Die geheimnisvolle Welt der transzendenten Zahlen - Teil I

Gibt es transzendente Zahlen, also Zahlen, die nicht #algebraisch sind? Und wenn ja, kann man welche angeben? Hier kommt die Antwort!
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[@Gudrun74]

Sie schaffen es super, diese nicht ganz alltäglichen Themen so zu präsentieren, dass man sie prinzipiell versteht. Ihre Art zu erklären gefällt mir sehr gut, danke.

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Dankeschön! Auch ein Lehrer wird gerne gelobt.😃

[@yenghoan3877]

Hallo, ich habe noch eine Frage: n=natürliche Zahl, 0< r > 1, transendent, => alle Zahlen der Form (n+r) ! transzendent, ist das bwkannt?

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Soll da wirklich 0 < r > 1 stehen? Das könnte man durch r > 1 ersetzen. Und soll r eine natürliche Zahl sein? Ansonsten gibt es Probleme mit der Fakultät. Oder ist die Fakultät im Sinne der Gamma-Funktion gemeint?

[@yenghoan3877]

Nein, r ist kleiner als 1, größer als 0 und transzendent. Im Sinne von Gamma-Funktion dann als (1+r) zB 3/2 anstelle von 1/2@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

@@yenghoan3877 Ok, ich verstehe. Auf so eine Frage muss man aber erst mal kommen! Also, es ist auf jeden Fall klar, dass unter den genannten Bedingungen transzendente Funktionswerte auftauchen müssen, weil man sonst einen Widerspruch zur Abzählbarkeit der Menge der algebraischen Zahlen erhielte. Tauchen auch algebraische Zahlen als Funktionswerte auf? Mein Bauchgefühl sagt ja, weil sonst auf geeigneten Intervallen definierte Umkehrfunktionen für algebraische Zahlen ausschließlich algebraische Funktionswerte liefern müssten. Das kommt mir sehr unwahrscheinlich vor, aber beweisen kann ich es bisher nicht.

[@yenghoan3877]

Hallo, ich habe noch eine Frage: u1 und u2 trrational aber nicht ranszendent zB Wurzeln aus natürlichen Zahlen, gilt dann u1+u2 nicht transzendent ? Wenn ja gilt dann u1+u2+......un (n-> unendlich nicht aber die Summe) nicht transzendent? Danke im Voraus

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Zu 1) Ja. Die algebraischen Zahlen bilden einen Körper. Deshalb muss die Summe algebraischer Zahlen selbst wieder algebraisch sein. Zu 2) Nein. Eine Reihe algebraischer Zahlen, auch algebraisch irrationaler Zahlen kann gegen eine transzendente Zahl konvergieren, weil alle drei genannten Teilmengen dicht in R liegen.

[@yenghoan3877]

Danke !@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim