Congruenze e aritmetica modulare | Hakuna MATH-ata

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Hakuna MATH-ata

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Күн бұрын

Пікірлер: 64
@angiologiandonati1038
@angiologiandonati1038 4 жыл бұрын
Studio ingegneria e sono capitato su questo video perché sto preparando l'esame si matematica discreta. La copertina con "Hakuna Math-Ata" è troppo bella, se potessi vi metterei 20 mi piace
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
ERRATA CORRIGE: nella proprietà descritta al minuto 4:20 occorre che l'esponente n sia un numero naturale e non un intero. Subito dopo scrivo che vale anche il viceversa (minuto 4:28): non è vero. Ad esempio: 1^2 (mod 3)= 2^2 (mod 3) ma da questo non si può dedurre che 1=2 (mod 3). In definitiva, ti consiglio di saltare la parte che va dal minuto 4:20 al 4:28 :)! P.s. Grazie Chiara per la preziosissima segnalazione!
@MilleFalchiJUNIOR
@MilleFalchiJUNIOR 4 сағат бұрын
ottimo video ti ringrazio, sto studiando informatica teorica e non riuscivo a capire le proprietà dell'algebra modulare negli algoritmi di crittografia a chiave asimmetrica, comunque che programma usi per far apparire le mani che disegnano sulla lavagna?
@ericasonego8944
@ericasonego8944 3 ай бұрын
ciao perdonami, non ho capito la deduzione al minuto 6:18; perché se abbiamo 10=-1 (mod 11) allora a è congruo a (-1)^n•an ecc ecc.?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 ай бұрын
Ciao @ericasonego8944, passando ai moduli avresti che a è congruo alla sommatoria con le potenze di 10 modulo 11. Siccome però stiamo ragionando modulo 11 e 10 è congruo a -1 modulo 11, per le proprietà delle congruenze puoi sostituire -1 a 10 ed ottenere che a è congruo alla sommatoria con le potenze di -1 modulo 11. Questo permette di giungere alla tesi più facilmente. Spero di aver chiarito il tuo dubbio :)
@letiziarosso8511
@letiziarosso8511 3 жыл бұрын
Ciao mi vergogno un pó a chiedere, ma davvero ho difficoltá con i numeri negativi. Perchè -4 é congruo a 2 modulo 3 (mi riferisco ai primissimi esempi). Grazie in anticipo
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
Perché la differenza tra -4 e 2 è divisibile per 3. Infatti: -4-2=-6 che diviso 3 dà resto zero.
@tommasoalecci
@tommasoalecci Жыл бұрын
Ciao, mi sto soffermando molto su una banalità del primo esercizio. Come posso stabilire che 2022 è un multiplo di 3? Devo utilizzare per forza i criteri di divisibilità?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel Жыл бұрын
Ciao Tommaso, direi di sì: 2022 è multiplo di 3 perché la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Oppure fai la divisione e trovi che il resto è 0.
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
@4:30 n appartenente a Z non lo capisco. Ho provato - caoticamente - il caso n appartenente ad N, ma già con n=-1 non saprei come calcolare quoziente e resto euclidei se il numero non è intero. a e b devono esser in Z, vero? Chiedo lumi.
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao Rizieri M. CELLI! Si tratta di un refuso. Come giustamente osservi tu, in generale, l'esponente n deve appartenere ai naturali. Grazie per la segnalazione :)!
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel perdona la mia precedente insistenza: non son uso commentare su youtube e credo che debba fare un refresh per vedere le risposte: prima non l’avevo fatto e non avevo visto la tua risposta.
@riccardoruggiero7198
@riccardoruggiero7198 4 жыл бұрын
Ciao, molto interessante l'esercizio a 4:54. Tuttavia con una calcolatrice mi trovo che il resto è 2 (dato molto relativo). Se invece risolvo l'esercizio notando che 2021 è congruente a 2 modulo 3 poi ottengo che il resto è 2^2020. Sono molto confuso
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao Riccardo! Il risultato 2^2020 è corretto ma devi comunque svolgere un passaggio in più per determinare il resto che deve essere o 0 o 1 o 2. Ti faccio notare che 2^2020 è equivalente a (-1)^2020 modulo 3 (visto che 2 è congruo a -1 modulo 3). Nell'esercizio, conviene però scegliere -1 anziché 2 come valore da sostituire a 2021 perché in questo modo è più semplice svolgere i calcoli e ricavare quanto vale il resto. Spero di essere stato chiaro :). P.s. non ho capito che calcolo hai svolto con la calcolatrice visto che 2021^2020 darebbe luogo a un numero con circa 7000 cifre :) ...
