大学入試数学解説：京大2012年理系第6問【数学A 確率】

[@MY-fujifabric]

良い問題 3つの領域に分けて確立漸化式にする発想があるかどうか

[@Mega11041104]

確率漸化式をたてると rn+1=(4/6)*rn+(4/6)*pn+(5/6)*rn pn+1=(1/6)*rn+(2/6)*pn+(1/6)*rn qn+1=(1/6)*rn 1=pn+qn+rn となり これを解くと rn=24/35+(1/10)*(1/6)^n+(3/14)*(-1/6)^n qn=4/35+(1/10)*(1/6)^n+(-3/14)*(-1/6)^n pn=7/35+(-2/10)*(1/6)^n となります1=pn+qn+rnをうまく使わないと解けないのでちょっとしんどいですね

[@おでんの中ではこんにゃくが好き]

めちゃわかりやすかったです。ありがとうございます。毎日見てます

[@KK-qw9vv]

この問題は連分数展開が背景にあるらしいですね

[@gg7024]

こういう問題解いてて楽しいですね

[@thsjsnsj]

連分数展開で Y(k+1)=[X(k),X(k-1),X(k-2),…] (1+√3)/2=[1,2,1,2,1,…] 1+√3=[2,1,2,1,2…] に気づいて、解けませんでした。

[@NatureJapan3776]

図のpₙ, qₙ, rₙ求めてみました。φ（．．） 周期性を利用して求めています。 pₙが設問の答えとなります。 (√3+1)/2≦Yₙ=Xₙ+1/Yₙ₋₁≦√3+1 【ア】Xₙ=1の時 　(√3-1)/2≦1/Yₙ₋₁≦√3 ⇔ Yₙ₋₁≦√3+1 ⇔ Xₙ₋₁+1/Yₙ₋₂≦√3+1 ...① 　【ア-1】Xₙ₋₁=1の時 　　1/Yₙ₋₂≦√3 ⇔ 1/√3≦Yₙ₋₂ ①は常に成立 　【ア-2】Xₙ₋₁=2の時 　　1/Yₙ₋₂≦√3-1 ⇔ (√3+1)/2≦Yₙ₋₂=Xₙ₋₂+1/Yₙ₋₃ ...② 　　【ア-2-1】Xₙ₋₂=1の時 　　　(√3-1)/2≦1/Yₙ₋₃ ⇔ Yₙ₋₃≦√3+1 ...①の条件と同じなので①へ 　　【ア-2-2】Xₙ₋₂≧2の時 　　　②は常に成立 　【ア-3】Xₙ₋₁≧3の時 　　①は成立しない。(rₙを満たす) 【イ】Xₙ=2の時 　(√3-3)/2≦1/Yₙ₋₁≦√3-1 ⇔ (√3+1)/2≦Yₙ₋₁=Xₙ₋₁+1/Yₙ₋₂ ...③ 　【イ-1】Xₙ₋₁=1の時 　　(√3-1)/2≦1/Yₙ₋₂ ⇔ Yₙ₋₂≦√3+1 ...①の条件と同じなので①へ 　【イ-2】Xₙ₋₁≧2の時 　　③は常に成立 【ウ】Xₙ≧3の時 　(√3+1)/2≦Xₙ+1/Yₙ₋₁≦√3+1は成立しない。(rₙを満たす) 【ア-2-1】と【イ-1】の部分で周期性を持つ。 また、周期の最後の部分は、 【エ】X₄=1の時 　Y₃≦√3+1 ⇔ X₃+1/Y₂≦√3+1 ...④ 　【エ-1】X₃=1の時 　　1/Y₂≦√3 ⇔ 1/√3≦Y₂ ④は常に成立 　【エ-2】X₃=2の時 　　1/Y₂≦√3-1 ⇔ (√3+1)/2≦Y₂=X₂+1/Y₁ ...⑤ 　　【エ-2-1】X₂=1の時 　　　(√3-1)/2≦1/Y₁ ⇔ Y₁=X₁≦√3+1 ⇒ X₁=1,2の時成立。(X₁=3,4,5,6の時qₙを満たす) 　　【エ-2-2】X₂≧2の時 　　　⑤は常に成立 　【エ-3】X₃≧3の時 　　④は成立しない。(rₙを満たす) 【オ】X₄=2の時 　(√3-3)/2≦1/Y₃≦√3-1 ⇔ (√3+1)/2≦Y₃=X₃+1/Y₂ ...⑥ 　【オ-1】X₃=1の時 　　(√3-1)/2≦1/Y₂ ⇔ Y₂≦√3+1 ⇔ X₂+1/Y₁≦√3+1 ...⑦ 　　【オ-1-1】X₂=1の時 　　　1/Y₁≦√3 ⇔ 1/√3≦Y₁ 常に成立する 　　【オ-1-2】X₂=2の時 　　　1/Y₁≦√3-1 ⇔ (√3+1)/2≦Y₁=X₁ X₁=2,3,4,5,6の時成立。(X₁=1の時qₙを満たす) 　　【オ-1-3】X₂≧3の時 　　　⑦は成立しない。(rₙを満たす) 　【オ-2】X₃≧2の時 　　⑥は常に成立 【カ】X₄≧3の時 　X₄+1/Y₃≦√3+1は成立しない。(rₙを満たす) ・pₙ 条件が成立する部分、 【ア-1】...【エ-1】【オ-1-1】の部分で、Σ[k=2,n-1](1/6)ᵏ 【イ-2】【ア-2-2】...【オ-2】【エ-2-2】【オ-1-2】の部分で、Σ[k=1,n-1](5/6)(1/6)ᵏ 【エ-2-1】の部分で、2/6ⁿ 足したものが求めるものなので、 Σ[k=2,n-1](1/6)ᵏ+Σ[k=1,n-1](5/6)(1/6)ᵏ+2/6ⁿ =1/5-1/5*6ⁿ ・qₙ 【エ-2-1】でX₁=3,4,5,6の時、4/6ⁿ 【オ-1-2】でX₁=1の時、1/6ⁿ 足して、4/6ⁿ+1/6ⁿ =5/6ⁿ ・rₙ 【ウ】【ア-3】...【カ】【エ-3】【オ-1-3】の部分で、Σ[k=0,n-2](4/6)(1/6)ᵏ =4/5-4/5*6ⁿ⁻¹ ＼(^O^)／ ε=(-ω―;)フーッ、書くだけでも疲れるわ、目はチカチカするわ... 間違ってたらゴメンね～誰か指摘してね～(;^_^A √3の連分数展開かしらこれ？ さすがにもう眠い。お休み～(-_-)...zzzZZZ

