Thomaths 26 : La fonction Zêta de Riemann

Parlons de la fameuse fonction Zêta et de l'hypothèse de Riemann dans cette vidéo niveau licence ! C'est un sujet qui est lié à de nombreux domaines des mathématiques :
0:00 Analyse complexe
5:44 Théorie des nombres
9:38 Probabilités
15:28 Mécanique quantique
16:50 Géométrie et dynamique
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Références / pour aller plus loin :
- vidéo de Science Etonnante sur l'hypothèse de Riemann : • L'Hypothèse de Riemann
- vidéo de 3blue1brown : • But what is the Rieman...
- Vidéo Arte "Cap sur l'hypothèse de Riemann" dans la série "Voyage au pays des maths", • Cap sur l’hypothèse de...
- livre superbe de Tenenbaum et Mendès France, "Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos", Dunod
- cours de P. Biane sur fonction Zêta et théorie des probabilités : www.dam.brown.edu/people/meno...
- article de Schumayer-Hutchinson "Physics of the Riemann Hypothesis" (et références à la fin) : arxiv.org/pdf/1101.3116.pdf
- article de Mussardo-LeClair "Randomness of Möbius coefficents and Brownian Motion" : arxiv.org/pdf/2101.10336.pdf

[@Thomaths]

Merci pour vos retours enthousiastes ! 💚 On a eu un gros problème de son lors du tournage, et on a fait ce qu'on a pu pour sortir la vidéo malgré tout et avec le son le plus intelligible possible. Pas d'inquiétude, le son habituel sera de retour pour les vidéos futures ! - Alex & Eve 🍅

[@lecokase]

Il me semblais que le son était doublé

[@loubecarut2192]

@@lecokase Moi, il me semble que ça se cale le son. (caleçon)

[@ThierryLalinne]

Fascinant et très bien expliqué de façon claire. Merci beaucoup

[@mhammedheddoun6830]

C'est trop beau, la fonction zeta n'a pas cessé de nous fasciner. Merci beaucoup beaucoup pour la clarté de l'explication et la présentation.

[@gerardpeyrouty2216]

Extra ! J'ai appris modestement grâce à vos approches originales et variées quelques bribes de cette fonction fondamentale ! Merci infiniment !!!👏

[@jean-francoisbiragnet7304]

Merci pour cette vidéo qui faut en effet le pont entre de nombreux domaines et montre toute la fécondité de la fonction de Riemann !

[@looou6615]

Waaa c’est super intéressant!! J’ai jamais vu de vidéo sur ce sujet aussi complète c’est fascinant!

[@olivierbegassat851]

Super vidéo. Par contre le son a un souci, ça donne l'impression d'écouter un doublage.

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) - Alex & Eve

[@superswag3252]

​@@Thomaths En fait comme tu t'es placé à 20 m de la caméra en gardant le micro sur toi, on dirait que tu parles en voix off

[@olfnar219]

J'ai trouvé un lien entre la fonction zeta et ma recherche : je cherchais mes clés. Elles zeta dans ma poche.

[@ferdinandlamboni7521]

Très bien expliqué !! Félicitations!

[@dominiquelaurain6427]

I like the random walks and the link with circular billiard with N-holes, mostly because I am interested in billiards ;-) That fields might evolve for greatest results...because of the experimental technniques and quantum computing. / J'aime bien le lien avec les marches aléatoires et le billiard circulaire.

[@didieroger4803]

Vraiment sympa cette vidéo. MERCI de l'avoir publiée.

[@baptistearnaudo8699]

Fascinant purée

[@fadydawra]

Belle vidéo

[@Said-kv7mp]

brillant

[@pierrepensec5031]

C'était super intéressant merci beaucoup!! Les "pn chapo" m'ont tué bahaha

[@francoislechampi2002]

La video m'a plu mais je n'ai pas trouvé de lien avec mon domaine de recherche (je recherche un emploi)

[@Xrtd62]

😂😂

[@timothebillod-morel2620]

Wouah. Je suis à 13min34. Je n’avais pas connaissance de ce théorème de Grosswald-Schnitzer. C’est bluffant. C’est comme si les nombres premiers consécutifs constituaient des « bords » à cette propriété de 0 sur la bande critique. Je savais que la fonction zeta de R. Admettait tout un tas d’analogues, sur les corps finis ou des analogues p-adiques, pour lesquels des conjectures similaires à celle de Riemann pouvaient être formulées. En revanche, je ne savais pas que l’on pouvait définir grâce à ce théorème toute une famille de fonctions vérifiant la même propriété conjecturale, avec pour seule contrainte de respecter que les nombres choisis dans le produits soient tous entre deux premiers consécutifs. C’est extrêmement intéressant. J’ai l’intuition que cette famille de fonction chapeau forment un espace topologique sur lequel il est possible de définir une métrique. Merci pour cette vidéo qui se démarque des autres sur le sujet.

