大学入試数学解説：京大2021年文系第5問【整数問題】

[@MasakiKoga]

受験生はこれを見ないで二日目がんばれ！

[@zyurikozyuriko2811]

高1ですが、簡単に解けました

[@zyurikozyuriko2811]

先生の解説良かったです

[@2_to_the_tenth_power]

@@zyurikozyuriko2811 強い

[@cucumber1357]

p = 2, 3, 5, 7 で実験したら p=5 の時以外 p^4 + 14 が 5 で割れることに気づいて mod 5 を使いましたが、p = 3 の時以外 p^4 + 14 が 3 で割れることから mod 3 を使ってもよかったんだな。

[@user-zf8lx4ix4p]

p=2のときは与式=30より素数でない p=5のときは639より素数でない 他の素数の一の位は1,3,7,9より 1⁴+14の一の位は5 3⁴+14の一の位は5 7⁴+14の一の位は5 9⁴+14の一の位は5 よりすべて5の倍数であり素数にはなりえないQ.E.D.

[@あまたあたま]

P=5の時は5の倍数かつ素数なのでP^4+14>5が必要

[@arrow_dropout]

フェルマーの小定理を使えば早いですね． p^4≡1 mod5 (∵p≠5 のときpと5は互いに素） p^4+14≡15≡0 mod5 p=5のとき 5^4+14=639=3*213 よってp^4+14は必ず合成数となる．

[@hell_near1]

京大入試ではフェルマーの小定理を証明なしに記述に書いていいんですかね？

[@ファンクション]

フェルマーの小定理って偉大なもので受験において汎用性も高いのに教科書載ってないってだけで使えるか微妙ってのがね…

[@Uhyohyohyo]

あすっげえ 俺でも分かった

[@YK-mg3zl]

京大、mod3好きなのがバレた。

[@statueofliberty1396]

Twitterのコメ欄にもいましたね

[@ああ-z3h3f]

これ見た瞬間ラッキーって心の中で叫んだ 明日もがんばりまーす

[@ヨミ-n2j]

これは難しくないのは確かだけど5問あると考えたらこういうのがあると安心できて力も出しやすいと思う、東大の方も見たけどそちらは目に見えて易しいと思えるのは3,4の(1)ぐらいだったし

[@Anemone1665]

京大MOD3使いすぎて草

[@HachiKaduki0501]

2^4=16,3^4=81　これらに14を足すといずれも５の倍数。 5^4+14=639（例外：３の倍数） 7以上の素数は１の位が3,7,9なので４乗すると１の位が１になるから、14を足すと５の倍数、とやってもいいですね。

[@HachiKaduki0501]

@Tossy 0609 さん、ありがとうございます。 　なんで飛ばしたんやろ？

[@caramelsheep.]

めちゃくちゃ疑問なんだが、7以上の素数の1桁目が3.7.9になる事を証明しないと自分なら減点対象にすると思います。

[@HachiKaduki0501]

@@caramelsheep. さん、ありがとうございます。 　（古いコメントなので、定かではありませんが）末尾が５の場合は５の倍数であることが自明なので、7以上の素数の末尾は 1,3,7,9 のどれかであり、いずれにせよ4乗すれば末尾が１になるので、14を加えれば５の倍数だと言いたかったのだと思います。 （１が抜けていたので、意味不明のコメントになってしまいました。申し訳ございません。）

[@caramelsheep.]

