Can you solve it? Too Interesting Tokyo Institute of Technology 【Math】

Thanks to all those who took the exam this year!
The math problems at Tokyo Tech were very interesting, but it may have been difficult to get a good score on the real exam because of all the boneheaded problems.

[@81aayibytc]

分かれば一瞬、分かるまで一生

[@eligibility4218]

み、みつを？笑

[@user-pe7nf2zd3w]

み、みつを？笑

[@rightwimpfocus]

み、みつを？笑

[@ha_ru.0516]

み、みつを？笑

[@user-lc6zc9zk7k]

つ、みをみ？笑

[@sunsethorizon7321]

発想力、思考力、気付き力を問う良問ですね～こういう問題を作れる人すごい。数学愛を感じる。

[@user-km8by3cy4f]

さすが東工😢😢 絶対諦めずに頑張ろ

[@user-ho2db5ld3b]

本番残り20分で気づけて完答しました。あの瞬間脳汁えぐかった笑

[@gemgem_GEMINI]

素晴らしい

[@user-gf1oc9qi2q]

ドピュドピュですね！

[@user-skydia]

大学でもう一度脳汁出そ！

[@user-jb7mh1su3f]

えっちぃ〜な

[@MRKMKT03]

いいなー、すごいなー 自分は方針書いて部分点を取ることしかできませんでした

[@user-fb3rr2sn3z]

フェルマーの最終定理みたいに中学生で理解出来るのに解くのは難しいっていう問題ってやっぱすげえな

[@user-vz7le3by2h]

abc、コラッツ予想なんかもそうですよね

[@user-zw9zk9sw6m]

そのレベルではないw

[@k6keke570]

2022を過去問として使える人達羨ましいな。

[@user-gi9cp3yj9g]

浪人したら使えるで！！

[@Mr.kasugai]

@@user-gi9cp3yj9g 浪人して京大目指します…嫌だ…笑

[@___yuna06]

これを解く受験生すごいな…👏

[@user-sz1rj5rs6z]

初見で理解し、解説出来るのが真の天才。頭の良さは数学から来る。

[@user-ko1ne2sg6k]

きっしょ

[@user-ob5qt4du1w]

しっきょ

[@m717225]

しょっき

[@user-mx3tn1ds7v]

これは、解けた時の達成感ヤバいだろうなぁww 候補絞るまでが大変……

[@user-UdakaKarama]

本当に偶然趣味でこれのn変数バージョン調べてたからすぐ分かった。試験で初見でこれは辛いなぁ

[@user-rx2bn1en2d]

4変数だと答えは何になりますか？

[@Zab_n]

僕はふかふかの椅子に座ってお茶を啜りながら解きました。受験生はカチカチの椅子で唾を飲み込みながら解いたと思います。東工大に挑戦した彼らは素晴らしいです。お疲れ様でした

[@backnumber6844]

椅子めっちゃ動いた

[@p.p1013]

このような数学の難問にぶつかったときの発想力をつける方法を教えてほしいです

[@user-jc4rl9ts5s]

@@user-fx4rb5iu3q はっきり言ってその時間は無駄でしかないと思います。 分からない問題を長時間考えるのは極めて無駄。高校数学においては必ず解法があり、解法を思いつくというのは「この知識を使えば解けそうだな」とひらめくことが重要で、このひらめきは「知識と経験のみ」から導き出されます。 一般的な解法が頭に入っていることを前提とし、多くの問題に触れ「なるほど。こういうときはこの知識が使えるのか」と経験を積むしかありません。 繰り返しですが「難問を考えまくる」というのは時間の無駄です。

[@user-ng4wi1tt3j]

脳汁ドバーしまくること、つまり自分で考えることが大切だと思います。 ただ、時間を長時間かけてやっと思いつくということを習慣化するのはいけません。 本番と同じように時間制限（長め）を設けたうえで自分で考えましょう。 自分で考えたこと、証明できることは自分が能動的に体験したことなので、どこまで使えるか、どこで使えるかがはっきりと分かり、必要な時にすぐに出てきます。 また、本番だけで全部思いつくのは無理なので、先にいくらか覚えておきましょう。 ただ、暗記に頼ると量が多くなりすぎて大変なので、感覚記憶で覚えることが大切なのです。 二回目になりますが、そのためには自分で考えることが大切です。

[@KK-qw9vv]

入試数学の掌握をやるとあまり発想に頼らず必然的に解法が出てくるようになるよ

[@user-fj1pb9ij7f]

