Thomaths 26 : La fonction Zêta de Riemann

[@Thomaths]

Merci pour vos retours enthousiastes ! 💚 On a eu un gros problème de son lors du tournage, et on a fait ce qu'on a pu pour sortir la vidéo malgré tout et avec le son le plus intelligible possible. Pas d'inquiétude, le son habituel sera de retour pour les vidéos futures ! - Alex & Eve 🍅

[@lecokase]

Il me semblais que le son était doublé

[@loubecarut2192]

@@lecokase Moi, il me semble que ça se cale le son. (caleçon)

[@daoudafall6116]

Je suis sénégalais et j'ai découvert la démonstration qui confirme l'hypothèse de Riemann. Comment faire s'il vous plaît ?

[@jean-francoisbiragnet7304]

Merci pour cette vidéo qui faut en effet le pont entre de nombreux domaines et montre toute la fécondité de la fonction de Riemann !

[@mhammedheddoun6830]

C'est trop beau, la fonction zeta n'a pas cessé de nous fasciner. Merci beaucoup beaucoup pour la clarté de l'explication et la présentation.

[@ThierryLalinne]

Fascinant et très bien expliqué de façon claire. Merci beaucoup

[@gerardpeyrouty2216]

Extra ! J'ai appris modestement grâce à vos approches originales et variées quelques bribes de cette fonction fondamentale ! Merci infiniment !!!👏

[@felixbouvet1746]

Merci beaucoup les xibgexture sont dingue et surtout ce probabilité du billard qui sort de la cercles je suis nul en équation mais tes explications sont compréhensibles 😮😮😅

[@looou6615]

Waaa c’est super intéressant!! J’ai jamais vu de vidéo sur ce sujet aussi complète c’est fascinant!

[@ferdinandlamboni7521]

Très bien expliqué !! Félicitations!

[@didieroger4803]

Vraiment sympa cette vidéo. MERCI de l'avoir publiée.

[@dominiquelaurain6427]

I like the random walks and the link with circular billiard with N-holes, mostly because I am interested in billiards ;-) That fields might evolve for greatest results...because of the experimental technniques and quantum computing. / J'aime bien le lien avec les marches aléatoires et le billiard circulaire.

[@danielb7311]

Intéressant, ce qui m'intéresserait avant tout, c'est de connaître la raison qui a amener Riemann a poser la définition de la fonction Zeta() telle que vous nous la livrer à 0:35

[@Thomaths]

Bonjour, excellente question ! Malheureusement je ne connais pas assez l'histoire de la vie de Riemann pour y répondre. Je sais que la fonction a déjà été étudiée par Euler, et que Riemann n'a publié qu'un seul article en théorie des nombres, celui sur le prolongement analytique de la fonction zêta et de la formule calculant la fonction de répartition des nombres premiers. De la même manière, Riemann n'a écrit qu'un seul article sur la géométrie différentielle, et c'est devenu la géométrie Riemannienne, un des plus gros domaine de recherche en géométrie (et qui a mené à la relativité générale d'Einstein). Riemann était sans doute un des plus grands visionnaires en maths. Il est mort à l'age de 39 ans...

[@olivierbegassat851]

Super vidéo. Par contre le son a un souci, ça donne l'impression d'écouter un doublage.

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) - Alex & Eve

[@superswag3252]

​@@Thomaths En fait comme tu t'es placé à 20 m de la caméra en gardant le micro sur toi, on dirait que tu parles en voix off

[@pierrepensec5031]

C'était super intéressant merci beaucoup!! Les "pn chapo" m'ont tué bahaha

[@baptistearnaudo8699]

Fascinant purée

[@francoislechampi2002]

La video m'a plu mais je n'ai pas trouvé de lien avec mon domaine de recherche (je recherche un emploi)

[@Xrtd62]

😂😂

[@lavoixnordsud7471]

Il y a beaucoup de postes de profs de maths aux lycées et dans des écoles de commerce non pourvus. Désolé si vous avez au minimum une licence maths pure ou maths appliquées pas de problème d emplois en France.