@@HachiKaduki0501 自分の勉強不足かもしれませんが、 全ての素数が解明されていない以上末尾の数字が確定するって表現はおかしいのでは無いかと思うのですが？ 未知の素数が別の数である可能性が0と言う事をきちんと書かないと普通は減点対象なのかなって思います。

[@HachiKaduki0501]

@@caramelsheep. さん 　"末尾（１の位）が 1,3,7,9 ならば、その数は素数" と言っているのではなく、"ある数が素数ならば、その末尾（１の位）は奇数かつ５ではあり得ない（∵１の位が偶数ならば２の倍数、５ならば５の倍数）" と言いたかったのですが…

[@abc5286]

京大受験者なら「素数×3の剰余」の合わせ技は超必須事項なので瞬殺しないといけない問題ですね。解答作成時間を含めても5分で、長くても10分以内には解きたい問題です。

[@ぴーなっつ-y9e]

5:26 「 3の倍数”じゃあ”ないですよねッ！」

[@bigbruhhhhmoment]

以下6を法とする 5以上の素数はp≡±1である←※ これより、p^4≡1すなわちp^4+14≡3 ここでp^4+14>5である事から、 ※よりp^4+14は素数でない p=2,3の時、p^4+14は明らかに素数でない 最初にmod6で絞ろうとしたのですが、mod3で良かったですね。

[@特定毒物]

貫太郎さんの動画も見て、こちらの動画も見て納得した。 丁寧な解説をありがとうございました。

[@kure254]

第五問と言うことは順番にやっていくと、時間がなくなって解けなくなってるかも知れないから、最初に全部見通しておくのが良いって感じになりますかね。

[@tom-yam-kun]

教育格差解消のために近年出てる、公立高校生が点取りやすい問題。東大も同様で、公立高からの合格者が徐々に増えてるよね。

[@西洋の名画]

勉強部活行事の公立進学校いいぞ～

[@yichenwang1600]

知らなかった　そういう意図があるのか

[@ファンクション]

そんな意図があるのか。でも、こんな問題京大受ける人達なら全員解けそうだけどね。結局その他の問題で差が出るから、あんま解消にならない気がするんだけど。

[@chikaz6761]

※進学校に限る

[@ジョン永遠]

p=7のときはまともに7^4を計算しなくても7^4+14=7(7^3+2)だから合成数であることは明らか． 3の倍数であることを見るために7^3なら計算する気になれる もっとも7=6+1だから7^3+2≡1+2≡0 (mod 3) で3の倍数も見やすい

[@yonoyono4982]

入試でmodを使う事に否定的な方もいるようですが、敢えて使わないとすれば (p^2+4)(p+2)(p-2)+30と式変形すれば pが3以外の素数の時に与式が3の倍数であることは比較的簡単に示せますね

[@白夜王ヤイバ]

自分は (p+1)(p-1)(p^2+1)+15 が先に思いついた派です

[@yonoyono4982]

@@白夜王ヤイバ そっちの方がきれいですね！

[@スコッチ-q3w]

パッと見背理法で証明するのかなと思ったら予想外にエレガントな解法でした（笑

[@hiros.i.s_3943]

「3より大きい....」の件 勉強になりました。 言葉、表現、論理、論理的展開、以後再度気を引き締めて、2年後に備えたいと思います。 これだけ易しいと全問正解以外無いすね

[@フジ334]

方針は簡単にたてられるから、どれだけ解答にうつせるかの問題やと思う

[@みなと巴]

京大昔からこのタイプの問題好きですね

[@johnsmith_yuki]

p=2,3の時 p⁴+14∉ℙより命題は真 p≧5の時 p≡±1 (mod 6) (∵自明) この時p⁴+14≡15≡3 (mod 6) ∴p⁴+14は3の倍数 したがって命題は真。 // 普通は実験して求めるけど脳筋プレイならこれもオヌヌメ ⁴は偶数乗だから±が打ち消せることに着目すれば。 まあ十分必要性は大丈夫じゃないかと(よくみてないけど)

[@mtj.5213]

いつも思うけどこの人死ぬほどわかりやすい

[@user-xc7tj3cl1s]

p≡±1(mod6)で瞬殺でした。コロナマンで相当簡単ですね。これなら岡大とかの方が難しいです。

[@アーニャ-k7e]

2.3を除く全ての奇数は6n+_1で表せることを知ってればMOD6で3の倍数秒殺

[@サピエンス-i8w]

「京大これ好きやね」ってコメント見て、まさか…と思ったらまさかのやり方で驚いた。 けどこれ実際に解いた受験生は、方針立てづらくて相当焦っただろうなぁ

[@Sharpandup]

