【東京帝国大學】積分の難問！根号をどう処理する？【戦前入試問題】

[@884]

みなさん，こんばんは！今回は，tan を用いた変数変換（置換積分）で解決する積分を 2 つご紹介します。 前々回・前回と共通しているのは，やはり「根号のない形にする」という考え方ですね。 根号の中身をあるものの二乗にすることで，新しい変数についての有理関数等にして計算していくというわけですね。 ★訂正 12:25 あたりで sinθ を x で表していますが，分母には根号が必要です。ごめんなさい。 ご指摘くださった方，ありがとうございます！ ★補足 撮影後に計算したら，分母の根号およびその中身自体を置換（変数変換）するという方法でも思いの外簡単に計算できました。 ぜひみなさんもやってみてください！ ※こんなふうに，根号およびその中身をそのまま別の文字でおくという方法も，根号を含む積分の計算ではよく見かけます。

[@golf2796]

実は気になって仕方がないところの、定義や範囲といったことによく気を使われているように感じられました。とてもいいですね。

[@884]

ありがとうございます！ 僕自身もこういうのは気になるので，なるべく調べるか考えるかして，どうしてもわからないことは動画内でその旨を述べるようにしています。

[@tima_0416]

一段落をちゃんと「いち段落」と読んでいて、教養の高さがうかがえる。

[@vbj9271]

12:27 のsinθの分母のルートが抜けています！

[@884]

あらほんとですね💦 ご指摘ありがとうございます！

[@める-m2t]

最近積分終わったのでいい練習になりました！

[@884]

それはよかったです。 結構難易度は高いですが，力試しにぜひ！

[@はーたいやき]

基本問題だけど最も綺麗な形になれないかな。

[@LilyKittyful]

先日久しぶりに東京大学の問題を調べて見たところ、2019年の理系数学の第一門に分母に根号が含まれる定積分の純粋な計算問題が出題されていることを発見して驚きました。 戦前の帝国大学の問題も数学を含め現在の入学問題に通じるものがあると感じました。東京大学の入試問題は大江健三郎さんが受験された1950年代には文理の区別がなく数学の配点が高く、理系でも二時試験で2科目の社会が理科に加えて必須だったことは凄いと思いました。現在でも文理を問わず国語でレ点やカナ付きながら漢文が出題されていることも立派で、他の大学も見習う点が多いと感じます。 私が現役だった時代には文系でも楕円の等式と行列が必須で私の高校の定期考査も大学入試並みで難解な問題に大変苦しめられましたが、範囲が狭くなって今でも、数学の入試問題は多くが難問揃いで、応用力の重要さを再認識させられます。

[@884]

最近は，東大でも京大でも定積分の計算問題が出題されていますね。 なんだかんだ，自分で手を動かして正確な答えを出す能力が求められているということなのでしょう。 特に最近は，KZbin で動画を見て「解法を知っている」「面白い問題を知っている」だけの人が多そうですからね。

[@燕昇司-u2k]

(b)は分母分子にx^5をかけて 微分系の接触を作る方法でも解けました

[@884]

おーなるほど，そうすれば明快ですね！ ありがとうございます。

[@田舎の爺さん]

爺は貴方の方法に感心しました。学生の皆さんは、この方法が最速と思います。

[@884]

僕もそう思います！ 撮影時には気づきませんでした。勉強になります。

[@xy8066]

かしこい

[@884]

@@xy8066 僕もそう思う（小並感）

[@さらまんだー-b3c]

(b)は見た瞬間分子分母にx^5をかけたくなりますね

[@tigertarou68]

tanの置換が有用だと言いたかったのだと思いますが、√(x^6+1)で置換しても割と楽にいけますね。 原始関数の微分はしたく無いですけど。

[@884]

あとで計算したらそれでも意外といけることが判明しました💦 先入観なく色々な方法を扱えるようにしたいですね！

[@yukihyde1]

これやって見たら 答案が半ページぐらいに減りました！ 根号全体を置換する発想って やっぱ凄いですね♪

[@mathseeker2718]

