e 의 두 가지 정의

Рет қаралды 91,216

Күн бұрын

Пікірлер: 98

@fierydino9402 2 жыл бұрын

ㅠㅠ 박사님 정말 감사합니다. 괜한걸 여쭤본걸까봐 자책하고 있었는데 영상이 올라왔네요!! 앞으로 e를 보면 변화에 대한 관점에서 보겠습니다. Taylor series와 e의 미분, 적분값 같음도 너무 재밌게 들었어요!😄

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다! 보람찬 하루네요 ㅎㅎ

@hiongun 2 жыл бұрын

수학 채널중에 단연 쵝오! 명확하고 과하지 않고 차분하고...

@Sigmar-guide-us 2 жыл бұрын

e는 봐도 봐도 정의를 따져도 신기함이 사라지지 않음

@강현규-g3g Жыл бұрын

기가 막히네.. 진짜 저게 박사인가 싶은 사람도 많은데 이렇게 간단한 내용을 말하면서도 진짜 박사다라는 생각이 들게 할수있구나

@joannelee3247 2 жыл бұрын

안녕하세요 선생님 ^^ 보현엄마가 소개해서 좋은 방송 알게되었습니다 (보현이할머니예요 ) 훌륭한 강의 해주시니 감사합니다 앞으로 자주 들러 배우겠습니다 ^^

@12math 2 жыл бұрын

앗 감사합니다! 보현이 넘 이쁘고 귀여워요 :)

@나는야포식자 7 ай бұрын

어려운거 못 풀면 하수고 어려운거 어렵게 풀면 고수 어려운거 쉽게 풀면 초고수 초고수이십니다 존경하게 되네요 많이 배우겠습니다 그래서 일수 이자가 무섭다는걸 알게 되네요

@jsonpark6606 Жыл бұрын

와.. 감동입니다. 달라보이는 Limit표현과 Sigma표현이 왜 같은지는 원금과 이자, 이자의 이자, 이자의 이자의 이자.. 무한반복의 두가지 표현으로 설명되는군요.

@foevboy 2 жыл бұрын

썸네일을 보고 고민해봤을 때 이항정리로 왼쪽의 정의를 전개한 후 n→∞일 때 자연수 k에 대해 n(n-1)•••(n-k+1)/n^k의 극한이 1이 되므로 nCk * (1/n)^k의 극한값이 1/k!이 된다고 계산을 진행하면 되겠다고 생각했는데, 훨씬 직관적인 설명이 있었네요 ㅎㅎ

@이도형-g7o Жыл бұрын

e에 관해서는 등비수열과 미방의 유사성을 생각해보면 그 필요성과 정의를 이해하기 쉬운 것 같아요. 영상에 잠깐만 언급이 나온 부분을 좀 더 명시적으로 표현하면 등비수열의 점화식 a_(n+1) - a_(n) = (r-1) X a_n == 미분방정식 dx/dt = a X x // r은 공비, a는 x의 계수 등비수열의 합 a_n = (1-r^n) X a_1 / (1-r) == 미분방정식의 해 x = C_1 X e^(at) // a_1은 수열의 첫번째 값, C_1은 초기치 이산적으로 생각하면 수열, 극한을 취하면 미방이 되고, 그 해에는 자연상수 e가 자연스레 나타나죠.

@쩝쩝박사-c9j 2 жыл бұрын

와 뜻하지 않게 테일러 시리즈도 이해할 수 있게 되었네요!! 좋은 영상 너무 너무 감사합니다 ㅠㅠㅠ

@옼케발 2 жыл бұрын

음 이항정리로 부터 두식이 같다. 까지만 확인하고 넘어갔는데 설명을 보니 원금의 이자의 이자의 이자의 ... 하다보면 우변과 같은 급수가 나온다라고 생각할 수가 있는거군요. 그리고 e^x의 테일러 급수 특성 상 0차 1차 2차... 로 가는게 각 항별로 원함수 ㅡ 원시함수 관계라는 점은 설명해주신 방법으로 음미가 가능하다는 것도 즐거운 해석이네요. ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ e의 개념적 성질과 정의상 y'=y를 만족하는 지수함수의 밑 ((y'=Ay))를 만족하는 y는 통상 지수함수이고 저 연속 증감률이 1(A=1)인 경우에 함수 y의 밑을 e로 정한다... ((3b1b 선생님이라던가...)) 저같은 경우는 이렇게 정리를 했었죠.