[@__hannibaalbarca__]

Most Beautiful Function in Entier Mathematics, plus Complex Analysis Make it as Queens of Functions.

[@timothebillod-morel2620]

Wouah. Je suis à 13min34. Je n’avais pas connaissance de ce théorème de Grosswald-Schnitzer. C’est bluffant. C’est comme si les nombres premiers consécutifs constituaient des « bords » à cette propriété de 0 sur la bande critique. Je savais que la fonction zeta de R. Admettait tout un tas d’analogues, sur les corps finis ou des analogues p-adiques, pour lesquels des conjectures similaires à celle de Riemann pouvaient être formulées. En revanche, je ne savais pas que l’on pouvait définir grâce à ce théorème toute une famille de fonctions vérifiant la même propriété conjecturale, avec pour seule contrainte de respecter que les nombres choisis dans le produits soient tous entre deux premiers consécutifs. C’est extrêmement intéressant. J’ai l’intuition que cette famille de fonction chapeau forment un espace topologique sur lequel il est possible de définir une métrique. Merci pour cette vidéo qui se démarque des autres sur le sujet.

[@MathsEtoile]

13:30 Ce théorème est vraiment choquant… Il a l’air complètement faux c’est terrifiant. Merci beaucoup pour cette vidéo !

[@Thomaths]

J'étais aussi ébahi de découvrir le théorème de Grosswald-Schnitzer. C'est surprenant qu'il ne soit pas plus connu. Il y a aussi un théorème presque contraire (théorème de Chernoff, voir la référence Mussardo-LeClair dans la description) : si on prend q_n = n ln(n), alors l'asymptotique de q_n est celle des nombres premiers. Par contre si on défini f(s) = produit 1/(1-q_n^(-s)), alors f admet un prolongement analytique pour Re(s)>0 et n'a aucun zéro !!

[@fadydawra]

Belle vidéo

[@romain6138]

Je ne comprends pas trop la démonstration pour arriver au produit Eulerien de zeta, quelqu'un saurait il me le réexpliquer svp ? J'ai compris que le produit pour les nombres p premiers de la somme de s allant de 0 a +∞ des p^{-s} était égal au produit Eulerien c'est juste une somme géométrie de raison < 1, mais comment fait on le lien avec zêta ? Y a t il une interversion du produit et de la série qlq part ? Et si oui qu'est ce qui nous permet de le faire ?

[@Thomaths]

C'était en effet une explication assez rapide. Il y a deux vidéos détaillées (en anglais) qui expliquent bien le produit d'Euler : kzbin.info/www/bejne/f2TUhHaNg72Ngck kzbin.info/www/bejne/inXHeJypjKlohbc Bon visionnage !

[@Said-kv7mp]

brillant

[@victor-vg6ek]

2:26 je ne comprends pas les propriétés du log sur la puissance sont vraies pour un réel strictement positif à une puissance réelle et là la puissance est complexe. En plus dans le log on prend dans la vidéo un x réel. Il ne s'agit pas d'un logarithme complexe ?

[@Thomaths]

Bonjour, en effet le passage à 2:26 n'est pas rigoureusement justifié. On peut prendre le résultat de x^s comme une définition, mais je pense que la justification éclaire la formule. Pour passer de ln(x^(i\beta)) à i\beta ln(x), il faut utiliser les propriétés du log complexe (en termes savants : le log est toujours un morphisme du groupe multiplicatif vers le groupe additif des nombres complexes). Après, on reste avec ln(x) et x est ici un entier strictement positif, donc on peut utiliser le logarithme usuel sur les nombres réels. - Alex

[@abdelazizalaoui1299]

j ai pu trouvé une fonction qui me permet de projeter la fonction de répartion sur l axe des (x)...et que cette fonctionne s annule que pour les nombres premiers....