分析と統合(ブルバキ)・感覚を言語化してみる・有益な必要条件を抽出する・問題文を量化する

[@Relaxingchannel-lc5rv]

これは難問ではないにょ。標準

[@user-rk9xd4ev7w]

動画開いて解説画面が映った時の安心感

[@user-rk9xd4ev7w]

@@SA-fr8rb ご指摘ありがとうございます^^

[@SA-fr8rb]

@@user-rk9xd4ev7w 👍

[@user-ee7xq6yz4p]

今年の東工の数学はまじで面白かったらしくて羨ましい 東大も例年よりはマシだったが、毎年今年の東工くらいの難易度が欲しい

[@twistarrived2750]

エアプかな。 面白いやマシなどは受験者のうち上位数%層が言わない限りただの妄言。 今年は例年以上に難しいと感じたし受験会場で受ける受験生の立場からすると相当の難易度だったと思われる。 舐めてるのか、ただの難易度も分からん馬鹿なのか、強がりなのか。

[@user-ee7xq6yz4p]

実際にうけて緊張もした 別に6完した訳じゃないから強がりと捉えられても間違いではないけど、それでも受験数学が好きな人であれぼ試験の問題が結構楽しみなのは分かってもらえるはず

[@twistarrived2750]

@@user-ee7xq6yz4p そうか。別のコメントで数週間前に『東大ってこんなショボい問題も出るの』って言ってる時点で東大受験生とは到底思えないんだが？実際に僕も東大京大合格者や受験者の周りのレベルも周知の上でものを言っている。

[@user-ee7xq6yz4p]

なんか2次方程式の解の範囲の問題のやつかな？ 2019.2020.2021は全部やって、他の年は大問50個分くらいやったけどあんな簡単な問題見たことない

[@user-ee7xq6yz4p]

別に東大受けた証明にはならないけど、信憑性を上げるためにおれが今年大問4(2)でした綺麗な論証自慢させて、 奇関数なので原点対象より、 原点を通る直線と与関数で作られる２つの範囲の面積は等しい ここで全ての直線は原点を通る直線の並行移動で表すことができる 原点を通る直線を平行移動させた時、片方の面積は大きくなり、もう片方は小さくなるので、面積が異なる よって、3交点をもつとき、原点を通ることが、面積が等しくなる必要十分条件である 結構良くないすか

[@user-fq7tm4vi3j]

いつも忙しいのに動画投稿ありがとうございます。河野さんの動画は解説があってすごくわかりやすいです。まだ、この勉強は習ってないんですが、この先多分使うと思うので、理解しておきます。

[@user-nk4il3ht5n]

なことより数学で戦争を止められません計算願

[@wannabeshortsleeper]

@@user-nk4il3ht5n だからなんですか

[@chagum1]

@@user-nk4il3ht5n 国語でも止めれてねーよ

[@ahamada-pb4fh]

この問題、面白すぎる。河野さん、東工大のこと、意外と好きよね。

[@AB-kl1ov]

弟がこういう問題解けて合格したのが本当にすごい。解説されれば分かるけど初見では分からんわ

[@minato_rn_]

東工大を目指す高1です！勉強になりました！

[@user-bo2qk2sb7q]

(1) a+b+c,ab+bc+ca,abcが全て素因数pを持つとすると、 a^3=a^2(a+b+c)-a(ab+bc+ca)+abc≡0 (mod p)より、a^3はpの倍数。よってaはpの倍数。対称性より、bとcもpの倍数となって矛盾。

[@overcapacitywhale]

これは良問、ギリ目解き出来るレベルでちょうど良いですね。

[@user-to3fo7pf9t]

私の頃はよくやる問題の基礎を忠実にやれば結果が出る数学だったのにお洒落な問題ですね。

[@nj2250]

数学0完でしたが、英語7割理科9割で合格しました！

[@user-lx5rb1sj2v]

ほんっっと意味わかんない問題だったので、理解出来てほんと悔しいです…この問題で合否分かれないことを願うばかりです…

[@user-cz7le4rt3n]

今年の一橋数学もやって欲しい

[@study_math]

足跡のみ。 (1)は三次方程式の解と係数の関係から。最大公約数が素数を素因数に持つとき...以下略 (2)は同じでした。 もう眠いお休み～🥱

[@user-07290]

東大数学も解説してほしい

[@user-dv4of7hy7v]

7:45ここでa+b+cの二乗を無視するところがよくわかりません。 ユークリッドの互除法を使っても、−2(ab+bc+ca)が余るから符号が違うのかなと思ったのですが、どう考えたら良いのでしょうか？

[@user-cd5uu5ye3h]

互除法の証明が青チャートに載ってるので、それみたらわかると思います

[@user-cd5uu5ye3h]

補足）今回の場合、 a+b+c=p a^2+b^2+c^2=q 2(ab+bc+ca)=r として考えます。 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) ⇔q=p^2-r…① ⇔r=p^2-q…② 一般にpとqの最大公約数を(p,q)と表すことにする。 ここで、(p,q)=(p,r)を示したい。 ①より、 (q,p)は(p,r)で割り切れる。 よって、(p,q)≧(p,r) 同様に②より、(p,q)≦(p,r) これより、(p,q)=(p,r) とまあ、こんな具合です。 自分も初めてマイナスであつかっているのを見たので、かなり戸惑いましたが、証明を覚えておくといいかなって思います。

[@user-dv4of7hy7v]

@@user-cd5uu5ye3h 証明調べて1時間半くらい考え続けてようやくスッキリ理解できました🥲 補足もめちゃくちゃ活用させていただきました、ありがとうございます！

[@user-il6qe4qr8p]

瀬戸弘司ここを受かったのがすげえ

[@user-jf5yi7vl3t]

gcdが2と3以外の素因数をもたないのなら、2^2の倍数や3^2の倍数になる可能性も考える必要があるのではないでしょうか？

[@backnumber6844]

a,b,cを解にもつxの3次式を考える。x3-αx2+βx-Γ=0とする。解と係数の関係からa+b+c=α、ab+bc+ca=β、 abc=Γ(ガンマ) となる。ここで、Xの３乗を右辺に移項する。 ここで、a+b+c、ab+bc+ca、 abcの最大公約数が1でないと仮定する。1でない自然数nをもつとする。 x3=αx2-βx+ΓからXの３乗もnの倍数である。また、このxの3次式はa,b,cを解にもつため、代入すると、a,b,cはnの倍数となり、a,b,cの最大公約数が1ということに矛盾する。よって、a+b+c、ab+bc+ca、 abcの最大公約数は1である[証明終]

[@backnumber6844]

このときかたの方が自分的には簡単だったのですが、どうでしょうか？皆さんのご意見をお待ちしております。

[@user-ov7hq9yl6j]

「代入すると、a、b、cはnの倍数になる」の部分は必ずしも成り立つとは限らないと思います

[@backnumber6844]

どうしてでしょうか？

[@user-ov7hq9yl6j]

rだけの項があるからです

[@syntf06]

横からになりますが、nが合成数だった場合には、a^3がnの倍数⇔aがnの倍数が必ずしも成り立たないということでしょうかね？ ですので、nに含まれる素因数をn´とおき、a^3が素数n´の倍数⇔aが素数n´の倍数とするのがよいということなのかもしれません。 どうやら有名問題らしく予備校の先生の解答にはコメ主さんの解き方が多くみられますね。

[@Koki_-rt5jz]

もし①で解くんだったら、解と係数の関係を利用して計算してけば速く解けそう

[@user-zy1jb2iq5e]

これガチで解けんかった みんなできてないよな？頼むぜー

[@but8895]

これだけほぼ白紙

[@md-ur6dq]

自分もできませんでした

[@dekv-xv7pf]

もう1段階くらい誘導あれば程良い難易度になりそう

[@user-qp2wb1ju5s]

10:00 この段階では最大公約数は2^m×3^n(m,nは0以上の整数)となることがいえただけであり、m,n≦1であることの証明が抜けています。 また、gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),gcd(a,c))やgcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)を用いる場合は、その証明も必要だと思います。(こちらは尺の都合かもしれません)

[@keen01111]

質問です。 （１）は②の方針で素数pを倍数に持つと仮定すると〜、としてましたが、 ①の方針でやったとしても、ある数gを倍数に持つと仮定すると、（g≠１）となり、aをgの倍数とすると、、、 のように、pをただgに置き換えただけだと論理的に間違いはあるのでしょうか？

[@id-nr5fd]

gが6だとしたときにaが3、bが2の場合aは6の倍数と言えないからダメなんじゃない？

[@keen01111]

@@id-nr5fd なるほど、abc=gmすると、aとbの積でgになる数があるかもしれないから、ってことですかね

[@id-nr5fd]

@@keen01111 そうです！

[@keen01111]

@@id-nr5fd ありがとうございます😊

[@tourokusite70subscribe]

数学はひらめきだもんな まぁひらめくために勉強しなくちゃならないからなぁ

[@user-zo8zg6ko4s]

これは良問

[@user-le2nj8vp3j]

本当に面白い問題作るよなぁ

[@user-yk7yh9co9h]

東大の問題解説してほしいです！

[@sachiishizato1164]

誘導(1)あると一瞬だけどないと分からんかったなぁ。悔しい...