[@__hannibaalbarca__]

Most Beautiful Function in Entier Mathematics, plus Complex Analysis Make it as Queens of Functions.

[@jere0111]

super

[@danielb7311]

Intéressant, ce qui m'intéresserait avant tout, c'est de connaître la raison qui a amener Riemann a poser la définition de la fonction Zeta() telle que vous nous la livrer à 0:35

[@dimitrilemeur7703]

D'après ce que j'ai compris de la vidéo, c'est Euler qui s'y est intéressé en premier. Riemann a vu la formule d'Euler, et ça l'a inspiré pour chercher quelque chose de plus profond concernant le rapport entre les nombres premiers la fonction zeta.

[@Thomaths]

Bonjour, excellente question ! Malheureusement je ne connais pas assez l'histoire de la vie de Riemann pour y répondre. Je sais que la fonction a déjà été étudiée par Euler, et que Riemann n'a publié qu'un seul article en théorie des nombres, celui sur le prolongement analytique de la fonction zêta et de la formule calculant la fonction de répartition des nombres premiers. De la même manière, Riemann n'a écrit qu'un seul article sur la géométrie différentielle, et c'est devenu la géométrie Riemannienne, un des plus gros domaine de recherche en géométrie (et qui a mené à la relativité générale d'Einstein). Riemann était sans doute un des plus grands visionnaires en maths. Il est mort à l'age de 39 ans...

[@user-or3vo7iy1j]

woahhhhh

[@victor-vg6ek]

2:26 je ne comprends pas les propriétés du log sur la puissance sont vraies pour un réel strictement positif à une puissance réelle et là la puissance est complexe. En plus dans le log on prend dans la vidéo un x réel. Il ne s'agit pas d'un logarithme complexe ?

[@Thomaths]

Bonjour, en effet le passage à 2:26 n'est pas rigoureusement justifié. On peut prendre le résultat de x^s comme une définition, mais je pense que la justification éclaire la formule. Pour passer de ln(x^(i\beta)) à i\beta ln(x), il faut utiliser les propriétés du log complexe (en termes savants : le log est toujours un morphisme du groupe multiplicatif vers le groupe additif des nombres complexes). Après, on reste avec ln(x) et x est ici un entier strictement positif, donc on peut utiliser le logarithme usuel sur les nombres réels. - Alex

[@dimitrilemeur7703]

Vidéo très intéressante merci. La formule de Riemann à 8:56 est de la sorcellerie. Je suis surpris qu'on en parle que très peu, c'est tout de même la base (avec la formule d'Euler qui est bien plus populaire) justifiant le rapport exact entre les zéros non triviaux de la fonction zeta et la suite des nombres premiers. Grâce à cette formule on comprend rapidement pourquoi ce serait chiant que les zéros n'aient pas tous une partie réelle égale à 1/2. Dire que l'hypothèse de Riemann est fausse revient à dire, par symétrie autour de l'axe réel s=1/2, qu'on aurait un zéro de partie réelle s > 1/2 ce qui impliquerait un terme correctif de l'ordre de Li(x^s). Si elle est vraie, tous les termes correctifs sont de l'ordre de Li(x^{1/2}), ce qui est plus soft. Je partage des réflexions assez étranges sur la fonction zeta. Si on retire les n premiers facteurs du produit eulérien, on peut toujours prolonger holomorphiquement la fonction que je noterai zeta_n sur C privé de 1, et cela ne change pas l'enemble des zéros Z. Bref, il est clair que Z ne dépend que des nombres premiers à partir d'un certain rang. Le théorème de Grosswald-Schnitzer permet même de dire que Z ne dépend que de la donnée à partir d'un certain rang d'une suite de points où pi, la fonction de comptage des nombres premiers, prend exactement une fois toutes les valeurs entières positives. Par la formule de Riemann, on peut retrouver tous les nombres premiers, à partir d'une donnée Z qui est donc bien plus imprécise que l'ensemble des nombres premiers en lui-même. Bref, tout se passe comme si pi(x) était "un petit peu analytique en l'infini" au sens où il suffit de la connaître en des points ne tendant pas trop vite vers l'infini pour la connaître complètement. Autre point étrange. Dans le théorème de Grosswald-Schnitzer, on peut prendre p_n chapeau parcourant deux fois les p_n où n pair, ou deux fois les p_n où n impair. Ca montre que si on prend le produit de la fonction zeta en se restreignant aux termes pairs (ce qui revient à prendre la racine carrée de ce qui précède), on obtient les mêmes racines que zeta avec multiplicité divisée par deux. Même chose pour le produit avec les termes impairs. Donc ces deux produits peuvent être à peu près étendus sur tout C privé de 1, à ceci près qu'il faut retirer des branchements sur chaque racine de multiplicité impaire de zeta.

