[Eng Sub] Reordering from 0 to ∞ | Riemann Rearrangement Theorem

Рет қаралды 18,641

Zundamon's Theorem (jp)

Күн бұрын

Пікірлер: 56

@あうら-g2j 7 ай бұрын

∞-∞=不定であることがよくわかる定理ですね

@首都高速上野線延伸推 5 ай бұрын

無限級数＝無限回の足し算と捉えると違和感あるけれど、実際には無限級数＝部分和の極限であるということからこういった現象が起きるんでしょうね Σの中にある数列の形が変われば部分和も変わりますから

@moroha10085 5 ай бұрын

当たり前だけど、コンピューターに計算させたらちゃんと結果がln2と1/2ln2に割と早い段階で収束してて、無限の面白さを感じた。

@chicha5358 7 ай бұрын

この世界の裏では光の勢力と闇の勢力がそれぞれ無限の力を持っていて、その均衡が崩れると大変なことになる（中二）

@average334 4 ай бұрын

12:40 PID制御の図みたいで好き

@ryosuke8093 7 ай бұрын

2-1-1+2-1-1+2-1-1+..... と 2-1+2-1+2-1+2-1+..... は+2と-1でそれぞれ１対１対応がつけられるけど極限は全然ちがう、みたいなことか。意外と直感的に当たり前のことなのかもしれない。

@vantelin6586 7 ай бұрын

めちゃくちゃ面白いっすね。高校数学好きな子にこういう話を教えてあげたい。

@michoru2 7 ай бұрын

ある項を並べ替えるときに無限に後ろにずらしていいから、こんな奇妙な結果になるっぽいなぁ～ anとamを入れ替えるときに、m-n < M にする感じで項間の隔たりに制限を加えたら、並べ替えても結果は常に一緒になるんじゃないかな？だれか証明してるのかなこれ

@大きな天国 7 ай бұрын

a1 2 3 4 5 6 7 8 9 M=3 3-1,4-2,7-5,8-6 1,2,5-3,6-4,9-7 という風に並べ方に制限加えても… い、いやこれは並べ方が悪いか… 常に一定だとは限らない気がする

@tou1370 7 ай бұрын

数列a_nは0に収束して無限和もαに収束するとする。 φ:N→Nを全単射であって|φ(n)-n|

@AT-er1gn 6 ай бұрын

並べ替えた後の数列の第k項までを考えると、そこには元の数列における第k₊M項までの値しか入らないので、元の級数の部分和を使って適切に上下から挟めそうな気がする。

@human.piisuk Ай бұрын

並べ替えたあとの数列b_nのk項目までには、①「並べ替える前の数列a_nのk−M項目までが全て」と②「k-M+1項目からk+M項目までの一部」が含まれる。 k→∞のときa_nの収束性から①は収束し、②も有限の項数しかないので収束するよってb_nは収束する

@youdenkisho455 3 ай бұрын

正の実数の列で無限積を考えると、その部分積について、 ∏[k=1→n](aₖ)＝exp(∑[k=1→n](log(aₖ))) が成り立つうえ、log(aₖ)のとりうる値の範囲は実数全体になるから、これはそのままあらゆる実数列の無限和の結果をeの指数関数に入力することに帰着できる。あとは同じように∑[n=1→∞](log(aₙ))が条件収束するケースを考えてやれば、無限積も再配列によって収束先を操作できることが分かる（ただしこの場合の操作範囲は任意の正の実数と0と∞）。

@monsterhunter8595 4 ай бұрын

Loved the proof of Riemann Rearrangement theorem! Keep up these excellent videos!

