permet de donner de la profondeur a la théorie. Par exemple, si l'on enseigne l'algèbre à des jeunes, on peut leur enseigner uniquement le formalisme et les règles/lois qui permettent de transformer les équations et leur dire, voilà, c'est ça l'algèbre. En ne faisant que celà, nous risquons de perdre 60% du groupe, dont 30% seront frustré et même détesterons la matière. Or, en rattachant les opérations algébriques à des images plus concrète (une équation c'est une balance en équilibre), on enseigne à la fois le formalisme, mais aussi on développe une image mentale qui permet à l'auditeur d'aller plus loin. C'est ce que Feynman faisait ;P. Je ne sais pas si c'était l'objectif de ta vidéo, mais bon, j'aurais aimé un peu plus de vulgarisation.

[@Thomaths]

Bonjour, et merci pour votre retour constructif ! Comme l'indiquent la description et les 3 tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo pour les étudiants en Master. Il y a donc assez peu de vulgarisation. Bon courage !

[@rimaroc88]

​@@Thomaths merci, comme ça je découvre qu'il y a un barème 😂 avec mon niveau de math de terminale je n'ai pas saisi toutes les subtilités...

[@emmanueloverrated]

@@Thomaths Ah! Bon, j'ai manqué cette info, dans ce cas, ça explique vraiment pourquoi c'est arride. Je suis désolé! Merci beaucoup du retour!

[@fabienleguen]

+1 pour cette approche de l’enseignement de nouveaux concepts mathématiques. Après recherches, il est intéressant de noter que les tenseurs en tant qu’objets mathématiques sont apparus bien avant la formalisation du concept de produit tensoriel. Et en tant qu’ingé, je me rappelle encore vivement la première fois que j’ai découvert cette classe d’objet avec : le tenseur des contraintes de Cauchy (encore lui). Qui est utilisé en résistance des matériaux. À cette époque (en 1822) Cauchy ne le nommait pas tenseur mais il avait déjà parfaitement réalisé qu’il s’agissait d’un champ (sur l’espace : x,y,z) d’un objet mangeant un vecteur et recrachant un autre vecteur. Le calcul tensoriel (c’est à dire l’essentiel de l’arsenal des techniques de calcul avec des tenseurs) a été inventé lui par les mathématiciens qui faisaient des recherches en géométrie différentielle non euclidienne (c’est à dire les types dont la motivation était : « tiens, essayons de construire une Géométrie sans le 5eme axiome d’Euclide sur les droites parallèles ! »). Les formes quadratiques qui permettent de mesurer des distances (outils majeurs des Géométries) semblaient alors dépendantes du choix (arbitraire) des systèmes de coordonnées locales ce qui était problématique. Le calcul tensoriel a donc été créé pour étudier l’invariance des formes quadratiques par rapports aux systèmes de coordonnées. Ricci et Levi-Cevita font parti des principaux « inventeurs » du calcul tensoriel et ce travail a été fait un peu avant l’année 1900. Et ce n’est qu’en 1938, qu’Hassler Withney a inventé le produit tensoriel (pour mettre de l’ordre dans le bordel existant à l’époque pour ce qui concernait les différents produits de vecteurs et d’autres objects non scalaires). La définition axiomatique des tenseurs en partant du produit vectoriel est sauf erreur due au collectif bourbaki (encore eux) un peu avant la seconde guerre mondiale dans un effort visant à unifier de manière rigoureuse et propre les mathématiques de l’époque. Pour ma part en tant qu’ingé ayant été formé uniquement à l’algèbre linéaire, j’aime bien la définition suivante d’un tenseur : « un tenseur (p,q) est une application qui mange p vecteurs et q formes linéaires et qui renvoi un nombre ». Et une propriété majeure (qui s’ajoute au fait que mathématiquement ils généralisent les scalaires, les vecteurs, les matrices etc.) qui fait leur intérêt pour représenter des grandeurs physiques : les tenseurs (covariants) sont invariants par changement de systèmes de coordonnées.

[@Thomaths]

@@fabienleguen Merci pour cet aperçu historique !

[@zephilde]

rien compris!

[@Thomaths]

Bonjour, comme l'indiquent la description et les 3 tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo niveau Master. Ne vous découragez pas ! :)

[@laurentreouven]

À mon avis pour la partie conceptuelle, il manque bcp de choses par rapport à la partie calculatoire. Elle pourrait donc être plus développée. À mon avis, il aùrait fallu séparer les deux en faisant deux vidéos différentes. Le développement de la partie calculatoire est contre-productif (en plus d'être imbittable et inintéressante) sans avoir tout dit et compris de la partie conceptuelle. Dommage.

[@Thomaths]

Bonjour, merci pour votre retour ! Cette vidéo s'adresse à des étudiants de master, c'est peut-être pour cela que la partie calculatoire vous semble trop sèche ? Nous avons hésité à faire deux vidéos distinctes en effet.

[@laurentreouven]

​​@@Thomathsnon non je veux dire que c'est normal, il y a des indices partout, vous avez fait votre max, c'est inhérent au calcul tensoriel. Je veux surtout dire que c'est dommage de parler peut être un peu trop de coordonnées, alors que justement, par exemple quand je parle de u=(1, 0) ou v=(0, 1) on passe à coté du fait que ce ne sont que des représentations de vecteurs et non des vecteurs. Et c'est pareil pour les matrices, les vecteurs, les tenseurs, et même les nombres. C'est dommage car justement le but du calcul tensoriel est de developper des objets indépendants de leur système de représentation. Peut-être que je ne suis pas clair en effet mais j'ai l'impression que lorsqu'on a compris ça, on a tout compris en fait. Le reste c'est juste purement du calcul.

[@Thomaths]

@@laurentreouven Je comprends votre point de vue. Le côté conceptuel est très puissant car il unifie toutes ces expressions en coordonnées et leur donne un sens profond. En même temps, j'ai constaté que les étudiants n'arrivent pas à faire des exemples concrets (calcul du tenseur de courbure pour une variété donnée par exemple). Donc je pense qu'il est aussi important de savoir manipuler les coordonnées, le "jeu des indices". Comme c'est long, cette partie peut paraître disproportionnellement longue dans la vidéo. - Alex

[@laurentreouven]

@@Thomaths oui c'est ça