[@Mega11041104]

とりあえずqn+1=(1/6)*rnですから違いますねそれ

[@nakajun2000]

p_nとしてるのがq_n、r_nの存在を匂わしてる感じがして好き

[@hikak7550]

とけた！

[@packpack3349]

q_n=1/6 * r_(n-1) r_n=2/3+1/6 * q_(n-1) と分かるので、後は、煮るなり焼くなりすれば、q_nとr_nが求まると思います。

[@NatureJapan3776]

面白そうだったので何とか根性で解いたσ(^_^) 周期性から考えた。 これを試験場で解ける人は優秀だと思う。 それとよくこんなパズルみたいな問題考えるよな～と思った。

[@A_4210]

1から7にしかならないから漸化式がすぐわかって終わり 気づいてしまえば20分程度だが… まあ難しい

[@douglasdaikon5310]

問題なく解けたので良かった

[@カメラ松坂]

バケモンおるやん

[@douglasdaikon5310]

@@カメラ松坂 偶々ですよ

[@lltmp7479]

しんすうえんに乗ってたむず問題だ、、、

[@618ahmos5]

8分54秒のXnが3以上の時の場合けで、3≥1+√3のところで等号は外さなくていいのでしょうか？

[@スマホで作曲]

場合分けまでわかったけど説明ができなかった

[@せみとんぼ-o1k]

実験しないとやっぱり何してるかわかんにゃい

[@ベンゼン-l3i]

漸化式は立てられた

[@hen-sioncom-pre46]

これはヤバい、捨てもんでしょう

[@桜ピンク-g9j]

古賀さま 中学受験の空間図形とか コーナーできてくれないかな〜 まあ無理かな・・・・・・・・ この方はレベルが高いから

[@来生不做中国人-q2v]

見てもわからない。僕の数学もダメだ

[@ipu_dayoh]

過呼吸なりかけた