@express-channel 7 ай бұрын

無限-無限はどんな値にもなりうるってことかな？

@山崎洋一-j8c 7 ай бұрын

区間(0,1)で定義された実数値関数f(x)で、「どんなに小さい部分区間においても、その区間で0と1の間のすべての値をとる」ような関数が存在する。その例として、各x∈(0,1)に対し、xの二進小数表現（ただし2通りの表現ができる場合は、0が無限個出てくる方をとる）の、小数点以下n桁目までに出てくる1の個数をnで割った値の、n→∞のときの極限値（ただし極限がない場合は上極限で代用）」をf(x)とすればよい、と本に書いてあったのですが、証明が書いてなかったので、自分で証明を考えたことがあります。そのとき、この「再配列定理」と同じ理屈を使いました。

@zunda-theorem 7 ай бұрын

コメントありがとうございます。おもしろい関数ですね！

@山崎洋一-j8c 7 ай бұрын

ちなみに、いたるところ不連続なのに任意区間で「中間値の定理」を満たす関数（ダルブー関数と言うらしい）、というのが定義の動機です。またこの例の場合、（2進小数表示の0と1を無限回硬貨投げの結果に対応させれば直観的に分かるように）、ほとんどいたるところ（つまり零集合を除いて）f(x)=1/2です。

@takehirotei 7 ай бұрын

Thank you, very informative video

@Adam-rt2ir 5 ай бұрын

As a topic for a lesson, it would be interesting to see how sums invariant of rearranging and absolutely convergent sums don't coincide in infinite-dimensional Banach spaces

@SilverLining1 5 ай бұрын

Just a note: reordering only a finite number of terms preserves the limit. I'll provide a rigorous proof. Let sum(an)=c, let the partial sums of (an) be called (pn), and let (bn) be the sequence (an)with a finite number of reordered terms and partial sums called (qn). That is, there are a finite number of indices where (an) doesn't equal (bn). Thus there is a maximum index k-1 where (an) and (bn) differ, so an=bn for all n>=k. Since finite sums stay the same after reordering, and the set of the first k terms of both sequences are the same, the sum of the first k terms of (an) equals the sum of the first k terms of (bn). So, pk=qk and, by induction, qN=q(N-1)+bN=p(N-1)+a(N-1)=pN for all N>k too. It should be obvious from here, but I always enjoy showing the limit definition. Since sum(an) converges to c, we have that (pn) converges c. By the limit definition, this is equivalent to saying that for all r>0 there exists an index h such that |pn-c|=h. Of course, max(k,h) is greater than or equal to both h and k, so |pn-c|=max(k,h). That is, |qn-c|max(k,h). Since such an h exists for each r>0, (qn) converges to c by the limit definition and sum(bn)=c.

@augustrief 2 ай бұрын

1:32 hate to be that guy, but altering harmonic series sums to ln(2), I don’t know if they meant log base e bc they didn’t specify a base (which means log base 10)

@BakedAlaskaTM 29 күн бұрын

yea some places use log for ln and log10 for log xd

@marimoiro5642 6 ай бұрын

an±の和が発散するからどこのamから始めてもamからam+Mの和が任意のXを超えるようなMを取れるのと、逆にan自体は収束するから十分大きなところでは微調整がいくらでも効くという感じなのねおもしろーい

@佐藤A-b9n 7 ай бұрын

これって数列を等間隔のブロックに分けてそのブロック内で入れ替える分には収束値は変わらないよね？等間隔ですらなくてもいいか。

@vg-er8yy 7 ай бұрын

順番を入れ替えたことで本質的に違う式になっている、という認識なのですが合ってますか？例えば冒頭の交代調和級数は入れ替えが生じたことによって、有限個の項では式の同値性が確認できなくなっていきます。 Σanを入れ替えてΣbnが生じる(一般項がaからbになった)という書き方もそれを表していると思います。「足し算の順番を入れ替えると結果が変わるかもしれない、無限の場合は」というより「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができるかもよ、そう無限ならね」という風に思いますがいかがでしょうか？また、これは現実世界にどれだけ適応できるのでしょうか？例えば解析接続でよく見る「1+2+3+4+5+...=-1/12」は量子力学の世界において価値がありますが、同じ無限の足し算として何かに使えたりするのでしょうか？

@きよぴー-q7q 7 ай бұрын

「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができるかもよ、そう無限ならね」同感ですね。動画の入れ替え後の式を見ればマイナスの項の方が多いから同じ数列でないはずだが無限で有耶無耶になる。でも、「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができる」トリックだということを計算結果が示している。個人的には何ら不思議でないと思います。

@youdenkisho455 3 ай бұрын

極限をとる際に任意の長さの＂有限和＂を見ているので、探索範囲を無限に広げて確かに同じ式だと言えることと探索範囲を有限に留めて同じ式とは言えないことを両立させているのが再配列定理の肝ですね。そう考えると逆に絶対収束ならどう再配列しても変わらないことの方が奇妙...

