[DET#36] Théorème de Bachet-Bézout (Démonstration)

[@clemaccbis3948]

La preuve exposée est claire et la démonstration est très bien expliquée. Ayant vu le théorème de Bézout uniquement grâce à l'option Mathématiques Expertes du lycée, cela m'a permis de généraliser ce théorème à celui de Bachet-Bézout. Merci beaucoup !

[@thecrazzxz3383]

Magnifique vidéo, celà m'aura été très utile pour la compréhension profonde de ce théorème, cette chaîne est une véritable mine d'or !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 😇!

[@kanomaths7796]

Toujours excellent et clair. Quel plaisir de revoir ces belles démonstrations!

[@delcorr_rl]

Incroyable pour les maths expertes au lycée merci !

[@wagagames2393]

Le ''j'ai un plan'' c'est pour me tuer 😭 Très belle explication, super précise 😉 Dcp je m'abonne

[@raph-ko1706]

Un commentaire très en retard mais voici quelque chose que j'ai vu sur plusieurs vidéos : vous utilisez souvent le mot "équation" alors qu'on traite seulement une égalité, car aucune variable n'est présente et on ne cherche pas à résoudre quelque chose. C'est un détail mais ça titille mon esprit rigoureux et amoureux des maths. En tout cas, excellente série de vidéos 😄

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour cette remarque instructive qui ne manquera pas d'être mise en application dans les émissions suivantes 👍🏼! Pour d'éventuels lecteurs: 🔹D'après le Larousse, une « équation » est une égalité qui n'est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou des inconnue(s). Ainsi, même si une analyse étymologique de base (que je n'ai jamais remise en question jusqu'au commentaire de Raph-Ko) peut laisser penser que les mots « équation » et « égalité » sont synonymes, dans l'usage de ces mots par les mathématiciens, ce n'est pas le cas. Quelques exemples: 🔹« 0,999999999... = 1 » est une égalité. 🔹« (x-a)² + (y-b)² = r² » est une équation. (Si j'ai manqué une marche, n'hésitez pas à me le dire, je n'en serai que plus instruit 😁!)

[@Vaitamanu]

@@oljenmaths C'est amusant, ça prouve que vous n'êtes pas professeur au collège, où l'on expose soigneusement cette différence. Merci pour vos vidéos.

[@kangsethkoumla3908]

Il y a une bonne clarté dans cette preuve, merci bien!

[@paulquinones9834]

Merci pour cette clarté, on l'a fait en cours y'a pas très longtemps ce théorème ! 😊

[@sofianeelazzabi]

Paul QUINONES t’es en spé maths ?

[@cassien4032]

Encore une super vidéo sur l’une des plus magnifiques branches des mathématiques : l’arithmétique ! Serait-il possible de faire une vidéo sur des « anecdotes de mathématiciens » par exemple l’histoire de Gallois et sa mort en duel ou pourquoi il n’y a pas de prix Nobel de mathématiques etc... À moins qu’elle n’existe déjà ? Sinon super travail !

[@oljenmaths]

Une série sur les anecdotes mathématiques n'existe pas encore, mais je prends note de l'idée ! Ce qui s'en rapproche le plus sur ma chaîne, aujourd'hui, est ceci: 👂🏼 kzbin.info/aero/PLkj0p5n3uJ6wRprhLpv2Iboq-niCsCDfd

[@fakeuzero]

Un grand merci. Impossible de trouver une autre vidéo en français de cette démonstration qui n'est pas si facile que ça quand on est encore débutant en arithmétique. Vous avez réussit à rendre vos propos clairs avec de très bonnes explications. Bravo.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@avocado176]

très belle démonstration , j'ai fort aimé

[@hossamel2006]

Je te remercie infiniment ! je m'abonne de suite 👍 !

[@oljenmaths]

Bienvenue sur la chaîne 🙏!

[@karimjemel7405]

Très belle démonstration.

[@abdessamadbendriouich6657]

Merci pour vos vidéos instructives et bien faites

[@polox2267]

Très bonne vidéo merci beaucoup.