「5だけ確かめてmod5で終わりじゃん、即答!」と思って見たらmod3だった…いやmod5でも正答にはなるが(5以外の素数は5で割り切れないが、素数5で割って1or4余る数なら1+14と、2or3余る数なら16+14と5で割った余りが等しいp^4+14は14以上の5の倍数なので素数になれない。5の場合は動画の通り639なのでやはり素数でない。以上より)なんで先に3が出なかったのやら…

[@lllllllllllll-k5s]

フェルマーの小定理で一発ですね！

[@荻野憲一-p7o]

「pが素数でないとき」という条件が、 渋い目くらましで味わい深いね。

[@洗面器-w6i]

解説まだみてないけど、素数の一の位は1,3,7,9で、それを4乗したら一の位が1になるから14と足したら5の倍数かな。

[@なっとう-f7p]

洋服オシャレ〜👕

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70【 素数 p ＝ 2, 3, 5, 7, ･･･〖 実験する 〗】 Y＝ p⁴＋14 とおく。 p＝ 2 のとき、Y＝ 30 ＝ 2･3･5 ≠ (素数) ･･･① p＝ 3 のとき、Y＝ 95 ＝ 5･19 ≠ (素数) ･･･② p ＞ 3 のとき、mod 3 の合同式を 用いると p ≡ ± 1 と表すことができる。このとき、 Y ≡ ( ± 1 )⁴ ＋14 ≡ 1 ＋ (－1) ≡ 0 だから、 Y＝ (3の倍数) > 3 ･･･③ ① ② ③ より、 Y＝ p⁴＋14 は 素数でない。■

[@naocolon]

2は3を法として-1ですから③と同じですよ

[@coscos3060]

半年位前　合八さんから助言してもらったベン図の問題　一橋大で出題され古賀さん解説されてましたね😂

[@YouTubeAIYAIYAI]

@@coscos3060 さん お役に立てて嬉しいです👏

[@ban-vt2co]

2と奇数で証明するのはダメなんですか？

[@木村洋右]

質問があります。京大文系数学の入試問題は、難しいですか？

[@officialyoutubetaka5224]

今年が例外なだけ

[@kenichimori8533]

P^4+14 = 0 四次方程式なので代数的な解が存在します。代数的な素数は存在しません。アーベルの定理より　五次以上の方程式には代数的な解は存在しません。

[@白夜王ヤイバ]

(p+1)(p-1)(p^2+1)+15 としたら 普通にやっても楽ですね

[@cucumber1357]

なるほど、出題者はこうやってp^4 + 14 を作ったのか！ P = 3 以外なら p + 1 か p - 1 のどっちかは 3 で割り切れるし、 p = 5 以外なら p + 1 か p - 1 か p^2+1 が５で割りきれる。でも p^4 - 1じゃ因数分解できちゃって簡単すぎるから15を足して目くらましをしたわけですね。

[@アテネ-x3e]

ワイはmodがわからんからこれだった

[@奥村泰雄-e5n]

私は某国立の工業大学に49年前に入学しました。京大入試さすがに良問ですね。現在67歳でこの問題解けませんでしたが、分かりやすい解説があると理解できます。有り難うございました。

[@大学生のわたあめてんこもり]

なんとなく５を法にとってみたら一瞬で解けてビビった

[@herseydenbirazbiraz7183]

Hocam çok teşekkürler

[@うーさん-d9c]

素数と仮定して両辺30引くと左辺が因数分解できて偶数＝奇数の矛盾が導けたのですが大丈夫ですか？

[@げん-m1v]

左辺どうやったら偶数になるんですか？

[@ジョン永遠]

p^4+14=qとおいてqを素数としても左辺-30=p^4-16を因数分解したところで偶数にはならんね

[@げん-m1v]

