Eine anspruchsvolle Extremwertaufgabe

[@sportfreund-ub2mz]

Wie immer super gut erklärt, anschaulich und ruhig und langsam gesprochen!

[@jannikaurich2980]

Ich muss mal hier ein Lob für den ganzen Kanal da lasse. Sehr informativ und hilft wirklich bei der Vorbereitung auf das Abitur. Vor allem im LK.

[@mathekoch]

Dankeschön:) Lg

[@robertachira3503]

Ich schreibe normalerweise nie Kommentare, aber: Du bist der einzige, der die Themen ausführlich und sehr gut verständlich hochlädt. Simple Club und Daniel Jung sind viel zu überbewertet. Du machst das viel besser!! Danke, dass du deine Videos auch in Playlists strukturierst. Echt toll! (Mache dieses Jahr Abi und schaue dich seit der 10. Klasse)

[@mathekoch]

Hey, vielen Dank für deine Nachricht :) Es freut mich wirklich sehr, wenn die Videos euch weiterhelfen, und Nachrichten wie deine motivieren mich auf jeden Fall, weiterzumachen! Danke und viel Erfolg im Abitur. Liebe Grüße.

[@dieterphillip8560]

Stimmt zu 100%.

[@dieterphillip8560]

Wobei Simple Club noch besser als Daniel Jung ist.

[@rezaedalat725]

Sehr schöne Aufgabe, danke sehr!

[@walidn9977]

Danke für dieses tolle Video! Eine Frage, was ist wenn man bei der Überprüfung des Wertes mit der 2. Ableitung oder dem VZW. nicht das gewünschte „Extrema“ bekommt? Also wenn man einen maximalen Flächeninhalt sucht, aber man mit dem ausgerechneten Wert eingesetzt in die 2. Ableitung ein Minimum bekommt? Hat man dann zuvor falsch gerechnet oder was bedeutet das dann? Viele Grüße!

[@mathekoch]

Hey, grundsätzlich falsch gerechnet... wenn in der Aufgabenstellung zB die maximal Fläche gesucht ist dann sollte es auch eine geben :) Grüße

[@dieterphillip8560]

Guten Tag, wie immer: Sehr gutes Video. Besteht die Möglichkeit, dass Sie noch ein Video mit Grenzwertaufgaben, einfach als Übung, machen? Ich habe gemerkt, dass ich noch große Probleme beim Aufstellen der Zielfunktion habe bzw. an diesem Punkt einen Ansatz zu finden. Grüße

[@mathekoch]

Hey, soweit ich mich erinnere, habe ich bereits einiges zu diesem Thema hochgeladen. Du findest alles in der 01. Playlist. Welche Art von Aufgaben vermisst du ? :)

[@dieterphillip8560]

@@mathekoch Vielen Dank für die Antwort. Sie meinen die Playlist Leistungsfach Analysis, oder? Die kenne ich schon auswendig. Was vermisse ich? Also ich habe hier beispielsweise eine Aufgabe, bei der eine gebrochenrationale Funktion gegeben ist. Es soll der maximale Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden, bei dem der eine Punkt auf der y-Achse liegt und die anderen beiden Punkte sind P(u/v) und Q(-u/v). Daran habe ich mir heute morgen die Zähne ausgebissen. Ich habe einfach keinen Ansatz gefunden und musste am Ende sogar in den Lösungen nachsehen. 😞

[@mathekoch]

@@dieterphillip8560 Hey, das klingt aber für mich eher nach eine Extremwert Aufgabe als nach Grenzwertberechnung 😅

[@dieterphillip8560]

@@mathekoch Ahh... Entschuldigung. Sie haben natürlich recht. Eytremwertaufgabe.

