Cuestión sobre espacios vectoriales de polinomios, demostrar que un conjunto es base

[@oannes9543]

Muy buenas tardes y gracias por todos sus clases que son amenas y ,uy comprensibles.

[@juanmemol]

Me alegra, muchas gracias!!!!!

[@DragonCovers]

Buenos días, Juan. Tengo una duda: Estoy estudiando por mi cuenta, así que por favor, te pido un poco de comprensión en caso de decir alguna chorrada xD. Estaba estudiando un ejercicio que decía: "Deducir si B=(1,x^2,x^4) es base del espacio vectorial formado por el conjunto de polinomios de grado menor que cinco y cuyas potencias de x son pares." Se me ha ocurrido que podía igualar a cero la combinación lineal siguiente (para comprobar si los coeficientes son todos iguales a cero o no): 0 = (alfa0)*1 + (alfa1)*x^2 + (alfa2)*x^4 de ahí he comprendido que (alfa0)*1 es como escribir (alfa0)*x^0, (alfa0 por x elevado a cero). Entonces el valor de x no puede ser nunca cero, porque cero elevado a cero es una indeterminación, luego para que se dé la combinación lineal: 0 = (alfa0)*1 + (alfa1)*x^2 + (alfa2)*x^4, es necesario que los coeficientes sean cero, y con ello, B sea un sistema libre. Aunque claro, si x no puede ser nunca cero, entonces los elementos del espacio vectorial nunca pueden ser de grado cero...

[@helamantecnci]

Profesor, como siempre es un placer ver sus videos, en mi caso particular, aun estoy tratando de asimilar los conceptos relacionados al lenguaje y la lógica que se utiliza en este tipo de ejercicios, la duda que tengo es: el asignar a x un valor igual a x subcero, parece ser la clave del ejercicio, pues gracias a eso la suma de todos los polinomios da cero y todo da siempre cero. incluso al derivar, ¿pero esto que significa? ¿que "B" es un sistema libre cuando x es igual a x subcero? De antemano muchas gracias por la atención. aprovechando la oportunidad para agradecerle por publicar conocimiento, reciba un cordial saludo!!!!...

[@juanmemol]

Gracias!!! Cuando tienes una igualdad de polinomios, o en general, para expresiones que dependen de x (o la variable que sea), es expresión es válida para cualquier valor (siempre que no salgan denominadores 0 y cosas raras, que no se contempla). Entonces ahí podría haber dado cualquier valor a la x, la igualdad que obtenga también será válida, x=0, x=1, ... La clave es dar el valor adecuado, y ese es x_0, porque este valor hace que se anule casi todo. Bueno, como tienes la igualdad, al derivar en ambas partes las expresiones son también iguales. De nuevo, la nueva expresión es válida para cualquier valor, podrías dar cualquier valor, pero interesa de nuevo x_0,.... Saludos!!!

[@helamantecnci]

@@juanmemol Muchisimas gracias por solventar la duda, me ha ayudado mucho su retroalimentación, le deseo el mejor de los éxitos!!!...

[@juanmemol]

Muchísimas gracias, te deseo lo mismo, espero que lo compartamos por aquí. Si te apetece, apúntate a nuestro grupo colaborativo de dudas en Telegram, te saludaré personalmente t.me/shurmatics

[@kaly_cl7]

Profesor cómo se demuestra formalmente que "Pn[x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, tiene dimensión n+1". Gracias.

[@libtemp]

No sé, pero se me ocurre que por inducción podría intentarse.