[@nicolascoppola9328]

Quand est-ce que vous résolvez le problème ?

[@dimitrilemeur7703]

​@@nicolascoppola9328 C'est plus que difficile malheureusement... Je ne disais que ce qui me passait par la tête. Quand on voit l'imagination qu'il a fallu à Riemann pour constituer sa formule, et qu'il n'a pas réussi à démontrer sa conjecture. Il y a une grosse différence entre avoir des bribes de compréhension de ce que les autres ont fait avant soi et créer par soi-même une théorie. D'autre part, mais c'est personnel, j'ai bifurqué en musique, je fais désormais des maths pour le loisir.

[@nicolascoppola9328]

C'est dommage, on a touché du doigt la résolution de ce problème

[@dimitrilemeur7703]

@@nicolascoppola9328 Je me permets d'insister : n'exagérons rien. :o)

[@Thomaths]

Merci beaucoup pour ces réflexions très intéressantes ! J'ai appris l'existence de la formule pour la fonction de répartition dans la vidéo de Science Etonnante (voir la description de la vidéo). Je suis également surpris qu'elle ne soit pas plus connue. Le caractère "robuste" des zéros de la fonction zêta est en effet remarquable. Mais il y a aussi un théorème qui va dans le sens opposé (théorème de Chernoff, voir la référence Mussardo-LeClair dans la description) : si on prend q_n = n ln(n), alors l'asymptotique de q_n est celle des nombres premiers. Par contre si on défini f(s) = produit 1/(1-q_n^(-s)), alors f admet un prolongement analytique pour Re(s)>0 et n'a aucun zéro !

[@abdelazizalaoui1299]

j ai pu trouvé une fonction qui me permet de projeter la fonction de répartion sur l axe des (x)...et que cette fonctionne s annule que pour les nombres premiers....

[@MathsEtoile]

13:30 Ce théorème est vraiment choquant… Il a l’air complètement faux c’est terrifiant. Merci beaucoup pour cette vidéo !

[@Thomaths]

J'étais aussi ébahi de découvrir le théorème de Grosswald-Schnitzer. C'est surprenant qu'il ne soit pas plus connu. Il y a aussi un théorème presque contraire (théorème de Chernoff, voir la référence Mussardo-LeClair dans la description) : si on prend q_n = n ln(n), alors l'asymptotique de q_n est celle des nombres premiers. Par contre si on défini f(s) = produit 1/(1-q_n^(-s)), alors f admet un prolongement analytique pour Re(s)>0 et n'a aucun zéro !!

[@leporcquirit]

Super vidéo, comme toujours, mais je préférais l'ancien son 🥴 (et vous avez encore oublié de dire un mot de votre Tipeee à la fin)

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) Et pour le Tipeee on oublie à chaque fois ^^' - Alex & Eve

[@lecokase]

Merci Alex, pour cette vidéo que je devrais regarder 10 x avant d’espérer comprendre 1%. Question de néophyte svp. Si notre système de comptage était en base 6 par exemple ; la fonction zêta (ou autres) aurait toujours été vraie?

[@qazar7906]

Oui, la fonction (comme la quasi-totalité des maths d'ailleurs) ne dépend pas des systèmes de comptage. Imagine que le système de comptage est une langue : pour expliquer une idée, tu le feras de manière différente mais l'idée sera la même. En maths c'est pareil, les vérités ne dépendent pas des systèmes de comptage, qui sont des normes arbitraires, qui tout au plus changeront les "nombres" utilisés dans les propositions mathématiques.