@자신을이기자 2 жыл бұрын

수능수학만 하다가 이런거보니깐 옛날생각도나고 행복하네여

@KoKa22 5 ай бұрын

훌륭한 설명이십니다 고교 미적분에 테일러 들어가야 한다고 봅니다. 극한과 미분을 배우는데 테일러 전개가 도입 수준에서 들어가야 한다고 봅니다.

@soymintc 7 ай бұрын

이자에 대한 이자의 함수... 늘그막에 깨달음을 얻고 울었습니다

@freeHeessa 2 жыл бұрын

넘 재밌네요ㅎㅎㅠㅠ 다음 영상도 기대되요😆

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다!

@sunyoungkim1312 2 жыл бұрын

중고등학교 다닐때 이렇게 원리와 배경을 같이 배웠다면 수학을 좋아하는 사람이 더 많이 늘어났을텐데... 공식 외우기에 치중하다보니 많은 학생들이 흥미를 잃었던 것 같아요. 아무튼 오늘도 즐거운 수학 원리 재밌게 봤습니다. 감사합니다.

@이상화-q1u 8 ай бұрын

생각해보니 (1+1/n)^n을 이항정리를 이용하여 전개해봐도 팩토리얼 정의와 같아지네요!

@milchholstein884 Жыл бұрын

식을 변환하는건가 했더니만 저렇게 개념적으로 간단히 유도가 되는군요.

@숭늉-y4i 2 жыл бұрын

음 둘이 같다는 걸 직관적으로 생각할 수 있는건 처음봤어요!! Calculus 재미있게 공부했는데 저런 직관적인 면은 알지 못했었네요.

@김준기-l2e 2 жыл бұрын

이자의 이자 개념 + 적분!! 진짜 새롭네요~

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다~!

@유수윤-m4o 8 ай бұрын

잘 봤어요 😊

@deleted_user_7392 2 жыл бұрын

어릴 때 예금출금 무한 반복하면 돈이 무한정 커질거라 생각했는데 생각해보니 e였네요

@seeker.4ever Жыл бұрын

안녕하세요! 영상 잘 보고 있습니다. 궁금한 점이 있습니다. e^x처럼 아무리 미분허고 적분을 해도 저기 자신이 나오는 함수는 e^x가 유일한가요? 아니면 수학적으로 이러한 특징을 갖는 식을 만들어 낼 수 있을까요?

@nightsky8079 Жыл бұрын

상수가 없다고 치고, e^x 가 유일합니다.

@m_th_m_t_cs Жыл бұрын

dy/dx=y 라는 방정식을 풀면 됩니다. 인테그랄 1/y dy=인테그랄 dx ln |y| = x + c y =+_ e^(x+c) = a×e^x (상수 e^c를 간단히 a라 둔 것이고, 미분했을 때 같은 함수는 모든 상수 a에 대하여 미분해도 같은 함수는 y=a×e^c입니다) +)a=0일 때도 성립합니다

@Sj-fi9wn 2 жыл бұрын

관점에 따라 아주 당연해지는 게 신기하네요.. 설명 감사합니다 잘 보고 가요

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다 :)

@MrMath1004 2 жыл бұрын

잘보고 갑니다^^

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다!

@gibeom8054 2 жыл бұрын

오늘도 무릎을 탁!

@12math 2 жыл бұрын

ㅋㅋ 감사합니다!

@gaesunglee2332 Жыл бұрын

너무너무 재밌어요!! 🎉

@sik2686 4 ай бұрын

박사님께서 제 댓글을 보실지는 모르겠지만... 저는 물리학과 수업 중 수리물리를 듣는 도중, 오일러-마스케로니 상수에 대한 기이한 점을 들었어요. 혹시 이에 대해 첨언하실 것이 있으시거나 더욱 흥미로운 스토리가 있다면 혹시 컨텐츠 제작하실 의향이 있으실까요..?

@Jihoo369 3 ай бұрын

생각해보겠습니다

@decoo7676 2 жыл бұрын

Stewart Calculus 를 통해 미적분을 배웠을 때 lnx를 integral(from 1 to x) (1/t)dt로 정의하고, lnx=1이 되는 x값을 e라고 정의했던 것으로 기억하는데 이런 정의는 잘 사용하지 않나요? 그리고 혹시 이것 말고도 다른 e의 정의들이 있을까요

@def_win4689 2 жыл бұрын

그렇게 정의하면 실수에서는 편한데 복소수에서는 e^x를 정의하기 힘들고 sin이나 cos을 정의하기가 매끄럽지 않아서 그런 것 같습니다.