[@user-gw3rf2ms6z]

誘導なくても（1）の事実に気づいて解けんのはもうバケモンw 数オリレベルw

[@user-yp1xp7xt6m]

ちょーわかりやすい

[@rudel8647]

最大公約数を求める問題では今年の京都大学の大問3がありました。是非解説して欲しいです。

[@user-rt1co5zc2q]

動画見る前30分あーでもないこーでもないして、動画冒頭のヒントでやっとでけた…精進…

[@user-ty6vy9xv7o]

8:00で2(ab+bc+cb)が-2(ab+bc+cb)ではないのはどうしてですか？どなたか教えて下さいm(*_ _)m あとこれってあまりが-2(ab+bc+cb)でも解けますか？

[@user-cg8vu1or1s]

自然数A,Bについて Aと−Bの最大公約数がg ⇔ AとBの最大公約数がg この事実を使ってる。 少し考えればなぜ成り立つかはわかると思うので証明は略。

[@adgjmptw2723]

東工大受かったぁーー

[@user-ee8ux2qp7n]

東大数学の解説もよろしくお願いします

[@user-lo1br4tb8m]

何となく見たらさっぱり分からなかった中2。 これを解ける人がいるなんて日本の将来は明るいですね。

[@sarusa37555]

これの(1)って、ab＋bc＋acとabcが互いに素って証明できたら、a＋b＋cって使わなくてもいいんですか？

[@TV-hr6cz]

もし仮にそれが真ならばいいですけど反例があるので無理です。 a,b,c＝1,2,4 abc＝8 ab＋bc＋ca＝2＋4＋8＝14

[@user-ef8zv6pt1y]

gcdって入試で書いてもいいんですかね？

[@user-vp9yo6ks1n]

いい問題やな

[@user-cl6iv7ht4r]

本番、(1)解けて(2)はユークリッドの互除法使うのは分かったんだけど最後まで解けきれんかったわ

[@user-fp9oq6vq2t]

面白いなぁ

[@user-qd3uy7oh5k]

この問題本当に分からなくてパッと見できそうなのにできなくて泣きそうになりました

[@kazkaz1003]

これ最大公約数が1/2/3/6になるのはa,b,cがどのような時かを答えなくても良いからマシですけど、聞かれたら面倒くさいですね

[@skaid21]

こうのげんとに煽られた泣 ほとんど出来なかったよこれ

[@rabbit_carrot33]

7:55からついていけん笑

[@user-wv2ko9rk6c]

東大 東工 京大 名大は難しいと思う(かなりの応用力が必要) 阪大とかは教科書の公式とか定理の証明好きやけど基礎しっかりしとけば解ける 個人的に九大は問題が比較的簡単だからオススメだけど他の受験生もしっかり押さえてくるから解けんだらおしまい🤣(今年は難しかったらしいけど)

[@user-ks7ct8dv5l]

2021東工大数学第4問解説してほしいです。

[@karaagemeron]

一橋の後期も難しいんだよね…東京一工恐るべし

[@user-mw9lu3uh8o]

お、思い出させないでくれぇ… (後期対策なう)

[@Kanatankawaiii]

今年受けてきました　キレそう

[@Ichikawahinoe]

なぜ候補は1、2、3、6となるのか😢？1、2、3は理解できるが、6はなぜ出たのか😭

[@user-cb3dr9ow9s]

今年は頭脳王はやらないんですか？

[@user-zt4rt8cb1b]

問題の面白さもわかってないし、理解もできてないの、悔しい。

[@user-zi6tp9ps4p]

すみません中2なのですが 最初の②のPは最大公約数は1でないならどうして素数になるんですか？

[@nino6717]