[@Thomaths]

Je joins complètement la réponse de @qazar7906. La notion de nombre premier, et aussi de la fonction zêta ou l'hypothèse de Riemann ne dépendent pas du système de comptage, seulement des nombres entiers. - Alex

[@lecokase]

@@Thomaths d’accord merci. Cela tend à démontrer que cette hypothèse, comme tant d’autres en maths ainsi que les nombres premiers etc sont des propriétés réelles et existantes et non de simples interprétations humaines ?

[@Thomaths]

@@lecokaseEn effet ! C'est pourquoi on envoie des signaux mathématiques dans l'espace (par exemple la suite des nombres premiers avec des bips) car on considère qu'une autre civilisation utiliserait les mêmes mathématiques (la même logique) que nous.

[@lecokase]

@@Thomaths oui c’est dingue! Je ne sais pas si "Dieu ne joue pas aux dés" mais si il existe, il doit être un sacré bons mathématicien! Sans blague, les 3 lois d’interactions quantiques, la gravité , le bestiaire des particules, l’espace, le temps, l’énergie qui ont menés jusqu’à nous!!! on a accès à un monde magique et déroutant. Merci pour le partage de votre Savoir Alex. Bon j’y comprend que peu de choses mais votre travail reste captivant pour moi!🫵💪👌😘

[@diktakt1187]

14 23 Intervalle #

[@iskenderyahiaoui1844]

mais ducoup est ce que la somme des entiers vaut vraiment -1/12?

[@AlcyonEldara]

Ca veut dire quoi "vaut vraiment"? Et attention car "somme" c'est pour un nombre fini d'éléments, mais passons. En général, quand on généralise quelque chose "à l'infini" il faut faire attention. Quand on généralise la notion de somme à une suite infinie dénombrable d'éléments, quelque soit la façon de le faire, on se retrouve face à des "problèmes": -soit elle est contraignante et ne fonctionne que pour un "petit" ensemble de suite et est indéterminée pour d'autres -soit elle ne possède pas des propriétés qui semblent naturelles -ou une combinaison des deux Avec la façon "usuelle" d'étendre la notion de somme, la série des entiers ne "vaut" pas -1/12. Avec d'autres, on peut lui associer cette valeur. Le "truc" c'est qu'en gardant des propriétés "raisonnables" on peut montrer que -1/12 est l'unique valeur qu'on peut lui associer.

[@iskenderyahiaoui1844]

@@AlcyonEldara donc la somme des entiers naturels diverge mais si on voulait absolument lui donner une valeur ce sera -1/12 ?

[@AlcyonEldara]

@@iskenderyahiaoui1844 en gardant un "minimum" de propriétés pour associer des valeurs aux séries, oui. Alors c'est assez technique, c'est pour ça que j'utilise des guillemets car je ne connais pas quel niveau de math tu as étudié. Alors pour comprendre plus en détail, je conseillerais les étapes suivantes (et si tu connais déjà les premières, passe au suivantes). Pas forcément besoin d'être capable de passer une interro, juste capable de suivre une "leçon" de vulgarisation. 0) Les nombres complexes 1a) Les suites 2) Convergence de suites réelles (au sens usuel en epsilon-delta) 2bis) Généralisation aux complexes 2ter) Séries et leur convergence (au sens usuel) avec les "problèmes" (la perte de l'associativité, semi-convergence et la perte de la commutativité, etc), 3) Sommation de Cesaro (pour au moins comprendre comment on peut "étendre" la notion de convergence) Et là, on peut enfin commencer à comprendre les méthodes qui arrivent à -1/12 (Cesaro donne une série divergente). Alors on peut utiliser la sommation de Ramanujan ou la régularisation via la fonction Zeta. La première il y a des intégrales, la seconde de l'analyse complexe mais je peux construire une analogie (mais il faut admettre un théorème très puissant d'analyse complexe). Il en parle dans la vidéo, c'est le prolongement analytique. Considérons la série 1+x+x²+x³+... Alors au sens "usuel" cette série dans les réels converge si -1

[@iskenderyahiaoui1844]

@@AlcyonEldara D'accord j'irai me renseigner dé que possible Merci beaucoup pour ton aide