@松本幸夫-l7z 7 ай бұрын

いつか必ず返す、と言う奴になら、いくら金を貸しても損をしない、ってことになるな。

@palmhamaura01 7 ай бұрын

死後の返済でもよろしければ

@Micchann0051 7 ай бұрын

素敵な動画有難うございます。一方、絶対級数はの方は、並べ替え関係なくいつも同じ値に収束する。これは解析学の基礎となっています。

@shikaishik 7 ай бұрын

図形の描写に使えますかね？

@ぼぅ-t9y 7 ай бұрын

「並べ替え」の定義がこれなら確かにこの結果になるのは分かります。定義に対する結果には問題ないけど、そもそもその定義を「並べ替え」と呼ぶ事が直感に反する結果を生む原因だと思います。

@KaNaSisi_KNS_受験頑張ります 7 ай бұрын

なんかすごいな…w

@U_Anata 7 ай бұрын

なんかズルくね？プラスとマイナスが交互に現れるものを用意します。 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…… 並び替えて、プラスだけとマイナスだけで計算しようとします。 1+1+1+………… -1-1-1-………… でもプラスの計算は無限なのでマイナスのターンはきません。つまりプラス無限に発散します。みたいな？

@youdenkisho455 3 ай бұрын

マイナスにもターンは用意するそれでも発散できるのが面白いところ（なおその数列はそもそも振動するので今回話題にしているものじゃない

@U_Anata 3 ай бұрын

@@youdenkisho455 極論を書いただけで、マイナスのターンが来ても 1+1-1+1+1-1…… プラスのターンが多ければプラス無限に発散するわけですよね。逆にマイナスのターンを多くすることでマイナスに発散させることも、カッコつけて0に収束させることも、交互に振動させることも可能無限において順番を入れ替える操作自体が非推奨もしくは禁止なのでは？

@youdenkisho455 3 ай бұрын

@@U_Anata どこに問題があるかと言えば再配列という操作でなく収束とか発散とか言ってる概念の本質だと思いますね。そもそも無限級数の和を計算するときってちゃんと最後の項まで足してるのではなくて全部のnで第n項まで足した結果を考えてるだけなんですよね。そりゃあどんなにnを大きくしたって全て足したことにはならないですから、そんなことをしても本当の和なんて求まらない（ただし正の実数の無限和はそうとも言い切れない）わけでして、結局この話って式全体に対して再配列をして、最初から式全体を足したわけじゃない結果が変化しただけで、何も矛盾はしてないんですよ。出てくる比率が変わることが問題だと言うのなら、それは無限という概念の問題ですね。自然数全部と100の倍数全部が1対1で漏れなくペアになるような世界なんで常識が通用するわけがない。

@U_Anata 3 ай бұрын

@@youdenkisho455 納得できるようなできないような…… 進路として考えたけど、数学科は進まなくてホントよかった

@車海老-e5o 7 ай бұрын

これって選択公理なしでも証明できるのだ…？

@jalmar40298 7 ай бұрын

具体的に再配列の方法が与えられるから選択公理は要らない

@Yuyu-1115 7 ай бұрын

According to results I found on the Internet, the sum of alternating harmonic series is ln(2), but it is said to be log(2) here, Which one is correct?

@本堂啓三郎 7 ай бұрын

log2とln2は、記法が異なるだけで同じものです。

@本堂啓三郎 7 ай бұрын

底がeである事を省略した記法です。

@うるとらばいおれっとくん 7 ай бұрын

ln(logarithm nature)とかの略かな？

@user-up9ig2to3y 7 ай бұрын

in japan, we sometimes use log instead of ln as natural logarithm

@p0utan 7 ай бұрын

常用対数をLog、2を底とする対数をlog、自然対数をlnと区別する界隈もあるようです純粋数学では対数はほとんど自然対数なので、基本的にlogと書いて自然対数を意味しますたまにlnと書いてるのを見ますね