@@ジョン永遠 ですよね！冷静に考えて30引いただけで矛盾が生じるなら元の式でもすでに矛盾が生じてるような気がします。例外あったら申し訳ないですが。

[@abc5286]

p^4+14=qとする。(qは素数) 両辺から30を引くと p^4-16=q-30 左辺を因数分解して (p^2+4)(p^2-4)=q-30・・・① q=p^4+14>2よりqは奇数であるから(qは素数でq≠2)、①の右辺は奇数である。 しかし、p>2の場合は、pは奇数であり(pは素数であるため)p^2+4とp^2-4はともに奇数となり、①の左辺も奇数となり矛盾が導けない。

[@flat2072]

典型問題っすね。頭の中でなら10秒以内に場合分けまでできる。

[@flat2072]

「素数の中でnの倍数はnだけ」っていう当たり前のことを意識できてれば簡単。

[@TukamaeTeiTene]

mod5でもいけますね👽

[@trashkaoru1983]

p^4 + 2 でも問題成立していた可能性。(笑)

[@user-xg1ry7pl3t]

なんとなく、p=6m±1と置いたら大体解決してた。

[@06aghwee96]

仕事早！

[@ttyyy-vh4pw]

p^4(p≠5)の一の位に着目しても，大丈夫そうですね． 解法とは別に14を変えると，また面白そうですね．

[@うりうり-z5h]

京大の定番問題ですね。ここは落としたくないかな。

[@あにまっしゅ]

帰納法使って証明したのですが、どのくらい点貰えると思いますか？

[@hitsuki_karasuyama]

あってれば満点だけどどうやったん、4乗展開するの割と地獄だと思うんだけど

[@白夜王ヤイバ]

パスカルの三角形書いだのでは

[@listentome5208]

フェルマーの小定理ゲー

[@ねこかぶり-s3v]

4乗でびっくりしたけど実験してまたそれかって感じ。

[@buritcho]

これ解けた！

[@菊池涼介カッコイイ]

は！今高2だけど、mod3でいけるな（ニヤニヤ）って思いながら解いたけどp＝3の時の吟味忘れてた！本番でやってたらと思うとゾッとする…

[@Hope_deep_inside_Munch]

何十年も前に京大理系学部を卒業した者です、、。 「素数でないこと」を「３の倍数であること」と読み替えることに気付かずに、ガチで「素数でないこと」を示そうとしてドツボにはまってしまいました😂😂😂。 (p+a)(p+b)(p+c)(p+d)=p^4+14 ただしa,b,c,dは0と負を含む整数でそれぞれpに個別依存する をガチで示そうとしてしまったり、もう少し柔軟に 14=2^4-2=2^4-1-1=(2^2+1)(2^2-1)-1 すなわち p^4+14=(p^2+1)(p^2-1)+(2^2+1)(2^2-1) と、式をいじりまわしてみたり、上記式に加算も絡んでくるからもしかしたら？？複素数が絡んでいるのかも？？？なんて疑ってみたり、 14=5^2-3^2-1-1 とかさんざん試みてドツボにはまっちゃいました、、😂😂😂。 文系数学がこんなに難しいのはおかしいと思って試しに手計算で p=1,2,3,5,7,11... の場合に素因数分解してみたら、なんか3や5がよく出てくることにようやく気付き、やっと p^4+14=p^4+5*3-1 としてみて、以下 p^4-1+3*5 =(p^2+1)(p^2-1)+3*5 =(p^2+1)(p+1)(p-1)+3*5 と進んでようやく、「pが素数であるときにp^4+14が素数でないことを示せ」の設問の(本来の？？)意味が大雑把には 「pが3の倍数でない時にp^4+14が3の倍数であることを示せ」と読み替えなければいけないことにやっと気付きました、、😂😂😂。 大学入試の数学(特に文系数学)ってあんまり深く素数論とかに踏み込もうと試みるとドツボにハマってしまうこともあるみたいですね、、。 要領の良さが必要だということがよくわかりました、、。 いやぁ、参りました、、😂😂😂。これでも何十年も前に京大理系学部を出ているのですが、、。 大学入試までの数学と大学入学以降に勉強する数学って、何か少しジャンルが違うのかも？？しれないなぁ？？、なんても思いました、、。 問題文に「素数」って書いてあるからといって、あまりガチンコに「素数論的発想」に踏み込もうとすると時間切れで大怪我しちゃいそうですね、、。 大変勉強になりました、、😂😂😂。