[@nicolaslhomme2117]

Merci beaucoup

[@lavoixnordsud7471]

Parfait

[@moubarakgnamtagabo-ch2jx]

Merci beaucoup pour explication, mais je ne pas qu'il y aurait une expression unique des nombres premiers. Les nombres premiers confèrent à une discontinuité de la suite arithmétique multiple.

[@lecokase]

Merci Alex, pour cette vidéo que je devrais regarder 10 x avant d’espérer comprendre 1%. Question de néophyte svp. Si notre système de comptage était en base 6 par exemple ; la fonction zêta (ou autres) aurait toujours été vraie?

[@qazar7906]

Oui, la fonction (comme la quasi-totalité des maths d'ailleurs) ne dépend pas des systèmes de comptage. Imagine que le système de comptage est une langue : pour expliquer une idée, tu le feras de manière différente mais l'idée sera la même. En maths c'est pareil, les vérités ne dépendent pas des systèmes de comptage, qui sont des normes arbitraires, qui tout au plus changeront les "nombres" utilisés dans les propositions mathématiques.

[@Thomaths]

Je joins complètement la réponse de @qazar7906. La notion de nombre premier, et aussi de la fonction zêta ou l'hypothèse de Riemann ne dépendent pas du système de comptage, seulement des nombres entiers. - Alex

[@lecokase]

@@Thomaths d’accord merci. Cela tend à démontrer que cette hypothèse, comme tant d’autres en maths ainsi que les nombres premiers etc sont des propriétés réelles et existantes et non de simples interprétations humaines ?

[@Thomaths]

@@lecokaseEn effet ! C'est pourquoi on envoie des signaux mathématiques dans l'espace (par exemple la suite des nombres premiers avec des bips) car on considère qu'une autre civilisation utiliserait les mêmes mathématiques (la même logique) que nous.

[@lecokase]

@@Thomaths oui c’est dingue! Je ne sais pas si "Dieu ne joue pas aux dés" mais si il existe, il doit être un sacré bons mathématicien! Sans blague, les 3 lois d’interactions quantiques, la gravité , le bestiaire des particules, l’espace, le temps, l’énergie qui ont menés jusqu’à nous!!! on a accès à un monde magique et déroutant. Merci pour le partage de votre Savoir Alex. Bon j’y comprend que peu de choses mais votre travail reste captivant pour moi!🫵💪👌😘

[@olfnar219]

J'ai trouvé un lien entre la fonction zeta et ma recherche : je cherchais mes clés. Elles zeta dans ma poche.

[@r0bindesbets326]

Puis je l’introduire dans une etude statistique en metrologie ? Cordialement

[@Thomaths]

Hm, je ne connais pas grand chose en métrologie, mais il me semble qu'il n'y a aucun lien avec la fonction zêta.

[@r0bindesbets326]

@@Thomaths d’accord merci c’est la science de la mesure 🗜

[@iskenderyahiaoui1844]

mais ducoup est ce que la somme des entiers vaut vraiment -1/12?

[@AlcyonEldara]

Ca veut dire quoi "vaut vraiment"? Et attention car "somme" c'est pour un nombre fini d'éléments, mais passons. En général, quand on généralise quelque chose "à l'infini" il faut faire attention. Quand on généralise la notion de somme à une suite infinie dénombrable d'éléments, quelque soit la façon de le faire, on se retrouve face à des "problèmes": -soit elle est contraignante et ne fonctionne que pour un "petit" ensemble de suite et est indéterminée pour d'autres -soit elle ne possède pas des propriétés qui semblent naturelles -ou une combinaison des deux Avec la façon "usuelle" d'étendre la notion de somme, la série des entiers ne "vaut" pas -1/12. Avec d'autres, on peut lui associer cette valeur. Le "truc" c'est qu'en gardant des propriétés "raisonnables" on peut montrer que -1/12 est l'unique valeur qu'on peut lui associer.