@riccardoruggiero7198
@riccardoruggiero7198 4 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel Grazie mille della delucidazione. In effetti il mio errore è stato trattare il tutto come un'equazione e non come una congruenza. Per quanto riguarda la calcolatrice ne ho usata una apposita per numeri enormi, però evidentemente è un risultato errato, personalmente mi fido di più dell'aritmetica. Grazie ancora.
@arrigo7476
@arrigo7476 3 жыл бұрын
Ciao, complimenti per il video!! Commento per togliermi la curiosità di aver fatto bene la prima parte del terzo punto degli esercizi da te proposti; dimmi che ne pensi. Io ho ragionato così: ho suddiviso i numeri in pari e dispari. Considerando i numeri pari, abbiamo che il quadrato è sempre (2n)²=4n²=0(mod 4); considerando i dispari, invece, abbiamo (2n+1)²=(4n²+4n+1)=1(mod 4). Dunque, così abbiamo dimostrato che il quadrato di ogni numero pari è divisibile per 4, mentre il quadrato di ogni numero dispari dà resto 1 quando diviso per 4. È giusto come procedimento? Tu l'avevi pensato così? Grazie mille per il video e, in anticipo, per la risposta
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
Ciao @Arrigo, il tuo ragionamento non fa una piega! ;)
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
@Lucia Siervo esatto. La somma dei primi n dispari è uguale a n^2 (si può dimostrare anche per induzione su n). A questo punto quindi basta mostrare che un numero che finisce per 99 non può essere un quadrato perfetto. Questo segue dal punto precedente: 99 non può essere il quadrato di nessun numero perché non è congruente né a 0 né a 1 modulo 4.
@mariarosariadr8683
@mariarosariadr8683 6 ай бұрын
Chiarissimo
@lidiadaiello262
@lidiadaiello262 4 жыл бұрын
al minuto 5:12 qual'è la proprietà applicata? grazie mille
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao @Lidia D'aiello, la proprietà è quella descritta al minuto 4:21: se a è congruo a b modulo m allora a^n è congruo a b^n modulo m. In questo caso: a=2021, b=-1, m=3 e n=2020.
@lidiadaiello262
@lidiadaiello262 4 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel grazie mille
@Suprememeperorstudios
@Suprememeperorstudios 7 ай бұрын
Nell'ultimo esercizio degli esercizi non risolti si dimostra che la somma di n numeri dispari consecutivi non è mai uguale a 999999999999 perché la somma di numeri dispari da come risultati dei quadrati perfetti (es. 1 + 3 = 4 , 1 + 3 + 5 = 9...) e quindi dato che 999999999999 non è un quadrato perfetto si può affermare che non può essere la somma di n numeri dispari naturali consecutivi. Corretto?
@vitopicci9548
@vitopicci9548 2 жыл бұрын
al minuto 4:54 non riesco proprio a capire perchè 2021 è congruo a -1 mod. 3....(tu lo hai dato addirittura per scontato) perchè non rispetta nessuna delle regole che hai scritto nel minutp 1:47
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 2 жыл бұрын
Ciao Vito, 2021 è congruo a -1 mod 3 perché la loro differenza è divisibile per 3: 2021-(-1)=2022 che è multiplo di 3. Spero di aver chiarito il tuo dubbio ;)
@matteorinaldi7763
@matteorinaldi7763 2 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel quindi non è necessario che le due proprietà (a e b ognuno con stesso resto se diviso per m; a - b multiplo di m) siano entrambe vere allo stesso tempo. Basta che sia vera almeno una delle due?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 2 жыл бұрын
Ciao@@matteorinaldi7763, queste due proprietà sono equivalenti (se hanno lo stesso resto allora la loro differenza è necessariamente multiplo di m e viceversa). In pratica, se vale una delle due cose allora deve valere anche l'altra. Basta quindi che sia verificata una delle due per dire che due numeri sono congrui. Spero di aver chiarito il tuo dubbio :).
@stefanosarni2163
@stefanosarni2163 10 ай бұрын
Bongiorno Prof, avrei una domanda, quando dice che le definizioni sono due ed equivalenti, pe asserirlo dovremmo far vedere che una implica l'altra e viceversa, giusto?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 10 ай бұрын
Esattamente, Stefano 😉.
