【東大2021】"なんとなく" ではなく，方程式の解の議論に持ち込もう【微分法】

[@user-wj6ii3ob2w]

面白いです！

[@884]

ありがとうございます😊

[@サッカー極]

必要十分であることを言うには中間値の定理ですかね

[@alexhuang6396]

I genuinely like how you explained all these questions patiently and flawlessly. Absolutely fabulous Math & Japanese learning resourse for me 😊

[@884]

コメントありがとうございます！お役に立てたようでよかったです😌 日本語ではありますが，丁寧で正確な説明を心がけています。

[@カリフォルニアロール-h1n]

板書丁寧

[@884]

ありがとうございます✨

[@詩島剛-z7o]

Twitterでも林さんがおっしゃっていた通り図を書いて考えると沼にハマってしまいますよね。方程式の解に着目するという視点はやはり大事です。いい問題。

[@884]

セオリー通りの解法を淡々と使えるかが問われるという意味で，入試問題として良問だったと思います。

[@アラー-h3j]

これは難しくはないが良問

[@boy-gx1vm]

めっちゃわかりやすい

[@884]

ありがとうございます✨

[@ルンルン-o9k]

初見です。数学苦手な自分も解けました！東大受ける人は解けて当然なんですよね…、自分も頑張らないとですね。頑張ります！

[@884]

おー素晴らしいです！🎉 こういう問題を確実に正解できるようになると，東大合格が見えてきますね。

[@pacho731]

やっぱりちゃんとした問題を解説すると時間がかかりますね。 多分4分半にはなりそうです。

[@884]

大まかな方針や主要な計算式，それに答えだけ書くという手段はあるのですが，やはりこうした記述式の試験では途中のロジックが大切なので，僕のチャンネルではあまり妥協しないで解説しています。

[@pacho731]

@@884 そのポリシーが素晴らしいです！

[@心雨-f2f]

x=cos,y=sinで置いて、cos(≠0)で割って、tanの式にして定数分離して、3次関数が3解の条件で解きました！ (読みにくくて、すみません)

[@884]

そういう方法もありますね！

[@hiroshtateishi4212]

私は50年前の受験生ですが、多分、私も三角関数に置き換えて解いただろうと思います。

[@shumirisu]

東大数学ですか！ 興味があって見に来ました。

[@884]

ありがとうございます✨

[@ふだんよう]

今年の受験で原点中心の単位円を何回見たことか…

[@pacho731]

今まで非常に簡単な問題ばかり扱っていましたが、 今度は東京大学の「平均的な簡単な問題」を解説してみたいと思います。 とりあえず動画づくりに参考にさせていただきます

[@884]

おー素晴らしいですね！ 頑張ってください🔥

[@山田章章]

I am a fan of mathematics. I am always watching. I would very much appreciate an explanation of graph theory for the second semester of 1998 Science Math, question 3. I've heard other youtubers explain it in various ways, but I can't seem to understand it clearly. Please help me.

[@アスパラガス-f5s]

6個の共有点！？というのが最初の感想だったんですけど、単位円を「原点からの距離が1である点の集合」と捉え直すことで一気に目の前が明るくなりました！とはいえf(t)の次数が偶数しかないからもう一度変数を置き直せる、というところまでは目処が立ちませんでしたが笑

[@884]

おっしゃる通り，"円" というのを "原点からの距離が 1 である点の集合" と捉えること，そして対称性に着目して 3 次関数の話にもっていくことの 2 つが本問のポイントですね！

[@springroll2624]

グラフの概形を書くとしたら原点からの距離ですかね。原点で点対称の3次曲線が単位円と共有点を6個持つのなら、距離が無限遠から一旦1未満まで近づいた後1を超えるまで遠ざかり、また近づいて原点で極値0。その後はまた1超、1未満を経て、無限遠へと遠ざかる。つまり距離は6次関数でy軸対象なので、極値が原点含む5か所、よってx>0での極値が距離1超と1未満で1回ずつになればOKですね。グラフの概形が最初からわかってるんで、増減表は無くても良いかな？

[@scarlett1195]

問題文で与えられたaの条件は常に見えるようにしてもらえるとありがたいです！

[@884]

全文とまではいかなくても，求めたいものなどを隅っことかにまとめておく感じですかね。 それはやる価値ありそうなので，今後導入するかもしれません。

[@数学むずかしい]

@@884 いや、今回の場合は、aが正の実数というのを書いといてって意味だと思いますよ。

[@884]

あーなるほどですね。

[@中島泰勢一緒に北大行こ]

基礎問題精講しかやってないけど、いい線行った！！（高２）

[@884]

素晴らしいです！

[@桜木秋水]

条件③を見落としてました･･･ 結果は同じだけど･･･ 明示しないとダメですよね？

[@884]

相異なる 3 つの "正の" 実数解をもつような a の条件を求めているため，g(0)

[@uts2_phemia]

θが0

[@けろけろ-w5o]

θは置換してるだけなんで、いつも使ってるθと意味合いが違うと思います。

[@user-bu2jc2pb3y]

x>1では絶対原点からの距離が1より大きくなるので、いらないんだと思います

[@uts2_phemia]

