EXPONENTIEL OU FACTORIEL ? 💪
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Күн бұрын$\displaystyle \lim_{n
ightarrow +\infty} \frac{a^n}{n!}$
#Mathématiques
#Limite
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#exponentielle
@azrabin7040 2 ай бұрын
Méthode très sympa et pour tous ceux qui disent Stirling ou autre série de Taylor c'est peut-être plus rapide mais bien moins élégant car vous devez admettre beaucoup plus de résultats, à moins que vous ne les redémontriez mais là ce n'est plus rapide du tout.
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Merci vous avez tout dit 😌
@nadimnajjar650 2 ай бұрын
en vrai on pourrait dire plus rapidement par croissance comparé car la factorielle est plus forte qu'une puissance exponentielle...
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
@@nadimnajjar650 Le théorème des croissances comparées permet de comparer les monômes et l'exponentiel/logarithme, la factorielle n'intervient pas dans ce théorème. Cf : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_croissances_compar%C3%A9es
@yannld9524 3 ай бұрын
La méthode est originale, mais c'est plus simple de revenir à la définition. Comme a/n tend vers 0, il existe un rang k à partir duquel on a |a/n| < 1/2 pour tout entier n > k. Donc en remarquant l'égalité a^n/n! = a^k/k! * a/(k+1) * a/(k+2) * ... * a/n on conclut que |a^n/n!| < |a^k/k!| * (1/2)^{n-k} tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
@SI_intriguant 6 күн бұрын
Trés belle démo. Ca va m'aider pour le sup. Etant en terminale et trouvant les exos un peu trop simple, ces exos sont pépites. Merci.
@antoinegrassi3796 27 күн бұрын
Un exercice à connaître pour ceux qui préparent des concours. Une belle petite présentation bien préparée. Du beau travail qui vous permettra d'assimiler facilement cette notion. 👍👍 et 👍
@m.a.t.a.m 23 күн бұрын
Un grand merci !
@geraltofrivia9424 3 ай бұрын
C'était pas suffisant de dire que c'est un des termes de la série convergente qui vaut exp(a) et donc que c'est un terme qui converge vers 0?
@agma6171 3 ай бұрын
Si clairement, après je pense que l'auteur a voulu donner une méthode faisable en Terminale
@amarasa2567 3 ай бұрын
Ça demande pas de prouver que si une série converge, alors la suite de ses termes tend vers zéro ? Et pour prouver ça, il ne faut pas utiliser ce résultat sur les croissances comparées ?
@watouat1013 3 ай бұрын
Comment tu fais pour montrer que la somme c'est exp(a)?
@geraltofrivia9424 3 ай бұрын
@@watouat1013 C'est un développement en série entière qui est connu.
@geraltofrivia9424 3 ай бұрын
@@amarasa2567 ... Je sais pas ce que tu racontes: le fait qu'une série converge implique que le terme général tende vers 0, c'est une condition nécessaire et un résultat connu.
@edwarddnewgate5196 3 ай бұрын
Excellente vidéo !
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Un grand merci !
@Zouhir.57 2 ай бұрын
M9awd❤❤❤
@elhajjihaitamfadi5112 Ай бұрын
HHHHHHHHHHHHHHHHH
@Djorgal 3 ай бұрын
Je suis parti de la formule de Sterling et un peu de calculs donne a^n/n equivalent à (a×e/n)^n / √(2πn) ce qui tend visiblement vers 0 puisque tous les n sont au dénominateur.
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
@LouisLeCrack 2 ай бұрын
Ouais c un peu miteux de faire comme ça
@jojojo7333 17 күн бұрын
Puisqu'on dans les définitions: Un 'short' c'est censé être court!!! 😂
@abecede2472 3 ай бұрын
Masterclass bg continue comme ça
@m.a.t.a.m 3 ай бұрын
Merci beaucoup ahah !
@igouyt1932 2 ай бұрын
qu'en est-il de lim n-->+inf n^n/(n!)^2
@m.a.t.a.m Ай бұрын
Je pense pas que le carré soit particulièrement utile, je note cependant l'idée merci !
@maxaucarre37 15 күн бұрын
un+1/un-->0 implique série un converge par le critère de d'alembert donc un-->0 ez
@Sai-hc6il 3 ай бұрын
Stirling...
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
@RayannMaths_ 3 ай бұрын
excellent
@m.a.t.a.m 3 ай бұрын
Merci beaucoup !
@thomasniellen3294 3 ай бұрын
Equivalent de stirling
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Oui tu peux ça fonctionne.
@AhmedAouidef 3 ай бұрын
Merci
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Je t'en prie ahaha !
@didierleroy6348 3 ай бұрын
Ça me semble incomplet si a> certaines valeurs, le numérateur peut être supérieur au dénominateur. Si n est grand Ça peut s'inverser effectivement
@azrabin7040 2 ай бұрын
On s'intéresse à la limite quand n tend vers +infini et c'est bien 0 indépendamment de la valeur de a.
@baptFulbion 2 ай бұрын
J'ai pas fait le calcul, j'ai juste reconnu que la somme des termes de la suite (ΣUₙ) était égal à l'exponentielle de a. Donc nécessairement, la série converge donc la suite tend vers 0.
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Oui c'est pas con dutout ça ahahah, si j'y avais pensé je pense que je n'aurais peut-être même pas fait la vidéo 😭
@baptFulbion 2 ай бұрын
@@m.a.t.a.m bah c'est bien que t'y aies pas pensé alors 😅😅😅😅😅
@dans.o.s.d.s6971 2 ай бұрын
vous pouvez expliquer votre idee en plus détail svp ? Ça apparaît vachement intéressante
@LouisLeCrack 2 ай бұрын
@@dans.o.s.d.s6971a^n/ n! est le terme général d’une série convergente (l’exponentielle) . Or le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers 0. Ce qui donne le résultat
@arnulya1692 2 ай бұрын
🎉Lim x-> +oo a^x / x! = Lim (2.a + x) -> +oo. a^(2.a+x) / (2a+x)! N/D D = (2a+x)! = 1.2...a. . (a+1)...2a. (2a+1)....(2a+x) Or. 1.2...a = a! Et. (a+1)...(2a) > a^a Et. (2a+1)...(2a+x) > (2a)^x Donc D > a! . a^a . (2a)^x Si L =. lim (a^(2.a+x) / (2a+x)! ) 0 < L < a^(2.a+x) / (a! . a^a . (2.a)^x ) 0 < L < 1/2^x. . a^a / a! Donc si x-> +oo , L -> 0
@m.a.t.a.m 2 ай бұрын
Les encadrements fonctionnent bien ici et la plupart des vidéos youtube font comme ça c'est je pense une des manières les plus simples, bien joué !