@mikymusictube
@mikymusictube 2 жыл бұрын
In uno degli ultimi esercizi per trovare l unità di un numero usi à le congruenze per 7 ma vale anche per numeri a doppia cifra? Nel video si fa 7° 7`2 7`3... ho provato con 13 ma non vale ... ? Possibile?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 2 жыл бұрын
Per risolvere questi esercizi il ragionamento è simile a quello fatto nel caso del 7: puoi concentrarti sull'ultima cifra del numero (nel tuo caso 3). Considerando le potenze, puoi notare che l'ultima cifra di 3 alla 5 è la stessa di quella di 3 alla 1 e in generale che potenze di 3 i cui esponenti differiscono per un multiplo di 4 hanno la stessa ultima cifra. In generale non è detto che le ultime cifre si ripetano sempre ogni 4 valori dell'esponente (ad esempio il 9 ha periodicità 2) ma, a parte questo, il ragionamento non cambia e vale anche per numeri con più cifre. Spero di aver chiarito il tuo dubbio.
@and10101
@and10101 Жыл бұрын
....scusate ma non ho capito come mai -4 congruo 2 ( mod 3 ).....cioè .-4 | 3= 1 con r =1 , 2 | 3 = 0 con r = 2 🧐....qualcuno mi può spiegare?.... poi per caso sotto ho trovato un commento dove si dice che la differenza tra -4 - ( 2 ) = -6 che è un multiplo di m ( 3 ). Ma quindi affinché si soddisfatta la congruenza è sufficiente che soddisfi SOLO UNA DELLE 2 CONDIZIONI? ovvero o che il resto sia uguale oppure che la differenza tra i due dividendi sia un multiplo del divisore ( m ) ?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel Жыл бұрын
Ciao ndr, -4 è congruo a 2 modulo 3 perché se fai la divisione con resto tra -4 e 3 hai quoziente uguale a -2 e resto 2 e non 1 come hai scritto: infatti -4=(-2)*3+2 e da questo segue che -4 e 2 sono congrui modulo 3. Per quanto riguarda la seconda domanda, la risposta è sì, le due condizioni sono equivalenti. Se hanno lo stesso resto nella divisione per m allora anche la differenza è multiplo di m e viceversa. Quindi per stabilire se due numeri sono congruenti è sufficiente verificare una delle due condizioni. Spero di aver chiarito il tuo dubbio.
@and10101
@and10101 Жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel grazie ma non capisco ( scusa ) ma 4 ( dividendo ) diviso 3 ( che è il modulo, cioè il divisore ) da 1 con resto 1 ….. scusa ma non capisco…. 😭
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel Жыл бұрын
@@and10101 in realtà è -4 e non 4. Se fosse 4 sarebbe come dici tu (il resto è 1) :)
@and10101
@and10101 Жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel scusa ma…..Il quoziente tra due numeri relativi ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti e il segno è positivo (+) se i due numeri sono concordi, il segno è negativo (-) se i due numeri sono discordi. …Mi puoi spiegare come fa -4 / 3 a dare resto due?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel Жыл бұрын
Perché occorre fare la divisione euclidea tra -4 e 3. E come indicato al minuto 00:48 (circa) nella divisione euclidea tra due interi a e b è richiesto che il resto r sia compreso tra 0 e il valore assoluto di b. In questo caso, hai a=-4 e b=3 e quindi il resto dovrà essere compreso tra 0 e 3 (3 escluso). La scrittura corretta sarà quindi: -4=-2*3+2 dove il quoziente è -2 e il resto è 2. In alternativa, puoi osservare che la differenza tra -4 e 2 è uguale a -6 che è multiplo di 3, quindi -4 e 2 sono congrui modulo 3. Fammi sapere se ora è chiaro
@BrayanDilrukDeSilva
@BrayanDilrukDeSilva Жыл бұрын
Perché ho scelto di fare ingegneria mi voglio uccidere
@lorenzomichetti8274
@lorenzomichetti8274 3 жыл бұрын
il primo esercizio del minuto 12:25 fa 9? =)
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
Yes ;)!
@gianfry
@gianfry 2 жыл бұрын
Ma quindi per esempio 5 è congruo a 2 modulo 3?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 2 жыл бұрын
Esatto.
@francescagiardini7049
@francescagiardini7049 4 жыл бұрын
Al minuto 3.03 i numeri delle classi di equivalenza sono stati messi a caso??
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao! No, non sono messi a caso. I numeri elencati nelle parentesi sono tutti congrui tra loro modulo 4 ;).