@옼케발 2 жыл бұрын

말씀해주신건 대학교(캘큘러스) 식 정의로 보시면 좋습니다. ㅡ 말씀하신 정의는 지수 개념 없이 e를 정의할 수 있는 방법으로 알고 있습니다. 다만, 우리나라에서는 지수 다음에 로그를 가르치기 때문에 저 정의는 좀 어색하긴 하지만... 논리적 스텝업은 스튜어트 식 정의가 더 맘에 들긴 하죠. 보통은 미분방정식 y'=y 를 만족 시키는 지수함수의 밑으로 저는 이해하고 있습니다.

@옼케발 2 жыл бұрын

그리고 스튜어트식의 정의에서 일단 ln x의 ln을 처음부터 로그함수라고 하지는 않고... 정의로 부터 1/x 의 부정적분이 정의에 의해 밑이 e인 지수함수의 역함수라서 ln은 밑이 e인 로그다, 뭐 이런 논리 전개를 하는 것으로 알고 있습니다.

@숭늉-y4i 2 жыл бұрын

실해석학(정동명) 책을 보시면 e^x 함수를 다른 식으로 정의했던걸로 기억합니다. 너무 오래되어 어떤 정의방식인지는 가물가물하네요.

@TheReopard 2 жыл бұрын

형아 오랜만 재미따

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다!

@deleted_user_7392 Жыл бұрын

1:52 어렸을 때는 이렇게 생각했는데, 사실 다시 생각해 보면 연 이자 100%는 돈을 찾을 때 원금*2^(맡긴 기간(년))을 돌려준다고 하는 것이 자연스럽고, 원래는 무한 번 찾았다 넣어도 실질적으로 연 이자는 바뀔 수 없죠. 지수 함수를 처음 배울 때 우화처럼 써먹을 법한?

@호호-m3s Жыл бұрын

이제 저렇게 말하는건 복리 개념이 적용된 경우예요. 복리는 (원금+이자) 에서 이자가 붙기때문에 이자를 받는 단계가 많을수록 받는 금액이 커지겠죠? 그치만 이제 그걸 무한번 나눠서 받는다고 해도 받을 수 있는 금액의 한계가 있다는 설명입니다.

@wakeupmole Жыл бұрын

원금*2^(맡긴 기간) 이것부터 말이 안되는데,, 년이 지나서 2배로 주면 (원금+ 1)*(맡긴 기간)입니다. 1이 100%니까요. 그리고 여기서 한정된 기간에 무한번 찾았다 넣으면, 값이 늘어난다는 것을 보여줍니다. 하지만 한계가 있다는게 중요하죠

@peng317 Жыл бұрын

sinx cosx가 무한급수로 정의되는 것도 엄청 신기했고 이걸로 오일러 공식이 나온다는게 엄청 신기했던..

@milchholstein884 Жыл бұрын

0!은 0개를 1열로 나열하는 경우의 수는 아무것도 없는 상태 자체가 0이기 때문에 한가지가 존재한다. 억지로라도 이해하면 이렇게는 될 듯

@kangsungho1752 Жыл бұрын

이해할 수 있으면 얼마나 좋을까

@논리학-w4t 2 жыл бұрын

정규분포 따위를 지수분포족 이라고 하는데요. 정규분포 같은 것에 왜 e가 들어 가는 지 궁금증을 해결하려고 여기저기 기웃대는데요. 도무지 제 머리로는 해결이 안 되네요. T분포나 몇 몇 분포들은 e가 안 들어가거든요. 참... 수학이란 ....

@12math 2 жыл бұрын

좋은 질문입니다. 수리통계학에서 중심극한정리를 모멘트 제너레이팅 함수를 통해 보이는 과정을 이해하시면 e가 왜 들어가는지 이해하실 수 있을겁니다. 이 내용도 언젠가 컨텐츠로 만들어 볼 생각입니다.

@논리학-w4t 2 жыл бұрын

@@12math 정말 기대됩니다 ^^

@Ourhealingchannel 3 ай бұрын

제안하신 식은 n이 0보다 큰 자연수이면 식이 성립하지만, n이 실수이어도 성립하나요?