[@mathekoch]

@@dieterphillip8560 ok, dann schaue ich welche interessante Aufgaben noch zu finden sind :)

[@gelbkehlchen]

Lösung: 1. Bestimmung der Zielfunktion: Die Ableitung von f(x) = x-x*ln(x) lautet: f’(x) = 1-(1*ln(x)+x/x) = 1-ln(x)-1 = -ln(x) Die Steigung der Tangente im Punkt P = (u;f(u)) lautet also -ln(u). Damit lautet die Punkt-Steigungsform dieser Tangente: (y-f(u))/(x-u) = -ln(u) |*(x-u) ⟹ y-f(u) = -ln(u)*(x-u) |+f(u) ⟹ y = ln(u)*(u-x)+f(u) = ln(u)*u-ln(u)*x+u-u*ln(u) = -ln(u)*x+u y-Achsenabschnitt dieser Tangente: y(0) = u x-Achsenabschnitt = Nullstelle dieser Tangente: 0 = -ln(u)*xN+u |+ln(u)*xN ⟹ ln(u)*xN = u |/ln(u)⟹ xN = u/ln(u) ⟹ Der Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks ist dann: F(u) = y(0)*xN/2 = u*u/[2*ln(u)] = u²/[2*ln(u)] Bestimmung des Tiefpunktes dieser Flächenfunktion: Die 1. und 2. Ableitung dieser Flächenfunktion: F’(u) = [2u*2*ln(u)-u²*2/u]/[2*ln(u)]² = [4*u*ln(u)-2*u]/[2*ln(u)]² = [2*u*ln(u)-u]/[2*ln²(u)] F’’(u) = {[(2*ln(u)+2u/u-1)*2*ln²(u)]-[(2*u*ln(u)-u)*2*2*ln(u)*1/u]}/{4*[ln(u)]^4} = {[(2*ln(u)+1)*ln²(u)]-[(2*ln(u)-1)*2*ln(u)]}/{2*[ln(u)]^4} = {[2*ln³(u)+ln²(u)]-[4*ln²(u)-2*ln(u)]}/{2*[ln(u)]^4} = {[2*ln²(u)+ln(u)]-[4*ln(u)-2]}/{2*ln³(u)} = {2*ln²(u)+ln(u)-4*ln(u)+2}/{2*ln³(u)} = [2*ln²(u)-3*ln(u)+2]/[2*ln³(u)] Die notwendige Voraussetzung für einen Tiefpunkt ist F’(uT) = 0: [2*u*ln(uT)-uT]/[2*ln²(uT)] = 0 |*2*ln²(uT) ⟹ 2*uT*ln(uT)-uT = 0 ⟹ uT*[2*ln(uT)-1] = 0 |entweder uT1 = 0 [das gehört aber nicht zum Definitionsbereich] oder 2*ln(uT2)-1 = 0 |+1 ⟹ 2*ln(uT2) = 1 |/2 ⟹ ln(uT2) = 1/2 |e^() ⟹ uT2 = e^0,5 = 1.6487212707001282 Die hinreichende Voraussetzung für einen Tiefpunkt ist F’’(uT) > 0: F’’(uT2 = e^0,5) = [2*0,5²-3*0,5+2]/[2*0,5³] = 1/[2*0,5³] > 0 ⟹ An der Stelle uT2 = e^0,5 = 1.6487212707001282 ist ein Tiefpunkt und dort ist die Fläche des gesuchten Dreiecks in einer gewissen Umgebung minimal. 3. Berechnung der Randwerte/ Extremwertentscheidung: Der Flächeninhalt des Dreiecks bei uT2 = e^0,5 = 1.6487212707001282: F(uT2 = e^0,5) = uT2²/[2*ln(uT2)] = e/[2*0,5] = e = 2.7182818284590452 Berechnung des rechten Randwertes: F(4) = 4²/[2*ln(4)] = 8/ln(4) = 5.7707801635558536 Wie man sieht, ist der Flächeninhalt des Dreiecks am rechten Definitionsrand größer, und es gibt auch keine weitere waagerechte Tangente im Definitionsbereich, außerdem ist die Flächenfunktion stetig und differenzierbar, damit gibt es keine Lücke und keinen Knick. Somit ist an der Stelle uT2 = e^0,5 = 1.6487212707001282 der einzige Tiefpunkt im ganzen Definitionsbereich.

[@mathekoch]

Open AI ? 😂😂😂