DÉMONSTRATION MUSCLÉE en Terminale : ln x ≤ x - 1

[@marcob279]

Ayant validé une première année de CPGE il y a pas mal d'années maintenant, et bien que mon cursus m'ait fait quelque peu abandonné les sciences et les maths ensuite, c'est toujours un vrai plaisir de me replonger dans toutes ces équations et autres. Votre approche pédagogique est remarquable, à faire aimer (ou continuer à aimer) une matière essentielle et passionnante. Merci beaucoup et continuez de la sorte ! 👍😉

[@likouns4844]

Une méthode pour expédier ça en deux minutes c’est dire que ln(x) est concave et que x-1 est tangente à ln(x) en 1.

[@richardheiville937]

Mais une méthode moins générale que ce qui est montré dans cette vidéo. Toutes les fonctions ne sont pas convexes ou concaves.

[@likouns4844]

@richardheiville937 C’est vrai mais dans ce cas précis ça marche étant donné que ln(x) est une fonction usuelle, ce cas est relativement simple et en devoir noté quelques minutes peuvent vraiment faire la différence. C’est bien d’avoir une méthode générale mais si on peut y aller plus vite pour gagner du temps il ne faut pas hésiter !

[@AthB2042]

Je ne sais pas si les terminales apprennent le a convexité/concavité.

[@richardheiville937]

@@AthB2042 C'était au programme il y a quelques temps (moins de 5 ans)

[@likouns4844]

@@AthB2042 ça m'étonnerait que ça soit exclu du programme, c'est vraiment un concept simple, peu dense et qui s'appuie sur des notions déjà acquises.

[@alphonceazebaze6482]

Trop bien ! Continue avec les exercices de terminale ! C'est vraiment instructif et ça m'aide beaucoup🤩🤩. Merci d'avance 🙏

[@hedacademy]

Ok 👌🏼

[@druzicka2010]

bon exercice avec les bonnes explications pour le résoudre pour le niveau concerné. 🙂

[@basilecampano5863]

On peut aussi le démonter en dérivant deux fois ln x, ce qui donne -1/x^2 qui est strictement négatif. Ln x est donc concave sur R+ donc ses tangentes sont au dessus de la courbe. On calcule ensuite la tangente en x=1 et on obtient T1:y=x-1 donc ln x

[@richardheiville937]

Trop compliqué. C'est plus simple ici, d'étudier le signe d'une fraction rationnelle.

[@Fyoken]

@@richardheiville937 C'est tout aussi rapide de calculer une tangente, ln est la fonction concave par excellence comme bijonction réciproque de l'exponentielle évidemment convexe par définition, et comme l'inégalité est une égalité en 1, tu sais que c'est la tangente en 1 qu'il faut tester

[@flight7218]

on peut aussi appliquer l'inégalité des accroissements finis sur [0,x] à f(x)=ln(x+1)

[@pyvonfaye9853]

On est d’accord qu’on peut utiliser l’inégalité des accroissements finis ? Ça va plus vite jpense

[@isjosh8064]

Remarquons que lnx = x-1 quand x=1 Prenons f(x) = lnx et trouvons la tangente à x=1 T(a) = f’(a)(x-a) + f(a) T(1) = (x-1)/1 + ln1 T(1) = x-1 On retrouve donc x-1 ce qui nous prouve que tout est inférieur lnx à part pour x=1 ou c’est égale.

[@fs6107]

Vous supposez que la fonction ln(x) est une courbe "simple", sauf qu'il y a des fonctions qui font des "S" 😁😉

[@samuelbenet007]

​@@fs6107 En même temps, ça fait parti de ton cours ^^

[@mohandchaoui7924]

Attention! Votre conclusion n'est valable que localement .. c'est à dire au voisinage de 1.

[@jean_orgues756]

Très bonne démonstration.

[@Cosmomaths]

c'est possible de faire une récurrence ? ensuite on dit que puisque ln et x-1 sont croissants alors ça marche pour tout x dans R pas que dans N

[@japamax]

1-x>=0 pourquoi ne pas rajouter x tout simplement 1>=x ?

[@batlikcover2538]

Parce que je pense qu'il voulait en profiter pour rappeler la règle du changement de sens de l'inégalité quand on multiplie par -1, car ça doit être un cas fréquent d'erreur

[@ABSURDITHEODORE]

Inégalité des accroissements finis ☺️

[@rachidazaghar]

merci

[@MrZen69]

Ca me rappelle de mauvais souvenirs 😅

[@lapichfamily7595]

Avant de calculer une dérivée il faut justifier que la fonction est dérivable. En l'état je mets 0 à la question.