最大公約数が1でないのであれば、2以上の約数を最大公約数に持つことになります。 仮に最大公約数が6である3つの数12、18、24も、最大公約数6のもつ素因数である2を用いて 12＝2×6 18＝2×9 24＝2×12 みたいな形で素数にそれ以外を掛け算した形で全ての数を表すことができます。 素数を3と見た場合も同様なことが言えます っていう解釈でいいと思います。 分かりにくかったらごめんなさい🙇‍♂️

[@user-zi6tp9ps4p]

いえいえ！分かりやすかったです！ ありがとうございます

[@user-iq4vc8oc4s]

白紙だった同志おる？;-;

[@user-gw3rf2ms6z]

なんか今年3つの数の最大公約数求めさせる問題多いな

[@urigome-18]

5:56河野さん「問題自体はシンプルですよね。」 文系ワイ「いや、どこがww」

[@backnumber6844]

東工大にありがちな問題文が短文ってことですね。ちなみに、化学で三行しかない問題でて普通に分かんなかったー

[@user-wv2ko9rk6c]

一橋の問題見てみ 文系の大学やけどムズいぞ

[@kraas1343]

シンプルじゃね？

[@user-uz6wt1eb3e]

@@user-wv2ko9rk6c 一応商業メインだから…

[@nj2250]

@@backnumber6844 溶液が薄い時の水の電離まで考慮する問題ですね

[@Reincarnation4356]

pが1以外の自然数じゃなくて素数に限定してる理由はなんで？

[@yuuu_30978]

あんなに悩んだのに一瞬とか言わないで(´；ω；｀)

[@sakatq5682]

すげー最初から最後まで何言ってるんか全く理解できんかった🤦‍♂️

[@user-nu4th3hl1m]

むずし

[@Maa_shumi-ya_ne_k.i]

東大の数学が難化したの河野玄人が原因説

[@user-jx6dk7vr6h]

玄人で草

[@user-qo1ck7cv4m]

河野さんが良問解説しているときに書いてるものを教えてください。

[@x_xmello2866]

2番の係数の2と3見逃して最大公約数1しかなくね？ってやってまった 他の科目できたでよかったけど

[@lll-pb1fq]

げんげん〜❤すき

[@user-br8ey8ph5q]

受験が終わっても見てしまう

[@user-ez9se8fp4h]

高一だけど全然分からんw 頑張んねぇとな…

[@user-xc7tj3cl1s]

最後は十分性で攻めたってことかな？

[@user-of9qd4go6r]

公認会計士のテキストなど、iPadやパソコンでPDF形式で勉強も出来ると思うのですが、紙で勉強されているのは何かこだわりがあるのですか？

[@user-rz6nl4sk8i]

pk、pl、pmで表せる理由がよく分からないので誰か教えてください

[@user-em8cj2ij1d]

@@user-mh5hm4zl4e 2以上じゃない？

[@__-ox2dk]

来年までにこれを解けるようにならないといけないのか

[@___-______-___-___-______-___]

普通に最初で互いに素ってやった()

[@user-gt2bz4jv7h]

この問題を試験本番で解く？！！

[@user-xc2il8bs1b]

自分卒業生だけど、この年でなくて良かった。

[@user-hd6mh2xr5c]

これ解けるようにならないとなのか🥶

[@user-uw1mk2lh2w]

頑張りましょ💪

[@mulant8219]

周りに東工大3人受かってて、 ｢こんなの解いたんだすごい（ ; ; ）｣って目線で見てる。

[@YY-nf3ys]

予備校の先生って凄いよね

[@user-vm9tf7cp4g]

互いに素の定義からやるのかなと思ったら全然違くて草、一年たつともう解けないわ

[@mina.sharon0324]

本番1すら分かんなかった

[@yokoshimanakimochi]

東工大複素二問出我死亡也

[@user-wd1gh1tt9k]

背理法って論理破綻みたいな事？

[@user-vl6sv9ju5c]

やっぱ俺まだまだ素数に弱いな…

[@user-js5lr6pm3v]

1:26 ここひろゆき

[@user-ps9vw1dr1h]

同じ年の最大公約数問題で東工大と京大で大きな差

[@user-um1bf3hj4q]

数検だったら難易度どのくらいですか。

[@user-zj5mp1le1o]

鼻をつまんで息を吸うと耳が変な感じにやるのは何故ですか？

[@user-qe9sr4bs2w]

高一理解すらできません

[@summit3386]

入試を一番楽しみにしていた人

[@user-jd2nl2sg1i]

ただの中学生には無理ゲー😭

[@user-cong21]

△中学生でも解ける ○中学生までの知識でも解ける