[@安倍晋三森羅万象担当]

みんな頭いいね

[@hrak0429]

素数は3

[@白夜王ヤイバ]

みんな この問題をつまんないつまんない言ってるけどこの大学は 自分で点数を決めれるというすごい問題を出したんだぞ…………………………(まあ騙されたと思って受験終わったらやりましょう)

[@イェンゼン]

（p ^4−1）+15 （p ^2−1）（p ^2＋1）＋15 （p＋1）（p−1）＋15 こうやってやって3で割った余りで分類してそれを代入すればできるよね？

[@Double_O-ss9pf]

(p+1)(p-1)(p^2+1)+15って書けば明らかに3よりデカい3の倍数やで

[@Double_O-ss9pf]

早すぎる

[@jbfmify]

理系ですが、素数恐怖症です。

[@sdgrebjt8598]

49*49 + 14 は7の倍数だね

[@lawrenceezpz5737]

京大数学大問2流石になめてる

[@kenichimori8533]

素数じゃないことを証明すれば素数が証明されますね。原始根が0

[@peppepein]

貫太郎さんとかぶったねwwwwwww

[@aaabbbcccddd777]

クオリティが違う。 あちらは、■ん■。

[@trashkaoru1983]

まあ、それぐらいは仕方ないです。(笑)

[@高田健一-l7l]

P４乗マイナス１が３の倍数というだけで 素数のコンセプトを持ち出す理由はない。 混乱させるのが目的か。

[@yokojkato]

おお、congruenceのなんとsmartな使い方だろうか！同値については高校までで教えて欲しいわ。やっぱ日本の数学ってええなぁ…

[@johnstay4770]

はやいはやい

[@TsubasaGOTO-n2t]

これとけなかった

[@user-jtgajo]

これ解けなかったのだいぶ痛くない？

[@TsubasaGOTO-n2t]

@@user-jtgajo 個人的にはこれ残して4完が王道だと思うんだが

[@moja10291029]

mod2ならダメなんですか？２以外と２で

[@松尾秋良]

学校でもやった

[@かずなべ-b7q]

mod5で考えました 残念です

[@赤-z7b]

今年簡単だから来年心配。

[@kkk.mno777]

難化したらむしろ差がつかないからチャンス。得点源にしたい人は落とせないけど。

[@naocolon]

この年の京大は簡単すぎる。こんなの10秒で解けるよね。解答書いても1分。mod3だけじゃひねりが無さすぎだよね。

[@s009kawa]

脳死でフェルマーの小定理でmod 5で解いてた mod 3の方がずっとエレガントだった

[@AIsennin]

😊😊😊

[@あもう-t9p]

これだけ？！

[@とっち-o8n]

mod3で一瞬ですね。

[@tatsumi3261]

30秒で解けるぜ

[@maa7161]

今年の京大数学ゴミすぎんか？ 数年前の阪大みたい、全完必須

[@江戸川こなん-g2y]

肩の数がでかいときって大体modって偏見

[@TokyoOribia]

少し昔の話だと思うんだけど、京大でmod使うと減点されるって都市伝説はもう消えた？笑

[@白夜王ヤイバ]

一時期京大て合同式ダメて 噂流れてなかったけ

[@math-vw7kj]

だとしても3と3n±1でやれば一瞬

[@bobslay]

簡単や，，，

[@haya1012poyo]

で、出ますよ。で検索したら出てきました

[@perimetros314]

ネタ切れですかねw

[@雑草という草はない]

全体的に語尾の最後が聞き取れないです。非常に聞きづらい。

[@user-jtgajo]

耳悪いですね