[@ahmidouaouladhadj7576]

Très bonne démonstration

[@mohammedsofou7692]

bravo c est bien expliqué

[@valentinlegrand9402]

Bonjour, Merci beaucoup pour ce partage, d'une grande clarté, même pour un novice intéressé (ce qui est mon cas) il est possible de suivre le raisonnement. Vos vidéos m'aident grandement ! J'ai une question: Je ressent un blocage concernant la dernière démonstration qui consiste à démontrer que le PGCD (a,b) divise d donc PGCD (a,b) ≤ d. N'est-il pas nécessaire de démontrer que tout diviseur commun (incluant donc le PGCD) à a et b divise nécessairement la somme OU soustraction de deux multiples quelconques du couple (a,b), qui plus est sachant que l'un des multiples composant au + bv peut être négatif ? Par exemple, en indiquant que: S'il existe des nombres a, b, x, y, et d, des entiers relatifs tel que: axd = u et byd = v Alors: u + v = d(ax + by)

[@oljenmaths]

Bonjour et merci pour les compliments 😄! En ce qui concerne votre question, je pense que vous faites référence à la bulle qui achève d'apparaître à 9:17. Si tel est bien le cas, il suffit de démontrer que PGCD(a,b) divise n'importe quel entier de la forme au+bv, où (u,v) est un couple d'entiers relatifs (ce qui permet de traiter à la fois le cas de la somme et de la différence: il suffit de changer v en son opposé pour passer de l'un à l'autre). Pour faire cela proprement, il s'agirait en effet de procéder comme vous l'écrivez très justement. De mon côté, je ne l'ai pas démontré explicitement et je l'ai pris pour acquis (en supposant que c'était une propriété dite « de cours »): c'est ce que j'achève d'écrire à 9:33.

[@kingnetwork-8519]

Merci monsieur

[@Ayaaya-e8v]

J'ai pas compris la partie où vous avez montrez qu'il existe au moins un

[@loicfotso2339]

d est le plus petit element de G, donc c'est une constante. Comment donc d peut etre le PGCD de deux entiers a et b quelque soit a et b?

[@oljenmaths]

En réalité, l'ensemble G dépend de a et b, on aurait donc pu le noter G(a,b), par exemple. Par conséquent, d dépend aussi de G: de la même manière, on aurait pu le noter d(a,b), puisqu'il dépend de a et de b. Cette question amène en réalité une autre question, plus générale, sur l'utilité de faire apparaître les dépendances des variables que l'on introduit. Par exemple, si une fonction f admet un minimum sur le segment [0,1], on pourrait noter ce minimum m, mais aussi m indice f, ou même m indice {f,[0,1]}. L'usage, c'est que les dépendances sont indiquées dès qu'elles permettent de clarifier le raisonnement, ou dès qu'une équivoque est possible. Ici, je n'ai pas pris la peine d'indexer d par les variables dont elle dépend pour alléger les notations, en priorité, et en me disant que cela n'engendrerait aucun malentendu (et la question montre qu'une rédaction « idéale » n'existe sans doute pas).

[@gggaming0353]

C'est pour ça que j'aime les maths

[@roumybou2844]

est il possible de produire une nouvelle vidéo sur le théorème de Bézout cette fois ci en s'appuyant sur la démonstration proposée en première année de prépa ? Voilà je demande carrément une vidéo mais c'est parce que j'aime beaucoup votre contenu et je révise un maximum avec vos vidéos. Je suis un peu embêté quand il y une démonstration de mon cours qui ne se trouve pas sur votre chaine. J'en demande certes beaucoup et j'en suis navrée mais c'est flatteur pour vous ! Cela prouve à quel point vous produisez des contenus de qualité ! Merci d'avance pour votre réponse.

[@oljenmaths]

Ha, merci pour les compliments 🙏 ! Actuellement, je suis en trève de publication, mais je viendrai peut-être à faire cette démonstration un jour. S'agit-il bien de celle où il est question des idéaux de Z ?

[@roumybou2844]

@@oljenmaths non non, il s’agit simplement de celle où l’on utilise les suites : On écrit rk-1= qkrk + rk+1 et on démontre qu’il est possible de trouver le pgcd de cette manière et qu’on peut par conséquent trouver les coefficients de Bézout

[@oljenmaths]

@@roumybou2844 Ah oui, je vois. C'est la démonstration qui généraliserait l'idée développée au début de cette vidéo, à partir de l'algorithme d'Euclide. Bien compris 👍 !

[@haikiahmed242]

❤

[@gkwugqbfig2vjg332]

Bonsoir (svp) Écrire en lettre Majuscules pour on arrive à lire où pour arrivé a lire.Merci

[@oljenmaths]

Salutations ! Les vidéos récentes sont probablement plus lisibles 😉. Cela dit, je soupçonne sincèrement des problèmes de vue, dans le sens où je peux regarder ces vidéos sur mon smartphone sans les mettre en plein écran… faites attention à vous, bon nombre de mes étudiants ont tant travaillé qu'ils ont gagné une paire de lunettes au passage…

[@AN-qk5st]

Peut on démontrer Bachet Bezout immédiatement ? Je veux dire que si on utilise les sous groupes additifs de Z, la démonstration semble évidente.