2つ目の問題で質問なのですが、 y=x^3+√(1+x^3)として置換積分してやると、途中の計算は少しシンプルになり、答えは次になります。 1/3log((x^3-1+√(x^6+1))/(x^3+1+√(x^6+1)) これと林さんの答えが似ているようですが、同値かわからなかったので、パソコンでグラフを書いてみたところ、林さんの答えはxの全領域で、私の答えはx>0の領域しかグラフが書けませんでした。 私の答えはどこかが間違っているのですかね？どこかの場合分けを省略したのがダメだったのかもしれません。

[@884]

面白い置換ですね！ その置換だと，そもそも 任意の正実数 x に対して y > 0 となります。 だから x > 0 の範囲しかグラフが出てこないと思うのですが，いかがでしょうか？

[@mathseeker2718]

確かにおっしゃる通りのようですね。 一方で、x=tanθ^1/3の置換の場合、xは全実数を表現出来ているから、適切に解が得られるということと理解しました。勉強になりました、ありがとうございます。 ちなみに、よくあるy=x+√(x^2-1)の置換でも、0〜1とy

[@ソーメンチャンプルー]

1番、　3(√xの2じょうタス2xタス5 )＋　log xタス1タス√(xの2じょうタス2xタス5)じゃね

[@884]

それも正解です！（というか，その方がシンプルですね笑） ありがとうございます。

[@yuukinishimura9346]

タンジェントすごいけど、ルートの中身や分母の式の最高次数が奇数だったら全然別のアプローチが必要そう

[@884]

0 から +∞ までの積分なら Gamma 関数とかで計算できるかもしれませんが，不定積分だと超幾何級数とかの出番になる気がします。

[@白夜王ヤイバ]

結構簡単ですな かっこ2はx^5を作る方が早いですね

[@884]

そうですね。撮影時点では気付きませんでした💦

[@田舎の爺さん]

爺も少し考えてみました。　( a ) これは基本通りに、　x+1= 2 tan θ とおくと楽ですね。　(b) 爺は少し戸惑いましたが、閃きました。　そうです、　x^３= t とおくのです。あとは、普通の積分です。その次に、t=tan θとおきます。そのあとcos θ ＝u と置換します。　( b ) の解、　1/6 ・log l ( 1－√( 1+x^6)/ ( 1+ √ (1+ x^6) l+C. (c) 感想、爺でも閃くんですね。亀の甲より年の功ですかね。爺は80歳には少し、間があります。

[@884]

日々ご自身でも手を動かして考えていらっしゃって，素晴らしいですね！🎉

[@田舎の爺さん]

@@884 有り難うございます。爺はひまのときは、物理、数学、英語で頭の体操をしています。

[@切り抜き-o8h]

なんでこんなに分かりやすいんだろう。将来何か発見してノーベル賞でも取って欲しいと心から願います

[@884]

そうおっしゃっていただけて嬉しいです！ 内容はまだ未熟なので，今後も日々磨いていきます。

[@co1556]

(b)は変数変換の発想はまだしも元に戻すのは中々しんどいですねw 一方(a)は私の好きなタイプの問題です。∫f'(x)/f(x)dx=log┃f(x)┃+constの公式は積分の公式の中でも特に好きなものなので無理矢理使おうとしたことも幾度か。

[@884]

今回も，その公式を使うことで分子の一部を計算でき，多少楽になりますね！

[@asukamiraidream]

双方とも逆双曲線関数が絡んでいるなと思って前半はsinh()の置換、後半はcoth()に睨みを効かせました。 双曲線関数や多価関数は高校数学では扱われていないのですが（※自分は独学で中学の頃に覚えましたが）、それを背景とした問題は入試でも散見されていますので、色んな思考力を以ってして物事に取り組んでいく姿勢は、入試だけではなく、あらゆる事象でも重要ですね。

[@884]

双曲線関数（や逆双曲線関数）は，直接的には大学入試の範囲外ですが，各種性質や置換の方法を誘導問題に落とし込んで出題されるということは十分ありえるので，大学受験生も知っておいて損はないですね。 無論，大学入試より先ではたくさん出番があります。僕がいた物理学科では，例えば相対論の rapidity が tanh の逆関数の形になっています。