CONTINUITA’ uniforme. Cosa CAMBIA dalla continuità? - Analisi 1

[@Manluigi]

Quando dici che la funzione integrale di una funzione continua è unif. continua dici il falso . Per esempio basta prendere Y= X^2 e la funzione integrale non è unif. continua, oppure più semplicemente basta prendere Y=X che è una retta ed quindi una funzione continua ma la funzione integrale non è unif.continua . Parli troppo veloce cosa difficile a farsi , unita ad argomenti di natura matematica -filosfica molto complessi complessi , il risultato è confusione .

[@UNIverso.Matematica]

Ciao! La funzione integrale è sempre continua. Dunque, poiché essa è definita in un intervallo chiuso è necessariamente una funzione uniformemente continua per il Teorema di Heine Cantor

[@UNIverso.Matematica]

Se vuoi possiamo anche dire così: Sia f : [a,b] -> IR una funzione continua => F è unif continua Dimostrazione: f continua => f integrabile => f limitata f continua => F'=f => F' limitata => F lipschitziana => F unif continua

[@UNIverso.Matematica]

Se vuoi puoi fare lo stesso per intervalli aperti: Poiché la funzione deve essere continua non può esserci un integrale improprio nell'interno dell'intervallo di definizione. Per quanto riguarda l'infinito, invece, una funzione è integrabile solo se è convergente (ora ci stiamo spostando nella teoria degli integrali impropri). Se la funzione non tende a 0 necessariamente il suo integrale non è convergente, dunque non va preso in questo discorso. Da ciò quindi si ha che la funzione è convergente, dunque è limitata d.v. Da qui posso fare lo stesso discorso di prima per l'uniforme continuità (oppure usare Weierstrass generalizzato)

[@UNIverso.Matematica]

L'unica cosa su cui ti posso dare ragione è che non ho specificato che la funzione debba essere integrabile, perché lo avevo dato per scontato. Grazie mille!