福田のおもしろ数学361〜複雑な関数方程式の解

[@hogehoge361]

x=0を入れてみるとy*f(y)がひとつの塊として浮かび上がってくるので、これを新たにxと置き直すとf(x+f(0))=2x. f(x)の話にしたいので、x+f(0)をxと置き直すとf(x)=2x-2f(0). そこにx=0を入れることでf(0)=0がわかるのでf(x)も確定する. という流れで解きました。他の人の解法を聞くと皆さん違った流れになっていて面白いですね。

[@ジョン永遠]

答の予想にはなるでしょうが，厳密な正答にはならないと思います． というのは，yf(y)をxとおいてますが，yを任意にとったとき，xも任意の値をとり得る保証がないからです．そのあとのf(x＋f(0))＝2xからf(0)=0を定める流れはx＋f(0)を改めてxとおき直さなくてもx＝－f(0)ととればいいだけなので問題ありませんが．実際，正解のf(x)＝2xで考えても， yf(y)＝2y²≧0となり，負の値をとれません．したがってx＝－f(0)ととれる保証もありません．

[@hogehoge361]

@ 確かに！

[@mochi-fk63]

与式を変形して f(yf(x+y)+f(x))-2(yf(x+y)+f(x))=-2f(x)+4x とすることにより、fはyについての一次関数つまりf(y)=2y-2f(x)+4x+cとなることがわかるので、これにy=xを代入するというやり方はいかがでしょうか？間違っていたら申し訳ありません。

[@kazusaka4063]

つまり　f(f(x))=4x　をどう解くかですねえ 微分しても　出口が見えず f(f(f(x)))=16x ですから　f(x)=2x　と推測してから　十分性を確認しました

[@MultiYUUHI]

あー、やっぱりfx=kxみたいに置いて1点くらいもぎ取るべきだった

[@파트라슈-o4l]

thank alot

[@MultiYUUHI]

解けるわけがない