@@user-bu2jc2pb3y ありがとうございます

[@pacho731]

アプローチは合っていましたが微分をしっかりやっていなかったので間違えてしまいました。

[@884]

方針が合っているだけではそんなに点はもらえないので，最後まで気を抜かずに計算しましょう！（未習，あるいは習いたてであれば仕方ないですが）

[@pacho731]

@@884 とりあえず私は方程式を立て、微分する段階までは出来ましたが、その後の微分と方程式の解に対するアプローチが出来ませんでした。まだ微分は習いたてです。

[@pacho731]

この動画って4k撮影なんですね。

[@884]

あんまり 4K のご利益ないですけどね笑

[@pacho731]

@@884 でも非常に見やすくなってます。

[@haruharu949]

複3次式を得るのは、与えられた条件より(x0, y0)が解なら(-x0, -y0)も解になるということを反映しているのですよね。だから問題を見た瞬間に安心して手を付けられますね。

[@884]

グラフがいずれも原点対称ですからね！

[@おぎゃゆー]

今年の文系数学の中では平易な問題だと思います。落としたくない問題ですね！

[@884]

そうですね。 セオリー通りに解けばそこまで苦労せずに正解できるので，これは取りたいところです！

[@高坊-w9t]

プラチカにめっちゃ似た問題あった希ガス

[@パパ-v8s]

ちゅうか字綺麗～(*´ー｀*) 習字やってましたか？

[@884]

習字の経験はないですね〜 小学生の頃はかなり字が汚かったのですが，たくさん練習して，ある程度整った字が描けるようになりました。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70G" a > 0, C : y＝ a x³－2 x と、 円 : x²＋y² ＝1 を連立して、 x²＋( a x³－2 x )² ＝1【 ⇔ a² x⁶－4a x⁴＋5 x²－1＝ 0 これが、6個の実数解をもつ･･･① 】 ような a の範囲が求めるもの。 ここで、 t＝ x² ( ≧ 0 ) とおくと、 t > 0 である t 1個 に対して、x は 2個対応する。･･･②, ①より、 a² t³－4a t²＋5 t－1＝0 f(t)＝ a² t³－4a t²＋5 t－1 とおくと、 f'(t)＝･･･＝ ( a t－1 )( 3a t－5 ), 増減表と、 ①,②と f(0) ＝－1 ( < 0 ) に注意して、 f(1/a)＝ 2/a －1 > 0 かつ f(5/3a)＝ 50/27a －1 < 0 ⇔ 50/27 < a < 2 ■

[@sekqi9489]

結局は基礎が全て

[@884]

わかる

[@sekqi9489]

@@884 編入試験とかでも問われるのってやっぱり基礎なんですよね？今年編入学をするので死ぬ気で問題集を繰り返してるのですが、もしよろしければ高校の範囲の数学の問題も編入試験では範囲になってるので旧帝大の過去問をyoutubeで取り扱ってくだされば幸いです。長文申し訳ありません。

[@カイン-f6y]

ハイ理に全く同じ問題あったな，確か

[@makki512]

なんとなくだけど、円と交わることも考えると「θが1未満」という条件も必要な気がしてくる。。。つまり、5/(3a) < 1かつg( 1 ) > 0も必要なのかなと。 けど必要ないような気もする。。。むずい。。。

[@NatureJapan3776]

6次関数のままで処理しました。 t²=0 という微妙な条件を考慮する必要が無いので少しだけ考えやすかったが、文系の高校生だと6次関数で説明するのは止めた方がいいんでしょうね... 図を書いた方が良いかどうかというのは問題にもよりけりかなぁ～と思いました。 図から大体の答えが想定できる場合もあるので。この問題もそう。 それだけに、図を書く場合は実際の縮尺に合わせた図を書くようにしますねぇ～ この問題の場合は、交点は必ず第2,4象限になりますが、一目ではわからないし、変なミスリードにならないように式だけでも解けるようにしたい所ですかね。

[@884]

6 次関数のまま処理する場合，どういう方法になるのでしょうか？ 3 次関数であれば，今回の動画のように極大点・極小点などを分析すれば解けますが，6 次関数のまま扱う方針がわからなくて。

[@NatureJapan3776]

@@884 グラフの対称性からg'(Θ)で因数分解可能ならf'(t)でも因数分解可能なはず。 f(t)=a²t⁶-4at⁴+5t²-1 f'(t)=6a²t⁵-16at³+10t=6a²t(t-1/√a)(t+1/√a)(t-√(5/3a))(t+√(5/3a)) 5つの極値のうちt=0の時はf(0)=-1、かつ-√(5/3a)

[@aotanuki-q2x]

駿台のテキストにのってる。

[@天地万象皆我師]

あざっす！

[@884]

おっす！ いつもコメントあざす！

[@天地万象皆我師]

@@884 こっちの台詞です😾

[@taisyk1119]

高１でもとけますね！

[@884]

一応，3 次関数の極値を調べるところがあるので，動画で紹介した解法だと，数学 II の知識は必要になります。 解法によっては数学 I・A の知識で解けるのでしょうか？