@hydrochlorideDefence
@hydrochlorideDefence Ай бұрын
@francescagiardini7049
@francescagiardini7049 4 жыл бұрын
Non ho capito perchè -1 è congruo a 2021? Cosa mi manca?
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
2021 è congruo a -1 modulo 3 perché la differenza tra 2021 e -1 è un multiplo di 3. Infatti 2021-(-1)=2022 che è divisibile per 3 ;).
@danieledifano9058
@danieledifano9058 3 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel Ho un dubbio ,(1*) 2021 è congruo pure a 2 , perche 2021 - 2 = 2019 è un multiplo di 3, cio implica che se sono congrui 2021 e 2 allora pure i resti delle divioni per tre sono uguali -> che impica che 2021 ha lo stesso resto della divisone di due per tre . 2) seguendo la formula a^n conguruo b^n (modulo m) -> a congruo b (modulo m) ->2021^2020 congruo a 2 ^2020 (mod 3) = al passo (1*) vuol dire che il resto di 2021^2020 è 2!
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 3 жыл бұрын
Ciao Daniele, se ti riferisci alla proprietà scritta intorno al minuto 04:20, si tratta di un refuso come segnalato nella descrizione e in uno dei primi commenti al video. Pertanto non si può applicare quella proprietà (che in generale non vale) e il ragionamento seguito nello svolgimento dell'esercizio è corretto. Spero di aver chiarito :)
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
Anche una dimostrazione di na=nb mod m => a=b mod m se MCD(m,n)=1 sarebbe gradevole, come pure della precedente: ci arrivo per vie complicate, magari c’è qualcosa di più semplice che non vedo.
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao Rizieri M. CELLI! Se MCD(m, n)=1 allora n è invertibile modulo m. Pertanto puoi moltiplicare entrambi i membri dell'equazione na=nb (mod m) per l'inverso di n modulo m, ottenendo la tesi. Spero di aver chiarito il tuo dubbio :)! P.s. per saperne di più sull'inverso modulo m puoi dare un'occhiata a questo video: kzbin.info/www/bejne/mIGtfpp4lruimcU
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
Trovata questa ma non per la precedente.
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
Scusa non ti avevo visto. Ho usato n(a-b)=0 mod m quindi o è (a-b)=0 mod m oppure è n=0 mod m; per escludere il secondo caso n ed m non devono esser divisibili => MCD=1.
@RizieriMCELLI-sx4dv
@RizieriMCELLI-sx4dv 4 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel grazie per la risposta. Se considero 2 e 3 che hanno MCD =1 cosa è 0,5 mod 3? Mi puoi aiutare anche per il punto @4:30? Come me la cavo con n=-1? Per n>0 son riuscito a dimostrarlo ma usando il binomio di Newton: immagino esista di meglio. Abbi pazienza, ma questo argomento mi è del tutto nuovo e sto usando il tuo video per poter imparare in generale ad operare dentro Z.
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 4 жыл бұрын
Ciao Rizieri M. CELLI, non mi è chiara la prima domanda: cosa intendi per 0,5 mod 3? Ti ricordo che le congruenze sono definite solo per numeri interi (anche gli inversi modulari, quando esistono, sono interi). Per quanto riguarda invece la dimostrazione del punto al minuto 4:30, in alternativa al binomio di Newton, puoi procedere anche per induzione sull'esponente n. Il caso n=1 è banale, mentre per il passo induttivo, puoi usare la proprietà 3) descritta al minuto 4:08. In particolare, hai a^n=b^n (mod m) per ipotesi induttiva e a=b (mod m) per ipotesi. La proprietà sopra citata ti permette di moltiplicare membro a membro e ottenere: a^n*a=b^n*b (mod m), ossia a^(n+1)=b^(n+1) (mod m) cioè la tesi. P.s. Se non conosci il principio di induzione, puoi dare un'occhiata a questo video: kzbin.info/www/bejne/bZXTpqOOmbmLl9U
@micheledellaquila7671
@micheledellaquila7671 2 жыл бұрын
Perdonami perché al primo esercizio -1 diventa 1
@HakunaMATHata_channel
@HakunaMATHata_channel 2 жыл бұрын
Ciao Michele, diventa 1 perché -1 elevato a un esponente pari (2020 in questo caso) fa 1. Spero di aver chiarito.
@micheledellaquila7671
@micheledellaquila7671 2 жыл бұрын
@@HakunaMATHata_channel Grazie mille
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