@NoobMYW 2 ай бұрын

n의 값이 리미트와 시그마로 정의되었기 때문에 n은 미지수 취급이 아니라 상수 취급입니다. 그러니까 마음대로 n에 무언가를 넣을수 없는거죠

@elate-o Жыл бұрын

이 채널 재밌음

@amhw5742 8 ай бұрын

a^x 를 미분하더라도 a^x lna인데 결국 e랑 관련된 비가 하나 튀어나오는게 ㄹㅇ 신기

@chanhongmin3637 2 жыл бұрын

멋집니다!

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다!

@TV-fi3qx Жыл бұрын

진짜 e는 보면 볼수록 신기한 것 같아요

@obafgkm 2 жыл бұрын

3:17 이부분이 무슨 뜻인지 이해가 잘 안돼요ㅠㅠ 혹시 설명해주실 수 있는 분 계실까요??

@obafgkm 2 жыл бұрын

아 이해했어요~~ 1보다 크지만 1에 아주 가까운 수는 1+1/n , 그 가까운 작은 수는 (1+1/n)-1 이네요!! “그 가까운 작은 수” 라는 말이 뭔지 잘 이해가 안 됐는데 1에 아주 가까운 수(1+1/n)와 1과의 차이를 말하는 거였어요!!

@oehe8194 2 жыл бұрын

@@obafgkm 1과 가장 가까운수 1과 가장 가깝게 만드는 작은수를 역수한 큰 수 라고 썼으면 더 자연스러웠을것 같아요

@PianoTravelerKiwi 2 жыл бұрын

와 명확 합니다

@Waktaverse_Official 2 жыл бұрын

대박..

@soja33 2 жыл бұрын

『1 = 1』答 좌측 1일 다리를 건너갔으니 같죠 -역논리-

@anheelee Жыл бұрын

이거 그건가요? 아랍문자 여러개 있어도 다 모르는 거라 제눈엔 다 똑같은 .. 그거랑 같은 원리로 같은건가요 ㅜㅜ

@Etz_Chayim Жыл бұрын

뭐지? 수학과 4년 다니면서 이런 해석은 처음봐요

@펩시-x2x 2 жыл бұрын

👍👍👍👍👍👍👍👍👍

@12math 2 жыл бұрын

감사합니다~!

@SungJinKim-qr4cs Жыл бұрын

제 안계를 넓혔습니다. 저는 수학전공은 아닌 일개 공돌이 인데, 개인적으로 ”E를 정의한다“ 라는 표현은 지양하는 편입니다. 저의 편협일 수도 있을 것 같습니다. 저는 “이세상에 어떤현상을 표현하는 수가 존재하는데 그 수를 E라는 기호로 표기하기로 약속했다”라고 설명하곤 합니다. 12math샘이 말씀하신 그 변화에대한 현상을 e라고 표기한다. ^^;; 원주율의 경우에도 “파이는 원의 둘레를 지름으로 나눈 것으로 정의 된다“라고 하지 않고, ”신기하게도 모든 원은 그 둘레를 지름으로 나누면 항상 같은 값이 나오는데, 그 값을 파이라는 기호로 표기하고 파이라고 부르기로 약속했다“라고 설명합니다.

@sd68127 9 ай бұрын

조현병년아 알아듣게써

@KURZ__g 8 ай бұрын

@@sd68127존나 잘 알아듣겠는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ 조현병은 니가 조현병이고

@DanddoJoa 2 ай бұрын

정의가 약속이야 😅 정의를 제대로 알고 공부하자

@장성준-g1o Жыл бұрын

미적분 배우면 테일러 급수를 이해하기가 쉬워집니다. 테일러 급수로 e의 i파이제곱은 -1이라는 것이 증명 할수 있습니다. 네이버에서 찾을수 있어요.

@justice2229 2 жыл бұрын

와...우

@hjlee4640 2 жыл бұрын

첫 번째 방법은 고등학교 때에도 이해를 잘 못했었는데요.. imit as x approaches ∞ of (1+ 1/n)^n = imit as x approaches ∞ of ((n+1)/n)^n이 되어서 imit as x approaches ∞ of (n^n + an^(n-1).... +1)/n^n이 되어서 무한대 중 최고차항만 보면 1일 것 같은데 e가 나오는 게 이해가 잘 안됐어요..ㅠ

@hhee788 Жыл бұрын

첫번째론 a가 n에 대한 함수라서 n^n만이 최고 차항이 아니라는거고 두번째 이유로는 0으로 수렴하는 값을 무한히 더할 때는 어디로 갈지 알 수 없다는(그 값이 0으로 간다고 단정지으면 안된다) 두 가지 이유로 사고 실험이 잘못된 것 같아요.