[@mehdigouader]

lnx ' infiniment dérivable, 1-x polynôme infiniment dérivable la somme des 2 l'est aussi

[@j54bd38]

Des maths et de la magie à 2min 40 qd le ' apparaît tout seul^^

[@phi.2737]

Cela me semble extrêmement détaillé pour des élèves de terminale

[@cyruschang1904]

Que x soit e^y e^y = ∑(y^n)/(n!) ≥ 1 + y lnx = y x - 1 = e^y - 1 x - 1 - lnx = e^y - (1 + y) ≥ 0 Donc x - 1 - lnx ≥ 0 lnx ≤ x - 1

Muscléee? T'y vas un peu fort quand même non? 😁 La concavité est bien plus adaptée pour les inégalités.

[@hedacademy]

Si on le pose tel quel à des terminales, c’est vraiment pas évident je trouve. Et il faut créer un effet d’annonce 😉

@@hedacademy T'as raison. Pas mal ton effet d'annonce, ça a marché.👋

[@richardheiville937]

"musclée"? Un peu plus compliqué, montrer que pour x>=0, on a exp(x)>=1+x+x^2/2

[@AthB2042]

C'est pas très difficile avec le développement en série entière de l'exp.

[@Fyoken]

@@AthB2042 Le DSE n'est pas au programme de Terminale mais en soi c'est aussi du calcul de variation bête et méchant

[@richardheiville937]

@@AthB2042 Développement qui est inconnu d'un élève de terminale, d'ailleurs il ne sait pas ce qu'est une série entière.

[@richardheiville937]

@@Fyoken Oui mais il y a une subtilité. On ne peut pas se contenter de dériver une seule fois. Il faut établir un tableau de variation dans lequel on aura la fonction à considérer, sa dérivée, et sa dérivée seconde.

[@Fyoken]

@@richardheiville937 C’est un peu plus calculatoire mais c’est le même principe

[@wannabeactuary01]

Pas convaincu pour tout x > 0 ci-dessus. pour x → 0⁺ ln x → -∞ et f’(x) = 1/x - 1 > 0 pour 0 < x < 1 alors x - 1 > ln x pour 1 > x > 0 x - 1 = -1 + exp(ln x) - 1 = - 1 + 1 + ln x + (ln x)^2/2! +.... = ln x + (ln x)^2/2 ! +… ≥ ln x (égalité x = 1) car chaque terme de la série est positif

[@LaurentBessondelyon]

A 5:57 si on peut ! f(1)=ln(1)-1+1=0-0=0 or f(1) est un maximum => f(x)

[@skayzl1692]

t’as pas démontré grand chose la

[@kaaristotelancien3005]

Je te déteste 😂 j'voulais me reposer mais let's go temps pis

[@hedacademy]

😂😂

[@aurelienfleuryinfosvideos]

Tant pis ;)

[@charlietlo4228]

ln(x) ≤ x-1 Posons x = e^t ln(e^t) ≤ e^t-1 t ≤ e^t-1 t+1 ≤ e^t Multiplions par e^(-t) toute l'équation (legit vu que e^(-t) > 0 sur IR) (t+1)e^(-t) ≤ 1 Divisons par e puis multiplions par -1 -(t+1)e^(-(t+1)) ≥ -1/e Et là le coup de maître : fonction W de Lambert qui nous dit que W(xe^x) = x, j'applique des deux côtés -(t+1) ≥ W(-1/e) t+1 ≤ -W(-1/e) t ≤ -(W(-1/e)+1) Or 1/e = e^(-1) donc W(-1/e) = W(-e^(-1)), la magie de la fonction opère : ça donne -1 J'ai donc t ≤ -(-1+1) donc t ≤ 0 Donc pour tout t ≤ 0 c'est validé. 0 majore donc les valeurs de t. e⁰ = 1 majorera donc les valeurs de x. Donc initialement, c'est valide pour tout x ≤ 1. En réalité c'est aussi valide pour x > 1, c'est juste qu'ici la fonction W de Lambert je l'ai utilisée sur sa branche principale, qui ne permet pas de résoudre dans IR au complet. Il faudrait prendre la branche complémentaire (notée W_(-1) souvent) pour finaliser la méthode).