[@iskenderyahiaoui1844]

@@AlcyonEldara donc la somme des entiers naturels diverge mais si on voulait absolument lui donner une valeur ce sera -1/12 ?

[@AlcyonEldara]

@@iskenderyahiaoui1844 en gardant un "minimum" de propriétés pour associer des valeurs aux séries, oui. Alors c'est assez technique, c'est pour ça que j'utilise des guillemets car je ne connais pas quel niveau de math tu as étudié. Alors pour comprendre plus en détail, je conseillerais les étapes suivantes (et si tu connais déjà les premières, passe au suivantes). Pas forcément besoin d'être capable de passer une interro, juste capable de suivre une "leçon" de vulgarisation. 0) Les nombres complexes 1a) Les suites 2) Convergence de suites réelles (au sens usuel en epsilon-delta) 2bis) Généralisation aux complexes 2ter) Séries et leur convergence (au sens usuel) avec les "problèmes" (la perte de l'associativité, semi-convergence et la perte de la commutativité, etc), 3) Sommation de Cesaro (pour au moins comprendre comment on peut "étendre" la notion de convergence) Et là, on peut enfin commencer à comprendre les méthodes qui arrivent à -1/12 (Cesaro donne une série divergente). Alors on peut utiliser la sommation de Ramanujan ou la régularisation via la fonction Zeta. La première il y a des intégrales, la seconde de l'analyse complexe mais je peux construire une analogie (mais il faut admettre un théorème très puissant d'analyse complexe). Il en parle dans la vidéo, c'est le prolongement analytique. Considérons la série 1+x+x²+x³+... Alors au sens "usuel" cette série dans les réels converge si -1

[@iskenderyahiaoui1844]

@@AlcyonEldara D'accord j'irai me renseigner dé que possible Merci beaucoup pour ton aide

[@Thomaths]

Bonjour, Je suis assez d'accord avec @AlcyonEldara, la suite S_n=1+2+...+n est une suite divergente. Une manière naturelle pour lui associer quand même une valeur est de la voir comme zeta(-1), et zeta admet un prolongement analytique. Mais on pourrait imaginer l'existence d'une autre fonction analytique, qui en un certain point donne aussi 1+2+3+..., et qui attribue une autre valeur ! Le prolongement analytique est unique quand la fonction est donnée, mais ici, on n'a que la série 1+2+3+..., et on peut faire coller d'autres fonctions dessus. Je recommande la vidéo de Benôit Rittaud sur le site du CNRS : video.math.cnrs.fr/la-somme-de-tous-les-entiers/ Il y a aussi un point de vue intéressant des sommations avec cut-off qui fait apparaître le -1/12. Voir "Cutoff regularization" de l'article wikipedia en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF - Alex

[@leporcquirit]

Super vidéo, comme toujours, mais je préférais l'ancien son 🥴 (et vous avez encore oublié de dire un mot de votre Tipeee à la fin)

[@Thomaths]

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) Et pour le Tipeee on oublie à chaque fois ^^' - Alex & Eve

[@jere0111]

super

[@arorandriamialisoa5763]

Cool

[@daoudafall6116]

Je suis au Sénégal et j'ai découvert la démonstration qui confirme l'hypothèse de Riemann. Comment faire ?

[@df.a4335]

annals of mathematics

[@arsenensenga8651]

Ecrivez moi en privée, pour orientations

[@Ctrl_Alt_Sup]

Faites une vidéo et publiez votre démonstration sur plusieurs plateformes. Vous verrez bien les réactions...

[@chemsdinesidha5254]

C'est beau tout ça mais ça nous dépasse.

[@didierfortune972]

14 23 Intervalle #

[@user-or3vo7iy1j]

woahhhhh

[@jaiden5407]

promo sm 💋

[@neo3373]

Ah oui, Mais là c'est BAC + combien...? Parce que 1er ligne = Largué...!