[@Thomaths]

Bonjour, Je suis assez d'accord avec @AlcyonEldara, la suite S_n=1+2+...+n est une suite divergente. Une manière naturelle pour lui associer quand même une valeur est de la voir comme zeta(-1), et zeta admet un prolongement analytique. Mais on pourrait imaginer l'existence d'une autre fonction analytique, qui en un certain point donne aussi 1+2+3+..., et qui attribue une autre valeur ! Le prolongement analytique est unique quand la fonction est donnée, mais ici, on n'a que la série 1+2+3+..., et on peut faire coller d'autres fonctions dessus. Je recommande la vidéo de Benôit Rittaud sur le site du CNRS : video.math.cnrs.fr/la-somme-de-tous-les-entiers/ Il y a aussi un point de vue intéressant des sommations avec cut-off qui fait apparaître le -1/12. Voir "Cutoff regularization" de l'article wikipedia en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF - Alex

[@neo3373]

Ah oui, Mais là c'est BAC + combien...? Parce que 1er ligne = Largué...!

[@Thomaths]

Bonjour, comme l'indiquent les deux tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo niveau Licence. Courage !

[@neo3373]

@@Thomaths C'est bien ce que j'pensais, Rendez vous dans 10 ans....!

[@jaiden5407]

promo sm 💋

[@FreeGroup22]

2:12 oh que c'est vilain

[@chemsdinesidha5254]

C'est beau tout ça mais ça nous dépasse.

[@the69paradise68]

😮😮😮😮😮اعتقد فهم هذه الفرضية .....التي تقترب من 200 سنة ........ليس في هذا الطريق .......ان النتائج التي يتوصل اليها الباحثون .....لا تختلف عن مقدمات ......تللك ....الفرضيات ....والمسلمات ......والقواعد ......والكل يدور في اشياء يعتقد انها .......محققة ؟؟؟؟؟!!!!!!!!! فلو نظرنا الى الاكتشافات الحديثة ......يظهر انها بدأت بثورة على السائد ........على العادة ...على المقررات ........على ما ندعي ...انها.......يقينيات ........طريق الحل .......ان نشك في منهج ونتائج ومقدمات ........البحث عن نموذج جديد .........في المعرفة .....واعتقد ان كوكبنا يملك هذه العبقرية ........التي هي عطاء من رب الكون .........لما تنظر الى الكون ستدرك انه مسخر للانسان ........وهي تللك العبقرية ......التي ستدرك الكثير من حقائق الوجود ........و واجب الوجود .........

[@hammououjja8688]

"ولا يحيطون بشيء من علمه الا بما شاء"

[@alexvernes9264]

Attention à la prononciation car il est parfois difficile de capter certains mots. Or, si vous avez su maîtriser les domaines dont vous parlez, vous devriez aisément maîtriser la mécanique phonatoire, qui est une mathématique appliquée. Et pour cela pas d'autres méthodes que celle du bébé apprenant sa langue maternelle: l'audition fine ou plutôt affinée. Les relations entre geste et physique, physique et mathématique sont si profondes que cette maîtrise améliorée devrait également résonner sur vos intuitions mathématiques. Pour le reste, bravo !

[@loubecarut2192]

Le mieux pour vous serait d'apprendre à écouter, car la pronociation de Thomaths est impécable. Vous êtes méprisant.

[@alexvernes9264]

@@loubecarut2192 Une fois de plus un ignorant vaniteux se croyant savant et tartinant les leçons de son ignorance, incapable de lire un énoncé de deux phrases, incapable de déporter un problème en dehors de son petit égo, incapable d'entendre finement, et dont l'orthographe témoigne d'une culture lacunaire: on voit mal de belles mathématiques sortir d'un esprit aussi grossier. Que les uns apprennent à contrôler leur appareil phonatoire, que les autres apprennent à écrire puis à penser et à se cultiver, car il ne faut pas se cacher que le niveau des mathématiciens du tout venant est faible.

[@ttttteststst6867]

Mais lol, votre critique est tellement nulle a chier que vous êtes réduit à parler d'un concept d'apprentissage aussi simpliste que celle d'un bébé 😂

[@ttttteststst6867]

Inutile de me répondre, je laisserai votre intellect là où il appartient.

[@alexvernes9264]

sé sui qui di qui yé , gna gna gna, cassé ! 😂😂😂😂😂😂