[@oljenmaths]

Immédiatement, non: l'identification des sous-groupes additifs de Z demande un certain travail (qui reprend les mêmes mécanismes que cette démonstration, dont l'incontournable division euclidienne) 👨‍🏭.

[@HibaLol-sx6gl]

THANK U BESTIE

[@ilesio9357]

Bonsoir, existe-il une combinaison linéaire de "a" et "b" tq au+bv = d avec d qui n'est pas le pgcd ? Merci

[@ichansamy5354]

Oui, par exemple si tu prends u,v = 0, tu as d = 0. Bien que pgcd(a,b) différent de 0. Il y a une infinité de combinaisons que tu peux former avec a et b.

[@ilesio9357]

@@ichansamy5354 bien-sûr, mais ici on parle d'entiers relatifs non nuls. Merci tout de même, j'ai trouvé ma réponse : le pgcd est un diviseur de d.

[@ichansamy5354]

@@ilesio9357 Oui, en effet. Il suffit d'appliquer se ramener au théorème de Bezout pour prouver que d est un multiple du pgcd

[@raynixkamlin324]

Svp si vous pouvez m'expliquer pourquoi fallait démontrer que le PGCD c'est le plus petit élément de l'ensemble G , malgré qu'il s'agit du plus grand commun diviseur c'est ce que j'arrive pas à comprendre sinon vous êtes le meilleur

[@raynixkamlin324]

J'ai oublié de vous dire que je dois comprendre ça aujourd'hui car j'ai un examen demain 😅

[@oljenmaths]

C'est à la fois le plus *grand* diviseur commun, mais c'est le plus *petit* élément strictement positif qui s'écrit au + bv ; il n'y a pas de contradiction à cet endroit. Je ne me suis pas replongé dans la démonstration étant donné que la « date d'expiration » est passée, j'espère que votre examen s'est déroulé comme vous le souhaitiez malgré tout 😇!!

[@raynixkamlin324]

​@@oljenmathsVeuillez m'excuser mais pourquoi avez vous pris que le pgcd c'est sûrement le plus petit élément, je souhaite comprendre comment on a su que c'est exactement ce qu'on doit démontrer, car si on veut prouver qlq chose faut tt d'abord déterminer cette chose et bien savoir son impact sur le raisonnement ( frc ain't my native language, I'd appreciate it if you could use simple vocabulary while explaining 😊)

[@oljenmaths]

L'idée provient de l'algorithme d'Euclide : tous les restes des divisions euclidiennes successives s'écrivent sous la forme au + bv, et le PGCD est alors le dernier reste non nul, donc le plus petit élément non nul dans la suite des restes. Ainsi, je dirais que cela incite à rechercher le PGCD comme étant le plus petit au+bv non nul. The idea comes from Euclid's algorithm: all the remainders of successive Euclidean divisions can be written in the form au + bv, and the GCD is then the last non-zero remainder, hence the smallest non-zero element in the sequence of remainders. Thus, I would say that this encourages us to look for the GCD as being the smallest non-zero au+bv.@@raynixkamlin324

[@raynixkamlin324]

@@oljenmaths got it thank u so much , BTW I've been currently looking for universities abroad that are opened for international students, I got my high-school degree with 16.34/20 do u know anyone who could help me? Thank you so much for ur kindness, u can't imagine how great I feel now after understanding the concept 🤗

[@riface28]

Je ne sais pas si "plaisant et délectable" sont assez fort pour classifier cette vidéo et cette démonstration

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@laminediatta2610]

#Oljen 👏

[@syl2098]

Ça commence par un Bézout...

[@izhakatlas2536]

ça fini par un Gauss et un Landau

[@sofiane90]

Petite ref aux problèmes plaisants et délectables de Bachet

[@oljenmaths]

Bien vu 🙃 !

[@mauriciolirreverencieuxaud7091]

En Prépa, avec la notion de structures algébriques la démonstration est évidente.

[@oljenmaths]

C'est possible, mais ça sent quand même un peu le cramé, cette histoire de démonstration évidente. Par exemple, si tu t'appuies sur le fait que les idéaux de Z sont principaux, tu utilises sans doute le fait que Z est un anneau euclidien donc principal, ce qui a pour effet d'envoyer sous le tapis pas mal de détails techniques dont on retrouve des traces dans cette émission. En bref, je dirais que l'apport de la structure permet d'interpréter ce théorème d'une manière très agréable et très compréhensible, mais qu'il ne faut pas oublier ce qu'a coûté la mise en place de la structure ainsi que les démonstrations des propriétés sur lesquelles on s'appuie ensuite gaiement, à savoir celles de l'anneau des entiers relatifs.

[@satkoos1684]

Pas de pedagogie !

[@oljenmaths]

Surtout pas 🙃 !