[@Thomaths]

Bonjour, comme l'indiquent les deux tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo niveau Licence. Courage !

[@neo3373]

@@Thomaths C'est bien ce que j'pensais, Rendez vous dans 10 ans....!

[@the69paradise68]

😮😮😮😮😮اعتقد فهم هذه الفرضية .....التي تقترب من 200 سنة ........ليس في هذا الطريق .......ان النتائج التي يتوصل اليها الباحثون .....لا تختلف عن مقدمات ......تللك ....الفرضيات ....والمسلمات ......والقواعد ......والكل يدور في اشياء يعتقد انها .......محققة ؟؟؟؟؟!!!!!!!!! فلو نظرنا الى الاكتشافات الحديثة ......يظهر انها بدأت بثورة على السائد ........على العادة ...على المقررات ........على ما ندعي ...انها.......يقينيات ........طريق الحل .......ان نشك في منهج ونتائج ومقدمات ........البحث عن نموذج جديد .........في المعرفة .....واعتقد ان كوكبنا يملك هذه العبقرية ........التي هي عطاء من رب الكون .........لما تنظر الى الكون ستدرك انه مسخر للانسان ........وهي تللك العبقرية ......التي ستدرك الكثير من حقائق الوجود ........و واجب الوجود .........

[@hammououjja8688]

"ولا يحيطون بشيء من علمه الا بما شاء"

[@lavoixnordsud7471]

Dieu n'a rien à voire là. Vous vous trompez de conférence.

[@the69paradise68]

@@lavoixnordsud7471 انت مسكين في تفكيرك ..... الا ان ترى الكون فوضى وهذا ليس تصورا دقيقا....... وان كنت تدرك حقيقة علم الاحتمالات فهذا الطريق يكذب الصدفة.... التصميم الذكي هو المفسر الاقرب لهذه الثوابت التي اكتشفتها العلوم الحديثة...... انظر الشخصيات العلمية وانظر معتقداتها...... نحن نعرفهم ونهتم بمعتقداتهم..... كمؤمنين او ملاحدة..... ابحث في عبارة «.... الكون مغلق سببيا....»

[@Anokosciant]

2:12 oh que c'est vilain

[@alexvernes9264]

Attention à la prononciation car il est parfois difficile de capter certains mots. Or, si vous avez su maîtriser les domaines dont vous parlez, vous devriez aisément maîtriser la mécanique phonatoire, qui est une mathématique appliquée. Et pour cela pas d'autres méthodes que celle du bébé apprenant sa langue maternelle: l'audition fine ou plutôt affinée. Les relations entre geste et physique, physique et mathématique sont si profondes que cette maîtrise améliorée devrait également résonner sur vos intuitions mathématiques. Pour le reste, bravo !

[@loubecarut2192]

Le mieux pour vous serait d'apprendre à écouter, car la pronociation de Thomaths est impécable. Vous êtes méprisant.

[@alexvernes9264]

@@loubecarut2192 Une fois de plus un ignorant vaniteux se croyant savant et tartinant les leçons de son ignorance, incapable de lire un énoncé de deux phrases, incapable de déporter un problème en dehors de son petit égo, incapable d'entendre finement, et dont l'orthographe témoigne d'une culture lacunaire: on voit mal de belles mathématiques sortir d'un esprit aussi grossier. Que les uns apprennent à contrôler leur appareil phonatoire, que les autres apprennent à écrire puis à penser et à se cultiver, car il ne faut pas se cacher que le niveau des mathématiciens du tout venant est faible.

[@ttttteststst6867]

Mais lol, votre critique est tellement nulle a chier que vous êtes réduit à parler d'un concept d'apprentissage aussi simpliste que celle d'un bébé 😂

[@ttttteststst6867]

Inutile de me répondre, je laisserai votre intellect là où il appartient.

[@alexvernes9264]

sé sui qui di qui yé , gna gna gna, cassé ! 😂😂😂😂😂😂